Lois uniforme et exponentielle
Objectif(s)
Étudier deux exemples usuels de lois de
probabilités continues, à savoir la loi
uniforme sur un intervalle et les lois exponentielles encore
appelées lois de durée de vie sans
vieillissement.
1. Loi uniforme
L’expérience aléatoire consistant
à "choisir au hasard un nombre de
l’intervalle [0 ; 1]"
génère une infinité
d’éventualités.
Il convient donc d’attribuer à chaque intervalle I inclus dans [0 ; 1] une probabilité proportionnelle à son amplitude L. Ainsi la probabilité de choisir un nombre t dans l’intervalle I sera égale à L.
La variable aléatoire X associée à une telle expérience est continue et de densité de probabilité f égale à 1 si 0 ≤ x ≤ 1 et à 0 sinon.
Graphiquement, cela donne :
Plus généralement, soit (a ; b) un couple de réels vérifiant a < b.
Cette définition est bien conforme à la définition générale d’une densité.
En effet, une fonction constante est continue sur [a ; b] et si on appelle k cette constante, on doit avoir :
, soit : k(b – a) = 1,
soit finalement :
.
Démonstration :
Remarque :
Il s’agit donc de la moyenne des bornes de l’intervalle [a ; b].
Il convient donc d’attribuer à chaque intervalle I inclus dans [0 ; 1] une probabilité proportionnelle à son amplitude L. Ainsi la probabilité de choisir un nombre t dans l’intervalle I sera égale à L.
La variable aléatoire X associée à une telle expérience est continue et de densité de probabilité f égale à 1 si 0 ≤ x ≤ 1 et à 0 sinon.
Graphiquement, cela donne :
Plus généralement, soit (a ; b) un couple de réels vérifiant a < b.
• Définition 1
On dit qu’une variable aléatoire X suit une loi uniforme sur l’intervalle [a ; b] lorsque sa densité de probabilité associée est constante sur [a ; b].
Cette constante est alors égale à
.
X est alors notée U[a ; b].
Remarque :On dit qu’une variable aléatoire X suit une loi uniforme sur l’intervalle [a ; b] lorsque sa densité de probabilité associée est constante sur [a ; b].
Cette constante est alors égale à
.
X est alors notée U[a ; b].
Cette définition est bien conforme à la définition générale d’une densité.
En effet, une fonction constante est continue sur [a ; b] et si on appelle k cette constante, on doit avoir :
, soit : k(b – a) = 1,soit finalement :
.
• Propriété 1
Soit X = U[a ; b].
Pour tout intervalle [c ; d] inclus dans [a ; b], on dispose de l’égalité suivante :
.
Illustration :Soit X = U[a ; b].
Pour tout intervalle [c ; d] inclus dans [a ; b], on dispose de l’égalité suivante :
.
• Propriété 2
Soit X = U[a ; b].
L’espérance mathématique de X vérifie l’égalité suivante :
.
Soit X = U[a ; b].
L’espérance mathématique de X vérifie l’égalité suivante :
.
Démonstration :
Remarque :
Il s’agit donc de la moyenne des bornes de l’intervalle [a ; b].
2. Lois exponentielles (ou lois de durée de vie
sans vieillissement)
On étudie un phénomène dont on mesure
la durée de vie aléatoire par une variable
aléatoire continue X sur 
(on considère le début de
l’étude comme l’instant 0), on peut
alors sous certaines conditions supposer que ce
phénomène "ignore" le vieillissement.
C’est par exemple le cas pour la durée de vie des composants électroniques.
Autrement dit, soit (t ; h) un couple d’instants, la probabilité que le phénomène soit "vivant" à l’instant (t + h), sachant qu’il est vivant à l’instant (t) ne dépend pas de l’instant (t).
Cette condition se traduit par l’égalité
; en appliquant la définition de la
probabilité conditionnelle, on obtient une autre
égalité, à savoir :
.
On démontre alors que pour vérifier cette égalité, une densité associée à X est une fonction f définie sur
par 
où λ est une constante strictement
positive quelconque.
• f(0) = λ.
• f est continue et positive sur
.
•
et
.
Donc
.
Illustration :
Pour les preuves, il suffit de calculer par exemple :
.
Démonstration (exigible pour une éventuelle Restitution Organisée de Connaissances) :
On a :
.
Il faut trouver une primitive de
, ce qui n'est pas
facile.
► Il faut essayer de faire "entrer" une fonction dérivée dans l’intégrale définissant E(X).
On a :
, donc 
.
• Cela donne l’idée de dériver :
.
, d’après la
dérivée d’un produit : (uv)' = u'v +
v'u.
Soit :
et on a : 
.
On obtient finalement :
.
Et donc :
.
• Ainsi, on a :
.
► Par conséquent :
.
Or λ > 0, donc
et 
.
• Il reste à calculer :
car 
.
► En conclusion, on a bien
.
Remarque
Puisque f(0) = λ, il est facile à l’aide de la courbe de la densité de déterminer E(X).
(on considère le début de
l’étude comme l’instant 0), on peut
alors sous certaines conditions supposer que ce
phénomène "ignore" le vieillissement.C’est par exemple le cas pour la durée de vie des composants électroniques.
Autrement dit, soit (t ; h) un couple d’instants, la probabilité que le phénomène soit "vivant" à l’instant (t + h), sachant qu’il est vivant à l’instant (t) ne dépend pas de l’instant (t).
Cette condition se traduit par l’égalité
; en appliquant la définition de la
probabilité conditionnelle, on obtient une autre
égalité, à savoir :.
On démontre alors que pour vérifier cette égalité, une densité associée à X est une fonction f définie sur
par où λ est une constante strictement
positive quelconque.
• Définition 2
Soit une constante strictement positive.
On dit qu’une variable aléatoire suit une loi exponentielle de paramètre λ sur
, lorsque sa densité de probabilité
associée est la fonction f définie sur
par 
.
RemarquesSoit une constante strictement positive.
On dit qu’une variable aléatoire suit une loi exponentielle de paramètre λ sur
, lorsque sa densité de probabilité
associée est la fonction f définie sur
par .
• f(0) = λ.
• f est continue et positive sur
.•
et
.Donc
.Illustration :
• Propriété 2
Soit X une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre λ.
Pour tout intervalle [a ; b] inclus dans
, on dispose des propositions suivantes :
.
Soit X une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre λ.
Pour tout intervalle [a ; b] inclus dans
, on dispose des propositions suivantes :.
Pour les preuves, il suffit de calculer par exemple :
.
• Propriété 3
Soit X une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre λ.
L’espérance mathématique de X vérifie l’égalité suivante :
.
Soit X une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre λ.
L’espérance mathématique de X vérifie l’égalité suivante :
.
Démonstration (exigible pour une éventuelle Restitution Organisée de Connaissances) :
On a :
.Il faut trouver une primitive de
, ce qui n'est pas
facile.► Il faut essayer de faire "entrer" une fonction dérivée dans l’intégrale définissant E(X).
On a :
, donc .• Cela donne l’idée de dériver :
., d’après la
dérivée d’un produit : (uv)' = u'v +
v'u.Soit :
et on a : .On obtient finalement :
.Et donc :
.• Ainsi, on a :
.► Par conséquent :
.Or λ > 0, donc
et .• Il reste à calculer :
car .► En conclusion, on a bien
.Remarque
Puisque f(0) = λ, il est facile à l’aide de la courbe de la densité de déterminer E(X).
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