Lois uniforme et exponentielle
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Il convient donc d’attribuer à chaque intervalle I inclus dans [0 ; 1] une probabilité proportionnelle à son amplitude L. Ainsi la probabilité de choisir un nombre t dans l’intervalle I sera égale à L.
La variable aléatoire X associée à une telle expérience est continue et de densité de probabilité f égale à 1 si 0 ≤ x ≤ 1 et à 0 sinon.
Graphiquement, cela donne :
Plus généralement, soit (a ; b) un couple de réels vérifiant a < b.
On dit qu’une variable aléatoire X suit une loi uniforme sur l’intervalle [a ; b] lorsque sa densité de probabilité associée est constante sur [a ; b].
Cette constante est alors égale à . X est alors notée U[a ; b].
Cette définition est bien conforme à la définition générale d’une densité.
En effet, une fonction constante est continue sur [a ; b] et si on appelle k cette constante, on doit avoir :
, soit : k(b – a) = 1,
soit finalement : .
Soit X = U[a ; b].
Pour tout intervalle [c ; d] inclus dans [a ; b], on dispose de l’égalité suivante : .
Soit X = U[a ; b].
L’espérance mathématique de X vérifie l’égalité suivante : .
Démonstration :
Remarque :
Il s’agit donc de la moyenne des bornes de l’intervalle [a ; b].
C’est par exemple le cas pour la durée de vie des composants électroniques.
Autrement dit, soit (t ; h) un couple d’instants, la probabilité que le phénomène soit "vivant" à l’instant (t + h), sachant qu’il est vivant à l’instant (t) ne dépend pas de l’instant (t).
Cette condition se traduit par l’égalité ; en appliquant la définition de la probabilité conditionnelle, on obtient une autre égalité, à savoir :
On démontre alors que pour vérifier cette égalité, une densité associée à X est une fonction f définie sur par où λ est une constante strictement positive quelconque.
Soit une constante strictement positive.
On dit qu’une variable aléatoire suit une loi exponentielle de paramètre λ sur , lorsque sa densité de probabilité associée est la fonction f définie sur par .
• f(0) = λ.
• f est continue et positive sur .
•
et .
Donc .
Illustration :
Soit X une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre λ.
Pour tout intervalle [a ; b] inclus dans , on dispose des propositions suivantes :
.
Pour les preuves, il suffit de calculer par exemple : .
Soit X une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre λ.
L’espérance mathématique de X vérifie l’égalité suivante : .
Démonstration (exigible pour une éventuelle Restitution Organisée de Connaissances) :
On a : .
Il faut trouver une primitive de , ce qui n'est pas facile.
► Il faut essayer de faire "entrer" une fonction dérivée dans l’intégrale définissant E(X).
On a : , donc .
• Cela donne l’idée de dériver : .
, d’après la dérivée d’un produit : (uv)' = u'v + v'u.
Soit : et on a : .
On obtient finalement : .
Et donc : .
• Ainsi, on a :
.
► Par conséquent : .
Or λ > 0, donc et .
• Il reste à calculer : car .
► En conclusion, on a bien .
Remarque
Puisque f(0) = λ, il est facile à l’aide de la courbe de la densité de déterminer E(X).
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