Détermination de primitives

On va utiliser des tableaux de dérivées comme ci-dessous :

Fonctions	Fonctions dérivées
f1	f1'
f2	f2'
...	...
F	f

Si on lit le tableau dans le sens "normal" (de la gauche vers la droite), on part des fonctions usuelles f₁, f₂,…, on applique les formules de dérivation, on corrige éventuellement en multipliant par une constante, puis par somme (ou soustraction) on obtient F telle que F' = f.

F est donc une primitive de f par lecture "inverse" de ce tableau (de la droite vers la gauche!), les autres étant égales à : F + k, où k est une constante réelle.

► Deux exemples pour comprendre
   
    1) Déterminer une primitive sur d'une fonction polynôme : .

On utilise un tableau de dérivation :

Fonctions	Fonctions dérivées
x5	5x4
	x4
x4	4x3
	2x3
x2	2x
	x
3x	3

     2) Déterminer une primitive sur [0 ; π] de la fonction f : x → sin(x) + 3cos(2x).

Fonctions	Fonctions dérivées
cos(x)	-sin(x)
-cos(x)	sin(x)
sin(2x)	2cos(2x)
	3cos(2x)
	f(x) = sin(x) + 3cos(2x)

Dans tout ce paragraphe, u est une fonction dérivable sur un intervalle I (que l'on précisera).

• 1^er cas : n est dans ce tableau un entier naturel :

Fonctions	Fonctions dérivées	I
un+1	(n + 1)un.u'
	u'.un

   Exemple : déterminer sur une primitive de f : x →  5x(x² + 1)³.

Fonctions	Fonctions dérivées
(x² + 1)4	4(x² + 1)3.(2x) = 8x(x² + 1)3
	f(x) = 5x(x² + 1)3

• 2^ème cas : n est dans ce tableau un entier naturel non nul et différent de 1 (donc ).

Fonctions	Fonctions dérivées	I

   Exemple : déterminer pour tout réel x une primitive de .

   Remarque : la fonction u : x → x² + x + 3, a un discriminant négatif donc ne s'annule pas. C'est pourquoi f est définie et continue sur .

Fonctions	Fonctions dérivées

• 3^ème cas :

Fonctions	Fonctions dérivées	I

   Exemple : déterminer une primitive pour x > 2 de : .

Fonctions	Fonctions dérivées

• 4^ème cas :

Fonctions	Fonctions dérivées	I
ln(u)

   Exemple : déterminer pour tout réel x une primitive de : .

   Remarque : la fonction u : x→  e^2x + 1 est strictement positive pour tout réel x puisque exp > 0 donc f est définie et continue sur .

Fonctions	Fonctions dérivées
ln(e2x + 1)
F(x) = 2 ln(e2x + 1)

• 5^ème cas :

Fonctions	Fonctions dérivées	I
eu	u'.eu

   Exemple : déterminer pour tout réel x une primitive de  f : x → 7xe ^{(x² + 1)}.

Fonctions	Fonctions dérivées
e (x² + 1)	2x e(x² + 1)
	f(x) = 7xe(x² + 1)