Suites numériques : limites et comparaison
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Objectif(s)
• Donner des premiers théorèmes «
outils » pour déterminer la limite d’une
suite numérique.
• Comparer les termes d’une suite à la valeur de la limite finie de celle-ci dans un cas particulier.
• Comparer les termes d’une suite à la valeur de la limite finie de celle-ci dans un cas particulier.
1. Un théorème pour déterminer une
limite infinie
Soit (u ; v) un couple de suites numériques.
Seule la proposition (P1) a une démonstration exigible pour le bac, mais les deux propositions sont au programme de TS et doivent être connues.
Illustration de (P1)

Démonstration de (P1)
Soit n0 un entier fixé.
• On doit démontrer que
,
c’est-à-dire que tout intervalle de la forme
contient toutes les valeurs de vn, à
partir d’un rang entier.
Pour cela, on dispose des propositions suivantes :
•
(sur l’illustration, les points vn sont
« au dessus » des points un à
partir du rang entier n0).
•
,
donc pour tout réel A, il existe un rang entier
n1 tel que :
(sur l’illustration, les points un sont
« au dessus » de la droite y = A, à
partir du rang entier n1).
Il suffit alors de poser n2 le plus grand des deux entiers, entre n0 et n1 (sur l’illustration on aurait n2 = n1).
En effet, on dispose alors de la proposition :
, soit vn ≥ un.
.
On a : vn ≥ un et un > A, on en déduit : vn > A.
Il existe donc bien un rang, à savoir l’entier n2, à partir duquel tous les termes vn sont dans un intervalle quelconque de la forme
.
Exemple
Pour tout entier naturel n, on pose :
.
Déterminer la limite de an.
Soit n un entier naturel.
On a : n4 + 1 > n4, donc
puisque
la fonction racine carrée est une fonction
croissante.
Donc pour tout entier naturel n, an > n2 et
,
donc
.
Théorème 1
Soit n0 un entier naturel fixe.
On dispose des propositions suivantes :
• (P1) Si pour tout entier naturel n supérieur à n0, un ≤ vn et si
,
alors
.
• (P2) Si pour tout entier naturel n supérieur à n0, vn ≤ un et si
,
alors
.
Soit n0 un entier naturel fixe.
On dispose des propositions suivantes :
• (P1) Si pour tout entier naturel n supérieur à n0, un ≤ vn et si


• (P2) Si pour tout entier naturel n supérieur à n0, vn ≤ un et si


Seule la proposition (P1) a une démonstration exigible pour le bac, mais les deux propositions sont au programme de TS et doivent être connues.
Illustration de (P1)

Démonstration de (P1)
Soit n0 un entier fixé.
• On doit démontrer que


Pour cela, on dispose des propositions suivantes :
•

•


Il suffit alors de poser n2 le plus grand des deux entiers, entre n0 et n1 (sur l’illustration on aurait n2 = n1).
En effet, on dispose alors de la proposition :


On a : vn ≥ un et un > A, on en déduit : vn > A.
Il existe donc bien un rang, à savoir l’entier n2, à partir duquel tous les termes vn sont dans un intervalle quelconque de la forme

Exemple
Pour tout entier naturel n, on pose :

Soit n un entier naturel.
On a : n4 + 1 > n4, donc

Donc pour tout entier naturel n, an > n2 et


2. Un théorème pour déterminer une
limite finie
Soit (u ; v ; w) un triplet de suites
numériques.
Ce théorème est admis conformément au programme ; les termes vn et wn sont « les gendarmes », tandis que le terme un est « le voleur ».
Exemple
Pour tout entier non nul n, on démontre facilement que
.
Or
et
, donc
.
Illustration de l’exemple

Théorème 2, théorème dit
« des gendarmes »
Soit n0 un entier naturel fixe.
Soit L un réel fixe.
On dispose de la proposition suivante :
si pour tout entier naturel supérieur ou égal à n0, vn ≤ un ≤ wn,
et si
et
si
,
alors
.
Soit n0 un entier naturel fixe.
Soit L un réel fixe.
On dispose de la proposition suivante :
si pour tout entier naturel supérieur ou égal à n0, vn ≤ un ≤ wn,
et si



Ce théorème est admis conformément au programme ; les termes vn et wn sont « les gendarmes », tandis que le terme un est « le voleur ».
Exemple
Pour tout entier non nul n, on démontre facilement que

Or



Illustration de l’exemple

3. Un théorème pour les suites croissantes
convergentes
Soit u = (un) une suite numérique.
Remarque
La démonstration de ce théorème est exigible pour le bac. Elle utilise un raisonnement important, le raisonnement par l’absurde. L’illustration de la démonstration est donnée à la fin de celle-ci. N’hésitez pas à aller voir cette illustration pour mieux comprendre les passages « délicats » de la démonstration.
Démonstration
Soit L un réel fixe.
On doit démontrer la proposition (P), pour tout entier naturel n, un ≤ L.
Pour cela, on dispose des propositions suivantes :
• Pour tout entier naturel n, un ≤ un+1 (u est croissante).
•
,
donc tout intervalle ouvert contenant L contient toutes les
valeurs un à partir d’un certain
rang.
On va effectuer un raisonnement par l’absurde, c’est-à-dire que l’on va supposer vraie la proposition (NON P), à savoir : il existe un entier n0 pour lequel > L.
On va alors démontrer que l’on obtient une proposition contradictoire, c’est-à-dire à la fois vraie et fausse, ce qui est bien sûr impossible. D’où l’absurdité de la supposition !
On pose d = un - L.
On a alors :
et
puisque u est croissante.
Donc
et
.
Or
,
donc il existe un rang n1 à partir duquel
toutes les valeurs de un sont dans
l’intervalle
,
intervalle ouvert contenant L.
On pose alors n2 le plus grand des deux entiers n0 et n1.
Pour n ≥ n2, on a à la fois
et
.
On obtient ainsi une proposition contradictoire, ce qui est impossible.
Donc la proposition (NON P) supposée vraie est fausse, autrement dit la proposition (P) est vraie.
Illustration de la démonstration


Remarque
On dispose d’un théorème pour les suites décroissantes et convergentes vers L ; alors bien sûr, pour tout entier naturel n, un ≥ L.
Théorème 3
Soit L un nombre réel fixe.
On dispose de la proposition suivante :
si la suite u est croissante et si elle converge vers le nombre L, alors tous ses termes sont inférieurs ou égaux à L.
Soit L un nombre réel fixe.
On dispose de la proposition suivante :
si la suite u est croissante et si elle converge vers le nombre L, alors tous ses termes sont inférieurs ou égaux à L.
Remarque
La démonstration de ce théorème est exigible pour le bac. Elle utilise un raisonnement important, le raisonnement par l’absurde. L’illustration de la démonstration est donnée à la fin de celle-ci. N’hésitez pas à aller voir cette illustration pour mieux comprendre les passages « délicats » de la démonstration.
Démonstration
Soit L un réel fixe.
On doit démontrer la proposition (P), pour tout entier naturel n, un ≤ L.
Pour cela, on dispose des propositions suivantes :
• Pour tout entier naturel n, un ≤ un+1 (u est croissante).
•

On va effectuer un raisonnement par l’absurde, c’est-à-dire que l’on va supposer vraie la proposition (NON P), à savoir : il existe un entier n0 pour lequel > L.
On va alors démontrer que l’on obtient une proposition contradictoire, c’est-à-dire à la fois vraie et fausse, ce qui est bien sûr impossible. D’où l’absurdité de la supposition !
On pose d = un - L.
On a alors :


Donc


Or


On pose alors n2 le plus grand des deux entiers n0 et n1.
Pour n ≥ n2, on a à la fois


On obtient ainsi une proposition contradictoire, ce qui est impossible.
Donc la proposition (NON P) supposée vraie est fausse, autrement dit la proposition (P) est vraie.
Illustration de la démonstration


Remarque
On dispose d’un théorème pour les suites décroissantes et convergentes vers L ; alors bien sûr, pour tout entier naturel n, un ≥ L.
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