Suites numériques : limites et comparaison
• Comparer les termes d’une suite à la valeur de la limite finie de celle-ci dans un cas particulier.
Soit n0 un entier naturel fixe.
On dispose des propositions suivantes :
• (P1) Si pour tout entier naturel n supérieur à n0, un ≤ vn et si


• (P2) Si pour tout entier naturel n supérieur à n0, vn ≤ un et si


Seule la proposition (P1) a une démonstration exigible pour le bac, mais les deux propositions sont au programme de TS et doivent être connues.
Illustration de (P1)

Démonstration de (P1)
Soit n0 un entier fixé.
• On doit démontrer que


Pour cela, on dispose des propositions suivantes :
•

•


Il suffit alors de poser n2 le plus grand des deux entiers, entre n0 et n1 (sur l’illustration on aurait n2 = n1).
En effet, on dispose alors de la proposition :


On a : vn ≥ un et un > A, on en déduit : vn > A.
Il existe donc bien un rang, à savoir l’entier n2, à partir duquel tous les termes vn sont dans un intervalle quelconque de la forme

Exemple
Pour tout entier naturel n, on pose :

Soit n un entier naturel.
On a : n4 + 1 > n4, donc

Donc pour tout entier naturel n, an > n2 et


Soit n0 un entier naturel fixe.
Soit L un réel fixe.
On dispose de la proposition suivante :
si pour tout entier naturel supérieur ou égal à n0, vn ≤ un ≤ wn,
et si



Ce théorème est admis conformément au programme ; les termes vn et wn sont « les gendarmes », tandis que le terme un est « le voleur ».
Exemple
Pour tout entier non nul n, on démontre facilement que

Or



Illustration de l’exemple

Soit L un nombre réel fixe.
On dispose de la proposition suivante :
si la suite u est croissante et si elle converge vers le nombre L, alors tous ses termes sont inférieurs ou égaux à L.
Remarque
La démonstration de ce théorème est exigible pour le bac. Elle utilise un raisonnement important, le raisonnement par l’absurde. L’illustration de la démonstration est donnée à la fin de celle-ci. N’hésitez pas à aller voir cette illustration pour mieux comprendre les passages « délicats » de la démonstration.
Démonstration
Soit L un réel fixe.
On doit démontrer la proposition (P), pour tout entier naturel n, un ≤ L.
Pour cela, on dispose des propositions suivantes :
• Pour tout entier naturel n, un ≤ un+1 (u est croissante).
•

On va effectuer un raisonnement par l’absurde, c’est-à-dire que l’on va supposer vraie la proposition (NON P), à savoir : il existe un entier n0 pour lequel > L.
On va alors démontrer que l’on obtient une proposition contradictoire, c’est-à-dire à la fois vraie et fausse, ce qui est bien sûr impossible. D’où l’absurdité de la supposition !
On pose d = un - L.
On a alors :


Donc


Or


On pose alors n2 le plus grand des deux entiers n0 et n1.
Pour n ≥ n2, on a à la fois


On obtient ainsi une proposition contradictoire, ce qui est impossible.
Donc la proposition (NON P) supposée vraie est fausse, autrement dit la proposition (P) est vraie.
Illustration de la démonstration


Remarque
On dispose d’un théorème pour les suites décroissantes et convergentes vers L ; alors bien sûr, pour tout entier naturel n, un ≥ L.

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