La fonction exponentielle : variations et limites - Maxicours

La fonction exponentielle : variations et limites

Objectif(s)
• Étudier la fonction exponentielle.
• Donner des limites importantes qui serviront pour les cas de formes indéterminées (FI).
• Donner le complément de dérivation concernant exp.
1. Variation de exp
Théorème 1
La fonction exponentielle est strictement croissante sur .

Démonstration
On sait que exp est dérivable sur donc il suffit de démontrer que pour tout réel x, (ex)’ > 0.
Or pour tout réel x, (ex) ’ = ex et ex > 0, donc (ex)’ > 0.
Théorème 2
Pour tout couple (a ; b) de réels on dispose des propositions suivantes :

(P1):

(P2): .

Démonstration
On prend en exemple uniquement (P1) car (P2) se démontre avec le même raisonnement.

Pour démontrer (P1), on doit démontrer deux propositions, la proposition (R) : et la proposition (Q) : ().

La proposition (R) est bien sûr évidente !

Pour démontrer la proposition réciproque (Q), il faut raisonner par l’absurde.
On suppose vraie la proposition (NON Q) et on cherche une proposition contradictoire, c’est-à-dire à la fois vraie et fausse.

Or (NON Q) (ea = eb ET (NON( a = b)) (ea = eb ET (( a < b) OU (a > b)))

On a donc :
(( a < b) OU (a > b)) (ea < eb OU ea > eb) puisque exp est strictement croissante.
(ea < eb OU ea > eb) (ea = eb) est fausse.

Ainsi, de part (NON Q), (ea = eb) est vraie, mais elle est fausse de part la démonstration ; elle serait donc contradictoire, ce qui est impossible.

La proposition (NON Q) est donc fausse, et (Q) est vraie.



2. Limites à l'infini
Pour démontrer le théorème 3, on a besoin d’un « petit » résultat que l’on appelle usuellement un lemme.
Lemme
Pour tout réel x, on dispose de l’inégalité ex > x.

Démonstration
Pour tout réel x, on pose d(x) = ex – x.
Les fonctions x → ex et x → -x sont dérivables sur donc d l’est aussi (comme somme).

On a : d’(x) = ex – 1.
d’(x) = 0 ex = 1 = e0 x = 0 d’après le th. 2 ;
d’(x) > 0 ex > 1 ex > e0 x > 0 d’après le th. 2 ;
d’(x) < 0 x < 0.

Ainsi, on a :



Or, d(0) = e0 – 0 = 1 – 0 = 1.
Donc pour tout réel x, d(x) ≥ 1 et donc d(x) > 0, doit ex > x.

Théorème 3
On dispose des propositions suivantes :

• (P1) : ;

• (P2) : .

Démonstration

• Pour démontrer (P1), on applique le lemme et un théorème de comparaison sur les limites de fonctions.
On a : pour tout réel x, ex > x et , donc .

• Pour démontrer (P2), on utilise des propriétés de exp et le théorème de la limite d’une fonction composée.
On a : ex = e-(-x) = .

Or, quand : , . On pose X = -x.

On a : ; or d’après (P1), donc .

Remarque
croît très, très rapidement vers l’infini.
Pour vous en convaincre, si vous tapez e10 sur votre calculatrice, vous obtiendrez environ 22026.
Avec comme unité le centimètre, cela signifie que lorsque l’on se « déplace » vers les positifs sur l’axe des abscisses de 10 cm, on doit « monter » de 220 mètres pour être dans la « zone » de e10.

Courbe représentative de la fonction



Remarque
La tangente à Cexp au point d’abscisse 1 passe par l’origine et son équation réduite est : y =e × x, à ne pas confondre avec ex.

En effet, on a pour cette tangente : y = exp’(1)×(x – 1) + exp(1).

Or, exp’ = exp, donc y = e1(x – 1) + e1 = e × x – e + e = e × x.

3. Compléments
Théorème 4
On dispose des propositions suivantes :
• (P1) : .

• (P2) : .

• (P3) : .

On ne démontre ici que (P1)
On sait que exp est dérivable sur donc en 0 ; on applique donc la définition vue en 1S du nombre dérivé de exp en 0, à savoir :

;

soit exp’(0) = exp(0) = 1, donc on a bien (P1).

Remarque 
Pour (P2) et (P3), il suffit de reprendre la remarque précédente et de comprendre la rapidité de divergence vers l’infini de ex. Ainsi, en x = 10 on a : .

Par ailleurs, on a démontré en lemme que pour tout réel x, ex > x. Nous vous laissons dessiner dans un même repère Cexp et la droite y = x pour visualiser ce « phénomène ».

Théorème 5 : complément de dérivation pour x → eu(x).
Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I.
La fonction x → eu(x) est dérivable sur I et pour tout réel x de I, on dispose de l’égalité :
(eu(x))’ = u’(x).eu(x).

Remarques :
• À notre niveau ce théorème est admis et ne sera donc pas démontré, toutefois nous l’illustrons ci-dessous par un exemple.

Exemple



Cas particulier : pour tout réel x (eax + b)’ = a × eax + b.





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