Orthogonalité de deux droites, d'une droite et d'un plan - Cours de Mathématiques Terminale S avec Maxicours - Lycée

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Orthogonalité de deux droites, d'une droite et d'un plan

Objectif
Établir l'orthogonalité de deux droites.
Établir l'orthogonalité d'une droite et d'un plan.
En géométrie plane, « orthogonal » signifie « perpendiculaire ».
En géométrie dans l'espace, le terme « perpendiculaire » est réservé aux droites orthogonales et sécantes.
1. Droites orthogonales
Deux droites sont orthogonales si leurs parallèles respectives passant par un même point sont perpendiculaires.
Exemple :
On considère le parallélépipède rectangle ABCDEFGH :
 
Les droites (AB) et (CG) sont orthogonales car la parallèle (DC) à (AB) est perpendiculaire en C à (CG).
2. Orthogonalité d'une droite et d'un plan
a. Généralités
Une droite (d) et un plan P sont orthogonaux si la droite (d) est orthogonale à toute droite du plan P.
Propriété :
Si une droite (d) est orthogonale à deux droites sécantes du plan P, alors elle est orthogonale au plan P.

Exemple :

 
Dans le cube ABCDEFGH, on a :
♦ (BD) perpendiculaire à (AC) car ce sont les diagonales d'un carré ;
♦ (BD) orthogonale à (AE) car les parallèles respectives (BD) et (BF) sont perpendiculaires.
Donc la droite (BD) est perpendiculaire au plan (AEC).
b. Propriétés
On admet les propriétés suivantes :
1. Deux droites orthogonales à un même plan sont parallèles entre elles.

2. Si deux droites sont parallèles entre elles, alors tout plan orthogonal à l'une est orthogonal à l'autre.

3. Deux plans orthogonaux à une même droite sont parallèles entre eux.

4. Si deux plans sont parallèles, alors toute droite orthogonale à l'un est orthogonale à l'autre.
L'essentiel
Deux droites sont orthogonales si leurs parallèles respectives passant par un même point sont perpendiculaires.

Si une droite (d) est orthogonale à deux droites sécantes du plan P, alors elle est orthogonale au plan P.

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