Orthogonalité de deux droites, d'une droite et d'un plan
Objectif
Établir l'orthogonalité de deux droites.
Établir l'orthogonalité d'une droite et d'un plan.
Établir l'orthogonalité d'une droite et d'un plan.
En géométrie plane, « orthogonal »
signifie « perpendiculaire ».
En géométrie dans l'espace, le terme « perpendiculaire » est réservé aux droites orthogonales et sécantes.
En géométrie dans l'espace, le terme « perpendiculaire » est réservé aux droites orthogonales et sécantes.
1. Droites orthogonales
Deux droites sont orthogonales si leurs
parallèles respectives passant par un même
point sont perpendiculaires.
Exemple :
On considère le
parallélépipède rectangle ABCDEFGH :
Les droites (AB) et (CG) sont orthogonales car la
parallèle (DC) à (AB) est perpendiculaire
en C à (CG).
2. Orthogonalité d'une droite et d'un plan
a. Généralités
Une droite (d) et un plan P sont orthogonaux si
la droite (d) est orthogonale à toute
droite du plan P.
Propriété :
Si une droite (d) est orthogonale à deux
droites sécantes du plan P, alors elle est
orthogonale au plan P.
Exemple :
Dans le cube ABCDEFGH, on a :
♦ (BD) perpendiculaire à (AC) car ce sont
les diagonales d'un carré ;
♦ (BD) orthogonale à (AE) car les
parallèles respectives (BD) et (BF) sont
perpendiculaires.
Donc la droite (BD) est perpendiculaire au plan
(AEC).
b. Propriétés
On admet les propriétés suivantes :
1. Deux droites orthogonales à un même
plan sont parallèles entre elles.
2. Si deux droites sont parallèles entre elles, alors tout plan orthogonal à l'une est orthogonal à l'autre.
3. Deux plans orthogonaux à une même droite sont parallèles entre eux.
4. Si deux plans sont parallèles, alors toute droite orthogonale à l'un est orthogonale à l'autre.
2. Si deux droites sont parallèles entre elles, alors tout plan orthogonal à l'une est orthogonal à l'autre.
3. Deux plans orthogonaux à une même droite sont parallèles entre eux.
4. Si deux plans sont parallèles, alors toute droite orthogonale à l'un est orthogonale à l'autre.
L'essentiel
Deux droites sont orthogonales si leurs parallèles
respectives passant par un même point sont
perpendiculaires.
Si une droite (d) est orthogonale à deux droites sécantes du plan P, alors elle est orthogonale au plan P.
Si une droite (d) est orthogonale à deux droites sécantes du plan P, alors elle est orthogonale au plan P.
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