Nombres premiers : questionnements et nombres premiers particuliers (application RSA)
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Objectif
Maîtriser les notions d'infinitude et de
répartition des nombres premiers, ainsi que les
nombres premiers particuliers.
Savoir décomposer un nombre en produit de facteurs premiers.
Connaître le principe de clé publique et de clé privée du système cryptographique RSA.
Savoir décomposer un nombre en produit de facteurs premiers.
Connaître le principe de clé publique et de clé privée du système cryptographique RSA.
1. Généralités
a. Définition
Un nombre entier naturel est premier s'il admet
exactement deux diviseurs dans : 1 et lui-même.
Exemples :
0 admettant une infinité de diviseurs n'est pas
un nombre premier.
1 n'admet qu'un seul diviseur 1, il n'est donc pas premier.
2 admet comme seuls diviseurs 1 et lui-même, il est donc premier.
1 n'admet qu'un seul diviseur 1, il n'est donc pas premier.
2 admet comme seuls diviseurs 1 et lui-même, il est donc premier.
b. Reconnaissance
Propriété
Exemple d'utilisation :
Soit n un entier naturel supérieur ou
égal à 2. Si n n'est divisible par
aucun nombre premier p tel que , alors n est premier.
Exemple d'utilisation :
117 est un nombre premier, en effet : , les seuls nombres premiers
compris entre 2 et 10 sont : 2, 3, 5 et 7. 117
n'est divisible par aucun de ces nombres, il est donc
premier.
c. Décomposition en facteurs premier
Propriété
Supposons que n soit un nombre non premier. Il existe alors un plus petit diviseur premier d1 supérieur ou égal à 2, et un entier naturel n1 tel que n = d1n1 avec n1 < n. Puis on continue le raisonnement : soit n1 est premier soit il ne l'est pas ...
On construit donc une suite (ni) d'entiers qui est strictement décroissante. Cette suite est finie, si on note par r le dernier rang on a donc : nr = 1. On construit aussi une suite finie de nombres premiers (pi), on a donc : n = p1p2...pr
Propriété admise
Tout nombre entier naturel supérieur ou
égal à 2 est soit un nombre premier, soit
un produit de nombres premiers (on appellera cela une
décomposition en produit de facteurs premiers).
Preuve :Supposons que n soit un nombre non premier. Il existe alors un plus petit diviseur premier d1 supérieur ou égal à 2, et un entier naturel n1 tel que n = d1n1 avec n1 < n. Puis on continue le raisonnement : soit n1 est premier soit il ne l'est pas ...
On construit donc une suite (ni) d'entiers qui est strictement décroissante. Cette suite est finie, si on note par r le dernier rang on a donc : nr = 1. On construit aussi une suite finie de nombres premiers (pi), on a donc : n = p1p2...pr
Propriété admise
La décomposition en produit de facteurs
premiers, pour un entier naturel strictement
supérieur à 1, est unique.
d. Répartition
Propriétés
Remarque : ces résultats ne sont pas exigibles en Terminale.
♦ L'ensemble des nombres premiers est
infini.
♦ La répartition des nombres premiers n'est pas régulière.
♦ Loi de raréfaction des nombres premiers : pour n assez grand, le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à n est environ égal à .
♦ La répartition des nombres premiers n'est pas régulière.
♦ Loi de raréfaction des nombres premiers : pour n assez grand, le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à n est environ égal à .
Remarque : ces résultats ne sont pas exigibles en Terminale.
2. Nombres premiers particuliers
a. Nombres de Mersenne
Marin Mersenne (1588-1648) était un scientifique
qui tenta de dresser la liste de certains nombres
premiers.
Définition
Propriété
Si n n'est pas un nombre premier, il existe donc un diviseur p compris strictement entre 1 et n, il existe donc un entier q tel que n = pq. On a donc , donc Mn n'est pas un nombre premier.
Corollaire
Définition
Les entiers de la forme sont appelés nombres de
Mersenne.
Propriété
Si n n'est pas un nombre premier, alors
Mn n'est pas premier.
Preuve :Si n n'est pas un nombre premier, il existe donc un diviseur p compris strictement entre 1 et n, il existe donc un entier q tel que n = pq. On a donc , donc Mn n'est pas un nombre premier.
Corollaire
Si Mn est premier, alors n est
premier.
b. Nombres de Fermat
Pierre de Fermat (1601-1665) était un
mathématicien qui émit la conjecture
suivante : les entiers de la forme +1 avec n un nombre
entier, sont premiers.
Définition
On admet le théorème suivant :
Définition
Les entiers de la forme sont appelés nombres de Fermat.
ExemplesOn admet le théorème suivant :
Si n ≠ m, alors Fn
et Fm sont premiers entre eux.
3. Sensibilisation au système cryptographique RSA
Il s'agit d'un système de codage
développé au Massachussets Institute of
Technologie en 1977 par Ronald Rivest, Adi Shamir et
Léonard Adleman. Ce système est à
clé publique.
Principe générale
Méthode :
Principe générale
Je veux transmettre le message X.
La clé publique est la donnée de deux nombres : e et n.
Par une procédure de calcul je transforme X en Y, et je transmets Y.
Le message Y ne pourra être lu que par la personne possédant la clé privée.
La clé publique est la donnée de deux nombres : e et n.
Par une procédure de calcul je transforme X en Y, et je transmets Y.
Le message Y ne pourra être lu que par la personne possédant la clé privée.
Méthode :
♦ Création clé privée
d
On se donne 4 entiers naturels : p, q, e et d avec :
p et q premiers, e premier avec (p-1)(q-1) et ed1 [(p-1)(q-1)]
♦ Création de la clé publique n et e
On pose n = pq.
♦ Transmission codée Y
On calcule Y = Xe [n]
♦ Décodage de l'information Y
On calcule YdXedX [n] (utilisation du petit théorème de Fermat)
On se donne 4 entiers naturels : p, q, e et d avec :
p et q premiers, e premier avec (p-1)(q-1) et ed1 [(p-1)(q-1)]
♦ Création de la clé publique n et e
On pose n = pq.
♦ Transmission codée Y
On calcule Y = Xe [n]
♦ Décodage de l'information Y
On calcule YdXedX [n] (utilisation du petit théorème de Fermat)
L'essentiel
Un nombre premier admet exactement deux diviseurs : 1 et
lui-même.
Tout nombre entier supérieur ou égal à 2 se décompose en un produit de facteurs premiers.
L'ensemble des nombres premiers est infini.
Les nombres premiers sont répartis irrégulièrement, et se raréfie.
Tout nombre entier supérieur ou égal à 2 se décompose en un produit de facteurs premiers.
L'ensemble des nombres premiers est infini.
Les nombres premiers sont répartis irrégulièrement, et se raréfie.
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