Nombres premiers : questionnements et nombres premiers particuliers (application RSA)
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Savoir décomposer un nombre en produit de facteurs premiers.
Connaître le principe de clé publique et de clé privée du système cryptographique RSA.
: 1 et lui-même.
1 n'admet qu'un seul diviseur 1, il n'est donc pas premier.
2 admet comme seuls diviseurs 1 et lui-même, il est donc premier.
, alors n est premier.
Exemple d'utilisation :
, les seuls nombres premiers
compris entre 2 et 10 sont : 2, 3, 5 et 7. 117
n'est divisible par aucun de ces nombres, il est donc
premier.
Supposons que n soit un nombre non premier. Il existe alors un plus petit diviseur premier d1 supérieur ou égal à 2, et un entier naturel n1 tel que n = d1n1 avec n1 < n. Puis on continue le raisonnement : soit n1 est premier soit il ne l'est pas ...
On construit donc une suite (ni) d'entiers qui est strictement décroissante. Cette suite est finie, si on note par r le dernier rang on a donc : nr = 1. On construit aussi une suite finie de nombres premiers (pi), on a donc : n = p1p2...pr
Propriété admise
♦ La répartition des nombres premiers n'est pas régulière.
♦ Loi de raréfaction des nombres premiers : pour n assez grand, le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à n est environ égal à
.
Remarque : ces résultats ne sont pas exigibles en Terminale.
Définition
sont appelés nombres de
Mersenne.
Propriété
Si n n'est pas un nombre premier, il existe donc un diviseur p compris strictement entre 1 et n, il existe donc un entier q tel que n = pq. On a donc
,
donc Mn n'est pas un nombre
premier.Corollaire
+1 avec n un nombre
entier, sont premiers.Définition
sont appelés nombres de Fermat.
On admet le théorème suivant :
Principe générale
La clé publique est la donnée de deux nombres : e et n.
Par une procédure de calcul je transforme X en Y, et je transmets Y.
Le message Y ne pourra être lu que par la personne possédant la clé privée.
Méthode :
On se donne 4 entiers naturels : p, q, e et d avec :
p et q premiers, e premier avec (p-1)(q-1) et ed
1
[(p-1)(q-1)]♦ Création de la clé publique n et e
On pose n = pq.
♦ Transmission codée Y
On calcule Y = Xe [n]
♦ Décodage de l'information Y
On calcule Yd
Xed
X
[n] (utilisation du petit
théorème de Fermat)
Tout nombre entier supérieur ou égal à 2 se décompose en un produit de facteurs premiers.
L'ensemble des nombres premiers est infini.
Les nombres premiers sont répartis irrégulièrement, et se raréfie.
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