Suites de matrices colonnes - Maxicours

Suites de matrices colonnes

Objectif
Savoir exprimer Cn en fonction de n.
Étudier l'éventuelle convergence de (Cn).
Obtenir un état stable.
1. Suites du type Cn+1 = A × Cn
Soit N un entier naturel non nul. A est une matrice carrée d'ordre N, Cn est une matrice colonne à N lignes vérifiant : Cn+1 = A × Cn.
a. Expression de Cn en fonction de n
Pour tout entier naturel n, on a Cn = An × C0.
Preuve :
On pourra effectuer une récurrence en prenant pour propriété « à l'étape n, Cn = An × C0 » et en utilisant le fait que Cn+1 = A × Cn.
b. Convergence de Cn
On dira que la suite (Cn) converge vers une matrice L si et seulement si tous les coefficients de (Cn) convergent vers les coefficients de L qui correspondent.

Exemple :
Si , alors(Cn) converge vers

Si (Cn) converge vers L, on a alors L = AL. On dit que L est l'état stable.
2. Suites du type Cn+1 = A × Cn + B
Soit N un entier naturel non nul. A est une matrice carrée d'ordre N, Cn et B sont des matrices colonnes à N lignes vérifiant : Cn+1 = A × Cn + B.
a. Expression de Cn en fonction de n
L'état stable est une matrice colonne à N lignes que l'on appelle S et qui est constant et qui vérifie S = AS + B.
On en déduit la propriété suivante :
Si I – A est inversible, alors il existe un état stable S défini par (I – A)-1 B.

Exemple :
Cn+1 = Cn + .
La matrice I - A = est inversible, d'inverse . Il existe donc un  état stable S = .
b. Convergence de Cn
Si (Cn) admet un état stable S, on a alors : Cn = An (C0S) + S.

Preuve :

On sait que : Cn+1 = A × Cn + B et que S = A × S + B, en soustrayant membre à membre ces deux égalités matricielles, on obtient : Cn+1 S = A (CnS).
En posant Un = CnS, on obtient une suite (Un) vérifiant Un+1 = A × Un et U0 = (C0S).
On applique donc les résultats du premier paragraphe : pour tout entier naturel n, Un = An × U0, c'est-à-dire : CnS = An (C0S) d'où Cn = An (C0S) + S.

L'essentiel
La suite Cn+1 = A × Cn peut s'exprimer en fonction de n : Cn = An × C0.
Si les coefficients de Cn convergent vers les coefficients correspondants de la matrice L, alors L est l'état stable de Cn et L = A × L.

L'état stable S de la suite Cn+1 = A × Cn + B est une matrice colonne qui vérifie S = AS + B, et si I A est inversible, S = (IA)-1 B.
Si la suite admet un état stable, elle s'exprime en fonction de n : Cn = An (C0S) + S.

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