Suites de matrices colonnes
Étudier l'éventuelle convergence de (Cn).
Obtenir un état stable.
On pourra effectuer une récurrence en prenant pour propriété « à l'étape n, Cn = An × C0 » et en utilisant le fait que Cn+1 = A × Cn.
Exemple : Si


Exemple :
Cn+1 =


La matrice I - A =



Preuve :
On sait que : Cn+1 = A × Cn + B et que S = A × S + B, en soustrayant membre à membre ces deux égalités matricielles, on obtient : Cn+1 – S = A (Cn – S).
En posant Un = Cn – S, on obtient une suite (Un) vérifiant Un+1 = A × Un et U0 = (C0 – S).
On applique donc les résultats du premier paragraphe : pour tout entier naturel n, Un = An × U0, c'est-à-dire : Cn – S = An (C0 – S) d'où Cn = An (C0 – S) + S.
Si les coefficients de Cn convergent vers les coefficients correspondants de la matrice L, alors L est l'état stable de Cn et L = A × L.
L'état stable S de la suite Cn+1 = A × Cn + B est une matrice colonne qui vérifie S = AS + B, et si I – A est inversible, S = (I – A)-1 B.
Si la suite admet un état stable, elle s'exprime en fonction de n : Cn = An (C0 – S) + S.

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