Suites de matrices colonnes
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Objectif
Savoir exprimer Cn en fonction de
n.
Étudier l'éventuelle convergence de (Cn).
Obtenir un état stable.
Étudier l'éventuelle convergence de (Cn).
Obtenir un état stable.
1. Suites du type Cn+1 = A × Cn
Soit N un entier naturel non nul. A est une
matrice carrée d'ordre N,
Cn est une matrice colonne
à N lignes vérifiant :
Cn+1 = A ×
Cn.
a. Expression de Cn en fonction de n
Pour tout entier naturel n, on a
Cn =
An ×
C0.
Preuve :On pourra effectuer une récurrence en prenant pour propriété « à l'étape n, Cn = An × C0 » et en utilisant le fait que Cn+1 = A × Cn.
b. Convergence de Cn
On dira que la suite (Cn) converge
vers une matrice L si et seulement si
tous les coefficients de
(Cn) convergent vers les
coefficients de L qui correspondent.
Exemple : Si
,
alors(Cn) converge vers 
Si (Cn) converge vers
L, on a alors L = AL. On dit que
L est l'état stable.
2. Suites du type Cn+1 = A × Cn + B
Soit N un entier naturel non nul. A est une
matrice carrée d'ordre N,
Cn et B sont des matrices
colonnes à N lignes vérifiant :
Cn+1 = A ×
Cn + B.
a. Expression de Cn en fonction de n
L'état stable est une matrice colonne
à N lignes que l'on appelle
S et qui est constant et qui
vérifie
S = AS + B.
On en déduit la propriété
suivante :
Si I – A est inversible, alors il existe
un état stable S défini par
(I – A)-1 B.
Exemple :
Cn+1 =
Cn + 
.La matrice I - A =
est inversible, d'inverse
. Il existe donc un
état stable S = 
.
b. Convergence de Cn
Si (Cn) admet un état
stable S, on a alors :
Cn =
An (C0 –
S) + S.
Preuve :
On sait que : Cn+1 = A × Cn + B et que S = A × S + B, en soustrayant membre à membre ces deux égalités matricielles, on obtient : Cn+1 – S = A (Cn – S).
En posant Un = Cn – S, on obtient une suite (Un) vérifiant Un+1 = A × Un et U0 = (C0 – S).
On applique donc les résultats du premier paragraphe : pour tout entier naturel n, Un = An × U0, c'est-à-dire : Cn – S = An (C0 – S) d'où Cn = An (C0 – S) + S.
L'essentiel
La suite Cn+1 = A
× Cn peut s'exprimer en
fonction de n : Cn
= An ×
C0.
Si les coefficients de Cn convergent vers les coefficients correspondants de la matrice L, alors L est l'état stable de Cn et L = A × L.
L'état stable S de la suite Cn+1 = A × Cn + B est une matrice colonne qui vérifie S = AS + B, et si I – A est inversible, S = (I – A)-1 B.
Si la suite admet un état stable, elle s'exprime en fonction de n : Cn = An (C0 – S) + S.
Si les coefficients de Cn convergent vers les coefficients correspondants de la matrice L, alors L est l'état stable de Cn et L = A × L.
L'état stable S de la suite Cn+1 = A × Cn + B est une matrice colonne qui vérifie S = AS + B, et si I – A est inversible, S = (I – A)-1 B.
Si la suite admet un état stable, elle s'exprime en fonction de n : Cn = An (C0 – S) + S.
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