Positions relatives de droites et de plans
Objectif
Étudier les positions relatives de droites et de
plans.
1. Positions relatives de deux droites
a. Droites coplanaires
Si les droites sont contenues dans un même plan,
les notions de géométrie plane
s'appliquent. On a donc :
Droites coplanaires et sécantes :
Si (d) et (d') sont coplanaires, alors
(d) et (d') sont soit :
♦ confondues ;
♦ parallèles (elles n'ont aucun point d'intersection) ;
♦ sécantes (elles ont un unique point d'intersection).
Exemples :
♦ confondues ;
♦ parallèles (elles n'ont aucun point d'intersection) ;
♦ sécantes (elles ont un unique point d'intersection).
Droites coplanaires et parallèles :
b. Droites non coplanaires
Si (d) et (d') sont non coplanaires,
aucun plan ne contient à la fois (d) et
(d').
Exemple :
2. Positions relatives d'une droite et d'un plan
Il n'y a que trois cas possibles pour les positions
relatives du plan P et de la droite (d).
Cas 1 : La droite (d) est
contenue dans le plan P.
Cas 2 : La droite (d) est strictement parallèle au plan P.
Cas 3 : La droite (d) est sécante au plan P. Il y a alors un unique point d'intersection.
Exemples :Cas 2 : La droite (d) est strictement parallèle au plan P.
Cas 3 : La droite (d) est sécante au plan P. Il y a alors un unique point d'intersection.
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| Cas 1 |
Cas 2 |
Cas 3 |
3. Cas particulier de l'orthogonalité d'une
droite et d'un plan
On est dans le cas où la droite (d) et le
plan P sont sécants.
On dit que la droite (d) est orthogonale au
plan P si (d) est orthogonale à deux
droites sécantes du plan P.
4. Positions relatives de deux plans
Il n'y a que trois cas possibles :
Cas 1 : les deux plans sont
confondus.
Cas 2 : les deux plans sont strictement parallèles, leur intersection est vide.
Cas 3 : les deux plans sont sécants, leur intersection est une droite.
Exemples :Cas 2 : les deux plans sont strictement parallèles, leur intersection est vide.
Cas 3 : les deux plans sont sécants, leur intersection est une droite.
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| Cas 2 | Cas 3 |
L'essentiel
Il y a 3 cas de positions relatives d'une droite et d'un plan
:
♦ la droite est contenue dans le plan ;
♦ le plan et la droite sont strictement parallèles ;
♦ la droite et le plan sont sécants en un point.
Il y a aussi 3 cas de positions relatives de deux plans :
♦ les plans sont confondus ;
♦ les deux plans sont strictement parallèles ;
♦ les deux plans sont sécants en une droite.
♦ la droite est contenue dans le plan ;
♦ le plan et la droite sont strictement parallèles ;
♦ la droite et le plan sont sécants en un point.
Il y a aussi 3 cas de positions relatives de deux plans :
♦ les plans sont confondus ;
♦ les deux plans sont strictement parallèles ;
♦ les deux plans sont sécants en une droite.
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