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Positions relatives de droites et de plans

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Objectif

Étudier les positions relatives de droites et de plans.

1. Positions relatives de deux droites

a. Droites coplanaires

Si les droites sont contenues dans un même plan, les notions de géométrie plane s'appliquent. On a donc :

Si (d) et (d') sont coplanaires, alors (d) et (d') sont soit :
♦ confondues ;
♦ parallèles (elles n'ont aucun point d'intersection) ;
♦ sécantes (elles ont un unique point d'intersection).

Exemples :

Droites coplanaires et parallèles :

Droites coplanaires et sécantes :

b. Droites non coplanaires

Si (d) et (d') sont non coplanaires, aucun plan ne contient à la fois (d) et (d').

Exemple :

2. Positions relatives d'une droite et d'un plan

Il n'y a que trois cas possibles pour les positions relatives du plan P et de la droite (d).

Cas 1 : La droite (d) est contenue dans le plan P.
Cas 2 : La droite (d) est strictement parallèle au plan P.
Cas 3 : La droite (d) est sécante au plan P. Il y a alors un unique point d'intersection.

Exemples :


Cas 1	Cas 2	Cas 3

3. Cas particulier de l'orthogonalité d'une droite et d'un plan

On est dans le cas où la droite (d) et le plan P sont sécants.

On dit que la droite (d) est orthogonale au plan P si (d) est orthogonale à deux droites sécantes du plan P.

4. Positions relatives de deux plans

Il n'y a que trois cas possibles :

Cas 1 : les deux plans sont confondus.
Cas 2 : les deux plans sont strictement parallèles, leur intersection est vide.
Cas 3 : les deux plans sont sécants, leur intersection est une droite.

Exemples :


Cas 2	Cas 3

L'essentiel

Il y a 3 cas de positions relatives d'une droite et d'un plan :
♦ la droite est contenue dans le plan ;
♦ le plan et la droite sont strictement parallèles ;
♦ la droite et le plan sont sécants en un point.

Il y a aussi 3 cas de positions relatives de deux plans :
♦ les plans sont confondus ;
♦ les deux plans sont strictement parallèles ;
♦ les deux plans sont sécants en une droite.