Écriture matricielle d'un système d'équations linéaires
Objectif
Traduction d'un système d'équations
linéaires en écriture matricielle.
Résoudre le système en utilisant l'inverse d'une matrice.
Résoudre le système en utilisant l'inverse d'une matrice.
1. Écriture matricielle d'un système
a. Cas général
Soit n un entier naturel non nul, le
système (S) donné par :
se traduit par l'écriture matricielle suivante :
AX = B avec
.
se traduit par l'écriture matricielle suivante :
AX = B avec
.
b. Exemple
Le système suivant 
se traduit par 
.
se traduit par .
2. Résolution à l'aide de matrices
a. Propriété
Si A est une matrice carrée
inversible d'ordre n, alors le
système d'équation dont l'écriture
matricielle est AX = B admet une
unique solution : X =
A-1B.
Exemple :
Le système
a pour écriture matricielle AX = B
avec 
.
Le déterminant de A est non nul, A
est donc inversible.À l'aide d'une calculatrice, on obtient
.
Il y a donc une unique solution
X = A-1B = 
.
b. Cas particuliers
Si la matrice A n'est pas inversible, le
système admet soit une infinité de
solutions, soit aucune solution.
Exemple 1 :
a pour écriture matricielle AX = B
avec 
.
Le déterminant de A est nul donc A
n'est pas inversible.On constate que la ligne 2 du système vaut 2 fois la première ligne, il y a donc une infinité de solutions.
Exemple 2 :
a pour écriture matricielle AX = B
avec 
.
Le déterminant de A est nul donc A
n'est pas inversible.Ici, la première et la seconde ligne du système ne sont pas proportionnelles, il n'y a donc pas de solutions.
L'essentiel
Un système d'équation se traduit par le produit
matriciel AX = B.
Ce système admet une unique solution si A est inversible : X = A-1B.
Ce système admet une unique solution si A est inversible : X = A-1B.
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