Fiche de cours

Puissance n-ième d'une matrice carrée d'ordre 2 ou 3

Lycée   >   Terminale   >   Mathématiques   >   Puissance n-ième d'une matrice carrée d'ordre 2 ou 3

  • Fiche de cours
  • Quiz et exercices
  • Vidéos et podcasts
Objectif
Savoir utiliser la notation puissance d'une matrice d'ordre 2 ou 3.
Calculer la puissance n-ième d'une matrice d'ordre 2 ou 3.
Puissance n-ième d'une matrice diagonale d'ordre 2 ou 3.
Puissance n-ième d'une matrice triangulaire supérieure stricte d'ordre 3.
De nombreux problèmes se résolvent à l'aide des puissances de matrices, on devra être capable d'utiliser sa calculatrice pour déterminer les coefficients.
1. Puissance n-ième d'une matrice carrée
a. Définition
Soit A une matrice carrée d'ordre 2 ou 3. Pour tout entier naturel n non nul, on a :
An+1 = A × An = An × A et A1 = A.
Remarque :
A et An commutent.

Attention !
On n'obtient pas, dans la plupart des cas, les coefficients de An en prenant la puissance n-ième des coefficients de A.
b. Exemples
Exemple 1 :
A = . On a A2 = et A3 = .


Exemple 2 :
A = . On a A2 = et A3 = .
2. Cas des matrices diagonales
a. Définition
Une matrice est diagonale si tous ses coefficients en dehors de sa diagonale principale sont nuls.
Exemple :  est une matrice diagonale.
b. Puissance n-ième
Pour trouver la puissance n-ième d'une matrice diagonale, il suffit d'élever à la puissance n les coefficients de la diagonale, tous les autres coefficients restant nuls.
Preuve :
Procédons par récurrence, dans le cas des matrices d'ordre 2.
Soit D une matrice diagonale, il existe deux réels a et b tels que D = . Montrons que pour tout entier naturel n non nul, on a : Dn =.
Initialisation : pour n = 1, D1 =.
Hérédité : supposons qu'au rang n on ait Dn = . On a alors Dn+1 = D × Dn = .
Conclusion : pour tout entier naturel n non nul, on a Dn =.

Exemple : A = . On a pour tout entier naturel n non nul An =.

3. Cas des matrices triangulaires supérieure stricte
a. Définition
Une matrice est dite triangulaire supérieure stricte si tous ses éléments situés sous sa diagonale principale sont nuls ainsi que tous les éléments de sa diagonale principale.
Exemple : est une matrice triangulaire supérieure stricte.
b. Puissance n-ième d'une matrice triangulaire supérieure stricte d'ordre 3
Si T est une matrice triangulaire supérieure stricte d'ordre 3, alors pour tout entier naturel supérieur ou égal à 3, on a T3 = .
Remarque : C'est la raison pour laquelle il est utile de les repérer !
L'essentiel
Pour A, matrice carrée d'ordre 2 ou 3, An+1 = A An = An A et A1 = A.
Pour une matrice diagonale, il suffit d'élever à la puissance n les coefficients de la diagonale.
Pour Tn, T matrice triangulaire supérieure stricte d'ordre 3, les coefficients deviennent nuls lorsque n > 3.

Évalue ce cours !

 

Note 2.7 / 5. Nombre de vote(s) : 159

Des quiz et exercices pour mieux assimiler sa leçon

La plateforme de soutien scolaire en ligne myMaxicours propose des quiz et exercices en accompagnement de chaque fiche de cours. Les exercices permettent de vérifier si la leçon est bien comprise ou s’il reste encore des notions à revoir.

S’abonner

 

Des exercices variés pour ne pas s’ennuyer

Les exercices se déclinent sous toutes leurs formes sur myMaxicours ! Selon la matière et la classe étudiées, retrouvez des dictées, des mots à relier ou encore des phrases à compléter, mais aussi des textes à trous et bien d’autres formats !

Dans les classes de primaire, l’accent est mis sur des exercices illustrés très ludiques pour motiver les plus jeunes.

S’abonner

 

Des quiz pour une évaluation en direct

Les quiz et exercices permettent d’avoir un retour immédiat sur la bonne compréhension du cours. Une fois toutes les réponses communiquées, le résultat s’affiche à l’écran et permet à l’élève de se situer immédiatement.

myMaxicours offre des solutions efficaces de révision grâce aux fiches de cours et aux exercices associés. L’élève se rassure pour le prochain examen en testant ses connaissances au préalable.

S’abonner

Des vidéos et des podcasts pour apprendre différemment

Certains élèves ont une mémoire visuelle quand d’autres ont plutôt une mémoire auditive. myMaxicours s’adapte à tous les enfants et adolescents pour leur proposer un apprentissage serein et efficace.

Découvrez de nombreuses vidéos et podcasts en complément des fiches de cours et des exercices pour une année scolaire au top !

S’abonner

 

Des podcasts pour les révisions

La plateforme de soutien scolaire en ligne myMaxicours propose des podcasts de révision pour toutes les classes à examen : troisième, première et terminale.

Les ados peuvent écouter les différents cours afin de mieux les mémoriser en préparation de leurs examens. Des fiches de cours de différentes matières sont disponibles en podcasts ainsi qu’une préparation au grand oral avec de nombreux conseils pratiques.

S’abonner

 

Des vidéos de cours pour comprendre en image

Des vidéos de cours illustrent les notions principales à retenir et complètent les fiches de cours. De quoi réviser sa prochaine évaluation ou son prochain examen en toute confiance !

S’abonner

Découvrez le soutien scolaire en ligne avec myMaxicours

Plongez dans l'univers de myMaxicours et découvrez une approche innovante du soutien scolaire en ligne, conçue pour captiver et éduquer les élèves de CP à la terminale. Notre plateforme se distingue par une riche sélection de contenus interactifs et ludiques, élaborés pour stimuler la concentration et la motivation à travers des parcours d'apprentissage adaptés à chaque tranche d'âge. Chez myMaxicours, nous croyons en une éducation où chaque élève trouve sa place, progresse à son rythme et développe sa confiance en soi dans un environnement bienveillant.

Profitez d'un accès direct à nos Profs en ligne pour une assistance personnalisée, ou explorez nos exercices et corrigés pour renforcer vos connaissances. Notre assistance scolaire en ligne est conçue pour vous accompagner à chaque étape de votre parcours éducatif, tandis que nos vidéos et fiches de cours offrent des explications claires et concises sur une multitude de sujets. Avec myMaxicours, avancez sereinement sur le chemin de la réussite scolaire, armé des meilleurs outils et du soutien de professionnels dédiés à votre épanouissement académique.

EXERCE-TOI EN T'ABONNANT

Fiches de cours les plus recherchées

Mathématiques

Écriture matricielle d'un système d'équations linéaires

Mathématiques

Suites de matrices colonnes

Mathématiques

Étude asymptotique d'une marche aléatoire

Mathématiques

Positions relatives de droites et de plans

Mathématiques

Orthogonalité de deux droites, d'une droite et d'un plan

Mathématiques

Caractérisation d'un plan

Mathématiques

Nombres premiers : questionnements et nombres premiers particuliers (application RSA)

Mathématiques

Représentation paramétrique d'une droite et d'un plan

Mathématiques

Les différents raisonnements mathématiques- Première- Mathématiques

Mathématiques

Construire un arbre de probabilité- Première- Mathématiques