Puissance n-ième d'une matrice carrée d'ordre 2 ou 3
- Fiche de cours
- Quiz
- Profs en ligne
- Videos
- Application mobile
Objectif
Savoir utiliser la notation puissance d'une matrice d'ordre 2
ou 3.
Calculer la puissance n-ième d'une matrice d'ordre 2 ou 3.
Puissance n-ième d'une matrice diagonale d'ordre 2 ou 3.
Puissance n-ième d'une matrice triangulaire supérieure stricte d'ordre 3.
Calculer la puissance n-ième d'une matrice d'ordre 2 ou 3.
Puissance n-ième d'une matrice diagonale d'ordre 2 ou 3.
Puissance n-ième d'une matrice triangulaire supérieure stricte d'ordre 3.
De nombreux problèmes se résolvent à
l'aide des puissances de matrices, on devra être capable
d'utiliser sa calculatrice pour déterminer les
coefficients.
1. Puissance n-ième d'une matrice carrée
a. Définition
Soit A une matrice carrée d'ordre 2 ou 3.
Pour tout entier naturel n non nul, on a :
An+1 = A × An = An × A et A1 = A.
An+1 = A × An = An × A et A1 = A.
Remarque :
A et An commutent.
Attention !
On n'obtient pas, dans la plupart des cas, les coefficients de An en prenant la puissance n-ième des coefficients de A.
b. Exemples
Exemple 1 :
A = 
. On a A2 =
et A3 = 
.
Exemple 2 :
A = 
. On a A2 =
et A3 = 
.
2. Cas des matrices diagonales
a. Définition
Une matrice est diagonale si tous ses
coefficients en dehors de sa diagonale principale sont
nuls.
Exemple : 
est une matrice diagonale.
b. Puissance n-ième
Pour trouver la puissance n-ième d'une
matrice diagonale, il suffit d'élever à
la puissance n les coefficients de la diagonale,
tous les autres coefficients restant nuls.
Preuve :
Procédons par récurrence, dans le cas
des matrices d'ordre 2.Soit D une matrice diagonale, il existe deux réels a et b tels que D =
.
Montrons que pour tout entier naturel n non nul,
on a : Dn =
.Initialisation : pour n = 1, D1 =
.Hérédité : supposons qu'au rang n on ait Dn =
.
On a alors
Dn+1 = D
×
Dn = 
.Conclusion : pour tout entier naturel n non nul, on a Dn =
.Exemple : A =
.
On a pour tout entier naturel n non nul
An =
.
3. Cas des matrices triangulaires supérieure
stricte
a. Définition
Une matrice est dite triangulaire supérieure
stricte si tous ses éléments
situés sous sa diagonale principale sont nuls
ainsi que tous les éléments de sa
diagonale principale.
Exemple : 
est une matrice triangulaire supérieure
stricte.
b. Puissance n-ième d'une matrice
triangulaire supérieure stricte d'ordre 3
Si T est une matrice triangulaire
supérieure stricte d'ordre 3, alors pour
tout entier naturel supérieur ou égal
à 3, on a T3 = 
.
Remarque : C'est la raison pour
laquelle il est utile de les repérer !.
L'essentiel
Pour A, matrice carrée d'ordre 2 ou 3,
An+1 = A An =
An A et A1 =
A.
Pour une matrice diagonale, il suffit d'élever à la puissance n les coefficients de la diagonale.
Pour Tn, T matrice triangulaire supérieure stricte d'ordre 3, les coefficients deviennent nuls lorsque n > 3.
Pour une matrice diagonale, il suffit d'élever à la puissance n les coefficients de la diagonale.
Pour Tn, T matrice triangulaire supérieure stricte d'ordre 3, les coefficients deviennent nuls lorsque n > 3.
Comment as-tu trouvé ce cours ?
Évalue ce cours !
Vous avez obtenu75%de bonnes réponses !
Recevez l'intégralité des bonnes réponses ainsi que les rappels de cours associés :
Fiches de cours les plus recherchées
Mathématiques
Écriture matricielle d'un système d'équations linéaires
Mathématiques
Suites de matrices colonnes
Mathématiques
Étude asymptotique d'une marche aléatoire
Mathématiques
Positions relatives de droites et de plans
Mathématiques
Orthogonalité de deux droites, d'une droite et d'un plan
Mathématiques
Caractérisation d'un plan
Mathématiques
Nombres premiers : questionnements et nombres premiers particuliers (application RSA)
Mathématiques
Représentation paramétrique d'une droite et d'un plan
Mathématiques
Les différents raisonnements mathématiques- Première- Mathématiques
Mathématiques
Construire un arbre de probabilité- Première- Mathématiques
Fermer
Accédez gratuitement à
