Puissance n-ième d'une matrice carrée d'ordre 2 ou 3
Objectif
Savoir utiliser la notation puissance d'une matrice d'ordre 2
ou 3.
Calculer la puissance n-ième d'une matrice d'ordre 2 ou 3.
Puissance n-ième d'une matrice diagonale d'ordre 2 ou 3.
Puissance n-ième d'une matrice triangulaire supérieure stricte d'ordre 3.
Calculer la puissance n-ième d'une matrice d'ordre 2 ou 3.
Puissance n-ième d'une matrice diagonale d'ordre 2 ou 3.
Puissance n-ième d'une matrice triangulaire supérieure stricte d'ordre 3.
De nombreux problèmes se résolvent à
l'aide des puissances de matrices, on devra être capable
d'utiliser sa calculatrice pour déterminer les
coefficients.
1. Puissance n-ième d'une matrice carrée
a. Définition
Soit A une matrice carrée d'ordre 2 ou 3.
Pour tout entier naturel n non nul, on a :
An+1 = A × An = An × A et A1 = A.
An+1 = A × An = An × A et A1 = A.
Remarque :
A et An commutent.
Attention !
On n'obtient pas, dans la plupart des cas, les coefficients de An en prenant la puissance n-ième des coefficients de A.
b. Exemples
Exemple 1 :
A = 
. On a A2 =
et A3 = 
.
Exemple 2 :
A = 
. On a A2 =
et A3 = 
.
2. Cas des matrices diagonales
a. Définition
Une matrice est diagonale si tous ses
coefficients en dehors de sa diagonale principale sont
nuls.
Exemple : 
est une matrice diagonale.
b. Puissance n-ième
Pour trouver la puissance n-ième d'une
matrice diagonale, il suffit d'élever à
la puissance n les coefficients de la diagonale,
tous les autres coefficients restant nuls.
Preuve :
Procédons par récurrence, dans le cas
des matrices d'ordre 2.Soit D une matrice diagonale, il existe deux réels a et b tels que D =
.
Montrons que pour tout entier naturel n non nul,
on a : Dn =
.Initialisation : pour n = 1, D1 =
.Hérédité : supposons qu'au rang n on ait Dn =
.
On a alors
Dn+1 = D
×
Dn = 
.Conclusion : pour tout entier naturel n non nul, on a Dn =
.Exemple : A =
.
On a pour tout entier naturel n non nul
An =
.
3. Cas des matrices triangulaires supérieure
stricte
a. Définition
Une matrice est dite triangulaire supérieure
stricte si tous ses éléments
situés sous sa diagonale principale sont nuls
ainsi que tous les éléments de sa
diagonale principale.
Exemple : 
est une matrice triangulaire supérieure
stricte.
b. Puissance n-ième d'une matrice
triangulaire supérieure stricte d'ordre 3
Si T est une matrice triangulaire
supérieure stricte d'ordre 3, alors pour
tout entier naturel supérieur ou égal
à 3, on a T3 = 
.
Remarque : C'est la raison pour
laquelle il est utile de les repérer !.
L'essentiel
Pour A, matrice carrée d'ordre 2 ou 3,
An+1 = A An =
An A et A1 =
A.
Pour une matrice diagonale, il suffit d'élever à la puissance n les coefficients de la diagonale.
Pour Tn, T matrice triangulaire supérieure stricte d'ordre 3, les coefficients deviennent nuls lorsque n > 3.
Pour une matrice diagonale, il suffit d'élever à la puissance n les coefficients de la diagonale.
Pour Tn, T matrice triangulaire supérieure stricte d'ordre 3, les coefficients deviennent nuls lorsque n > 3.
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