Puissance n-ième d'une matrice carrée d'ordre 2 ou 3 - Maxicours

Puissance n-ième d'une matrice carrée d'ordre 2 ou 3

Objectif
Savoir utiliser la notation puissance d'une matrice d'ordre 2 ou 3.
Calculer la puissance n-ième d'une matrice d'ordre 2 ou 3.
Puissance n-ième d'une matrice diagonale d'ordre 2 ou 3.
Puissance n-ième d'une matrice triangulaire supérieure stricte d'ordre 3.
De nombreux problèmes se résolvent à l'aide des puissances de matrices, on devra être capable d'utiliser sa calculatrice pour déterminer les coefficients.
1. Puissance n-ième d'une matrice carrée
a. Définition
Soit A une matrice carrée d'ordre 2 ou 3. Pour tout entier naturel n non nul, on a :
An+1 = A × An = An × A et A1 = A.
Remarque :
A et An commutent.

Attention !
On n'obtient pas, dans la plupart des cas, les coefficients de An en prenant la puissance n-ième des coefficients de A.
b. Exemples
Exemple 1 :
A = . On a A2 = et A3 = .


Exemple 2 :
A = . On a A2 = et A3 = .
2. Cas des matrices diagonales
a. Définition
Une matrice est diagonale si tous ses coefficients en dehors de sa diagonale principale sont nuls.
Exemple :  est une matrice diagonale.
b. Puissance n-ième
Pour trouver la puissance n-ième d'une matrice diagonale, il suffit d'élever à la puissance n les coefficients de la diagonale, tous les autres coefficients restant nuls.
Preuve :
Procédons par récurrence, dans le cas des matrices d'ordre 2.
Soit D une matrice diagonale, il existe deux réels a et b tels que D = . Montrons que pour tout entier naturel n non nul, on a : Dn =.
Initialisation : pour n = 1, D1 =.
Hérédité : supposons qu'au rang n on ait Dn = . On a alors Dn+1 = D × Dn = .
Conclusion : pour tout entier naturel n non nul, on a Dn =.

Exemple :
A = . On a pour tout entier naturel n non nul An =.

3. Cas des matrices triangulaires supérieure stricte
a. Définition
Une matrice est dite triangulaire supérieure stricte si tous ses éléments situés sous sa diagonale principale sont nuls ainsi que tous les éléments de sa diagonale principale.
Exemple : est une matrice triangulaire supérieure stricte.
b. Puissance n-ième d'une matrice triangulaire supérieure stricte d'ordre 3
Si T est une matrice triangulaire supérieure stricte d'ordre 3, alors pour tout entier naturel supérieur ou égal à 3, on a T3 = .
Remarque : C'est la raison pour laquelle il est utile de les repérer !
L'essentiel
Pour A, matrice carrée d'ordre 2 ou 3, An+1 = A An = An A et A1 = A.
Pour une matrice diagonale, il suffit d'élever à la puissance n les coefficients de la diagonale.
Pour Tn, T matrice triangulaire supérieure stricte d'ordre 3, les coefficients deviennent nuls lorsque n > 3.

Vous avez déjà mis une note à ce cours.

Découvrez les autres cours offerts par Maxicours !

Découvrez Maxicours

Comment as-tu trouvé ce cours ?

Évalue ce cours !

 

quote blanc icon

Découvrez Maxicours

Exerce toi en t’abonnant

Des profs en ligne

  • 6 j/7 de 17 h à 20 h
  • Par chat, audio, vidéo
  • Sur les matières principales

Des ressources riches

  • Fiches, vidéos de cours
  • Exercices & corrigés
  • Modules de révisions Bac et Brevet

Des outils ludiques

  • Coach virtuel
  • Quiz interactifs
  • Planning de révision

Des tableaux de bord

  • Suivi de la progression
  • Score d’assiduité
  • Un compte Parent

Inscrivez-vous à notre newsletter !

Votre adresse e-mail sera exclusivement utilisée pour vous envoyer notre newsletter. Vous pourrez vous désinscrire à tout moment, à travers le lien de désinscription présent dans chaque newsletter. Conformément à la Loi Informatique et Libertés n°78-17 du 6 janvier 1978 modifiée, au RGPD n°2016/679 et à la Loi pour une République numérique du 7 octobre 2016, vous disposez du droit d’accès, de rectification, de limitation, d’opposition, de suppression, du droit à la portabilité de vos données, de transmettre des directives sur leur sort en cas de décès. Vous pouvez exercer ces droits en adressant un mail à : contact-donnees@sejer.fr. Vous avez la possibilité de former une réclamation auprès de l’autorité compétente. En savoir plus sur notre politique de confidentialité