Complément algorithmique : calcul d'aires
- Fiche de cours
- Quiz et exercices
- Vidéos et podcasts
Historiquement, le calcul intégral est utilisé depuis l’antiquité.
On attribue à Eudoxe de Cnide (né vers -408 et décédé vers -355, auteur supposé des livres V et XII des Éléments d'Euclide) la paternité de la « méthode d'exhaustion ». Archimède (-288 / -212) l’utilisa, entre autre pour une excellente approximation de
.Cavalieri (1598 / 1647) approche encore davantage le calcul intégral en créant la géométrie des indivisibles, où les lignes sont considérées comme formées d'un nombre infini de points ; les surfaces d'une infinité de lignes et les solides d'une infinité de surfaces. Par cette méthode, il réussit à résoudre un grand nombre de problèmes (surfaces donc aires et des volumes).
On attribue à Newton (1642 / 1727) et surtout Leibnitz (1646 / 1716) « l’invention » du calcul infinitésimal, contenant le calcul différentiel et le calcul intégral.
Le principe repose sur le découpage en petits éléments (infinitésimaux) qui seront ajoutés (par sommation) pour donner la totalité de ce qui est recherché.
Nous allons utiliser ce principe pour calculer l’aire sous la courbe de quelques fonctions, à l’aide de petits programmes sur calculatrice (ou logiciel mathématique).
La programmation des aires
On suppose f fonction définie continue et positive sur l’intervalle étudié.
Une approximation peut être obtenue en découpant l’aire en rectangles de largeur
(le 'pas' choisi) et de hauteur y = f(x), cas de la
figure 2.
On appelle A1 cette aire. On prendra n = 100 ou n = 1000 (si la calculatrice est suffisamment rapide).
On peut aussi calculer l’aire des n rectangles de largeur
et de hauteur 
, cas de la figure 3. On
l’appelle A2.
Cela permet (dans ce cas de figure), l'encadrement de :
A1
Aire (recherchée) 
A2.
C’est construire des trapèzes de largeur
, et de bases f(x) et 
. C’est aussi la moyenne des
deux aires précédentes A1 et
A2.
|
Variables I un entier (compteur), N entier positif entre 10 et 1000 A, B réels (bornes inf et sup) S réel (aire rectangles inf), T réel (aire rectangles sup) Début Initialiser S par 0, initialiser T par 0. Répéter Entrer A et B Jusqu’à ce que A < B Répéter Entrer N Jusqu’à ce que 10 ≤ N et N ≤ 1000 Pour I variant de 0 jusqu’à N-1 Initialiser S par  Initialiser T par  Fin Pour Afficher S, T Fin |
|
| TI-84 - 83 - 82 stat | Casio Graph 35+ |
|
|
|
|
Remarques
• Il est tout à fait possible de réaliser d’autres programmes.
• La fonction est définie en Y1 (ou F1). Ne pas oublier de le faire avant de lancer le programme.
• La boucle « répéter… jusqu’à ce que » n’existe pas sur la Graph35+ on utilise alors, avec un petit changement, la boucle « tant que ».
• Il faut bien connaître le mode d’emploi de la Graph35+ pour arriver à entrer le programme dans la machine !
• Toujours pour la Graph35+, on peut trouver curieux de devoir initialiser X à 1. Si ce n’est pas fait, le calcul des valeurs de la fonction est multiplié par la valeur de la variable X qui peut valoir n’importe quoi.
Sur la TI-Nspire CAS, qui est une calculatrice formelle, on profitera des possibilités de la machine pour créer un sous programme (une fonction de calcul) récursif pour le calcul de l’aire et obtenir directement les deux aires (et même la troisième des trapèzes).
| TI-Nspire CAS | Commentaires |
|
Dans une page « Calculs » on appelle le programme (une fois qu’il est écrit). |
|
Le programme qui initialise la fonction F1, puis
demande les différents
paramètres. Appel de la fonction récursive, écriture du résultat et son approximation. Pour les rectangles inférieurs et supérieurs, puis les trapèzes. (Ne pas oublier de contrôler la syntaxe par « Ctrl » + « B ») |
|
La fonction récursive. Il faut les rectangles depuis la hauteur f(a) jusqu’à celle avant f(b) qui est  , par pas de
 .Puis les rectangles depuis la hauteur  jusqu’à
f(b), par pas de  .Appel récursif. (Ne pas oublier de contrôler la syntaxe par « Ctrl » + « B ») |
Remarques
• Que peut-on dire de la différence entre A1 et A2 lorsque n croit ?
• Un ordre de grandeur de l'erreur commise avec la méthode des rectangles est de
. Le résultat étant
visiblement 
, si N = 100, l’erreur
devrait être d’environ 
, soit 0,005.• Un ordre de grandeur de l'erreur commise avec la méthode des trapèzes est de
. Le résultat étant
visiblement 
, si N = 100, l’erreur
devrait être d’environ 
, soit 0,00005.• Il existe d’autres méthodes d’approximation d’une aire.
Évalue ce cours !
Des quiz et exercices pour mieux assimiler sa leçon
La plateforme de soutien scolaire en ligne myMaxicours propose des quiz et exercices en accompagnement de chaque fiche de cours. Les exercices permettent de vérifier si la leçon est bien comprise ou s’il reste encore des notions à revoir.
Des exercices variés pour ne pas s’ennuyer
Les exercices se déclinent sous toutes leurs formes sur myMaxicours ! Selon la matière et la classe étudiées, retrouvez des dictées, des mots à relier ou encore des phrases à compléter, mais aussi des textes à trous et bien d’autres formats !
Dans les classes de primaire, l’accent est mis sur des exercices illustrés très ludiques pour motiver les plus jeunes.
Des quiz pour une évaluation en direct
Les quiz et exercices permettent d’avoir un retour immédiat sur la bonne compréhension du cours. Une fois toutes les réponses communiquées, le résultat s’affiche à l’écran et permet à l’élève de se situer immédiatement.
myMaxicours offre des solutions efficaces de révision grâce aux fiches de cours et aux exercices associés. L’élève se rassure pour le prochain examen en testant ses connaissances au préalable.
Des vidéos et des podcasts pour apprendre différemment
Certains élèves ont une mémoire visuelle quand d’autres ont plutôt une mémoire auditive. myMaxicours s’adapte à tous les enfants et adolescents pour leur proposer un apprentissage serein et efficace.
Découvrez de nombreuses vidéos et podcasts en complément des fiches de cours et des exercices pour une année scolaire au top !
Des podcasts pour les révisions
La plateforme de soutien scolaire en ligne myMaxicours propose des podcasts de révision pour toutes les classes à examen : troisième, première et terminale.
Les ados peuvent écouter les différents cours afin de mieux les mémoriser en préparation de leurs examens. Des fiches de cours de différentes matières sont disponibles en podcasts ainsi qu’une préparation au grand oral avec de nombreux conseils pratiques.
Des vidéos de cours pour comprendre en image
Des vidéos de cours illustrent les notions principales à retenir et complètent les fiches de cours. De quoi réviser sa prochaine évaluation ou son prochain examen en toute confiance !
Fiches de cours les plus recherchées
Mathématiques
La fonction exponentielle : théorèmes et définitions
Mathématiques
La fonction exponentielle : variations et limites
Mathématiques
Utilisation de la calculatrice : programmer un algorithme
Mathématiques
Éléments de base et instructions conditionnelles
Mathématiques
Les structures répétitives ou itératives (boucles)
Mathématiques
Puissance n-ième d'une matrice carrée d'ordre 2 ou 3
Mathématiques
Écriture matricielle d'un système d'équations linéaires
Mathématiques
Suites de matrices colonnes
Mathématiques
Étude asymptotique d'une marche aléatoire
Mathématiques
Positions relatives de droites et de plans
Fermer
Accédez gratuitement à
