Suites numériques : opérations sur les limites - Cours de Mathématiques Terminale S avec Maxicours - Lycée

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Suites numériques : opérations sur les limites

Objectif(s)
• Donner les théorèmes opératoires (somme, produit et quotient) sur les limites d’une suite.
Pour toute cette fiche, on considère (u ; v) un couple de suites numériques convergeant respectivement vers les réels L et L’ ou divergeant vers les infinis.

Notation
Les points d’interrogation (?) signalent ce que l’on appelle les formes indéterminées (F.I.).
Une F.I. correspond à un cas de suite dont la règle opératoire qui la détermine ne permet pas de conclure quant à la limite. Cela ne signifie pas que la suite n’a pas de limite, mais qu’avec la règle opératoire utilisée (qui n’est autre qu’un théorème) on ne peut pas conclure.
Une étude spécifique doit être menée (avec un changement d’écriture de la suite) pour « lever » cette indétermination et trouver la limite si elle existe.

1. Limite d'une somme
Propriété 1 (admise)
On dispose des six propositions suivantes :

  1 2 3 4 5 6
Si lim (un) = L L L
et si lim (vn) = L'
alors lim (un + vn) = L + L' ?






Exemple ayant valeur de « modèle rédactionnel »
Pour tout entier naturel n, on pose sn = n2 + n et tn = n2 - n. Étudier la limite de ces deux suites.

On dispose des propositions suivantes :

   • , il s’agit de l’application des exemples usuels connus et de la proposition 4 de la propriété 1.

   • , il y a une F.I. par application de la proposition 6 de la propriété 1. On va devoir écrire tn autrement, mais il faut avant connaître la propriété 2… un peu de patience donc !

2. Limite d'un produit
Propriété 2 (admise)
On dispose des neuf propositions suivantes :

  1 2 3 4 5 6 7 8 9
Si lim (un) = L L > 0 L < 0 L > 0 L < 0 0
et si lim (vn) = L'
alors lim (un × vn) = L × L' ?

Remarques

• Il faut faire très attention au cas de F.I.
En effet, on est habitué à ce que la multiplication de tout nombre par 0 fasse 0 ; MAIS ici, on ne multiplie pas par 0.
lim (un) = 0 est une notation dangereuse, car il s’agit d’un zéro de notation de limite et personnellement nous préférons la notation .
Cette F.I. soulève donc le « problème » de la multiplication de deux quantités, l’une infiniment proche de 0 et l’autre infiniment grande en valeur absolue ; entre ces deux infinis (le « petit » et le « grand »), on ne peut savoir a priori qui « va l’emporter » : une autre écriture de la suite est donc nécessaire.

• On ne donne pas de propriété pour la soustraction.
En effet, un – vn = un + (- vn) et – vn = (-1) × vn et comme suite constante.
On peut alors conclure que si vn a une limite alors – vn a une limite opposée à celle-ci.

Exemple ayant valeur de « modèle rédactionnel »
• Pour tout entier naturel n, on pose pn = - 3n²,  tn = n2- n et . Étudier la limite de ces trois suites.

On dispose des propositions suivantes :
 
   • , il s’agit de l’application des exemples usuels (avec -3 suite constante) et de la proposition 3 de la propriété 2.

   • On a vu au 1) qu’on a une F.I. pour tn ; on va donc transformer l’écriture de tn.
tn = n(n - 1) = n(n + (-1) ; on a tout simplement mis en facteur.

  par application de la proposition 2 de la propriété 1.

  , il s’agit de l’application de la proposition 6 de la propriété 2. On a donc « levé » la F.I. de tn.

   • .

On montre avec la propriété 1 que et on sait que .

Donc , d’après la proposition 9 de la propriété 2 (on répète ici le danger du zéro qui entraîne souvent le réflexe multiplicatif d’écrire 0 comme limite pour rn.
Or, on ne multiplie pas ici par 0, mais par une quantité proche de 0.

On doit donc « lever » la F.I., on transforme l'écriture de rn :



et , donc par application de la proposition 2 de la propriété 1.

3. Limite d'un quotient
Pour tout ce paragraphe v est une suite numérique telle que pour tout entier naturel n, vn ≠ 0.
Par contre attention, la lim (vn) peut être nulle.
On va d’ailleurs séparer les cas par rapport à cette possibilité.

Propriété 3 (admise)
On suppose ici que lim (vn) ≠ 0.
On dispose des huit propositions suivantes :

  1 2 3 4 5 6 7 8
Si lim (un) = L L 0
et si lim (vn) = L' L' ou
L' > 0 L' < 0 L' > 0 L' < 0
alors lim (un / vn) = L / L' 0 0 ?


Propriété 4 (admise)
On suppose ici que lim (vn) = 0.
On démontre et on admet ici que dans ce cas vn > 0 ou vn < 0 à partir d’un certain rang, autrement dit que vn garde un signe constant à partir d’un certain rang.
On s’autorise parfois la notation pour dire que vn > 0 à partir d’un certain rang ou pour dire que vn < 0 à partir d’un certain rang.
C’est ce que l’on fera dans le tableau par souci de commodité d’écriture.

On dispose ainsi des neuf propositions suivantes :

  1 2 3 4 5 6 7 8 9
Si lim (un) = L > 0 L < 0 L > 0 L < 0 0
et si lim (vn) = 0 0+ 0+ 0+ 0+ 0- 0- 0- 0- 0
alors lim (un / vn) = ?


Remarque « explicative »
Prenons par exemple la proposition 7 de la propriété 4.

Elle indique que : .

Pour retenir ce résultat et les autres, il suffit de raisonner logiquement en pensant (MAIS en ne l’écrivant pas sur la copie !) :
« » a un signe NEGATIF (+/- = -) et on divise un très grand nombre par un nombre très proche de zéro, on obtient donc un nombre négatif très grand en valeur absolue, à savoir .

Exemple ayant valeur de « modèle rédactionnel »

Pour tout entier naturel n, on pose et . Étudier la limite de ces deux suites.

On dispose des propositions suivantes :
    • , il s’agit de l’application des exemples usuels et de la proposition 2 de la propriété 3.

    • On démontre avec la propriété 1 que et, donc d’après la proposition 7 de la propriété 3.

On doit donc lever la F.I., pour cela, on transforme l'expression de an en factorisant par n.

Pour n non nul, on obtient : .

Or, et , donc on montre facilement avec les différentes propriétés calculatoires que et .

Finalement, d’après la proposition 2 de la propriété 3.


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