Calcul d'intégrales : définitions et notations
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Objectif(s)
Calculer une intégrale.
Recherche de primitives.
Utiliser le calcul intégral pour déterminer une aire.
Recherche de primitives.
Utiliser le calcul intégral pour déterminer une aire.
Attention
Il faut bien connaître la dérivation et les dérivées pour préparer cette leçon. Revoir et bien connaître le tableau des fonctions usuelles et de leur fonction dérivée. Il faut avoir vu les fonctions exponentielle et logarithme.
Il faut bien connaître la dérivation et les dérivées pour préparer cette leçon. Revoir et bien connaître le tableau des fonctions usuelles et de leur fonction dérivée. Il faut avoir vu les fonctions exponentielle et logarithme.
1. Définitions
a. Unités d'aire
Dans un repère orthogonal (O ; I ; J)
l’unité d’aire, notée
u.a est l’aire du rectangle OIAJ.
Pour le repère ci-dessus (unités en cm), l’unité d’aire est de 3 × 1 = 3 cm2.
Si l'on calcule l’aire d’une figure géométrique dans ce repère, le résultat en cm2 devra être multiplié par 3.
Remarque
Cette définition est très utilisée pour les différents calculs d’aires qui suivront.
b. Intégrale d'une fonction continue positive
Pour une fonction f continue, positive sur un
intervalle I = [a ; b], soit C sa courbe
représentative sur I dans un repère
orthogonal.
L’intégrale de a à b de la fonction f sur I est l’aire (en unités d’aires) du domaine compris entre l’axe des abscisses, la courbe C et les verticales d’abscisses x = a et x = b.
L’intégrale de a à b de la fonction f sur I est l’aire (en unités d’aires) du domaine compris entre l’axe des abscisses, la courbe C et les verticales d’abscisses x = a et x = b.
On note 
et on dira « intégrale de a
à b de f » ou « somme de a
à b de f ».
et on dira « intégrale de a
à b de f » ou « somme de a
à b de f ».
Ci-dessus, la fonction définie sur [-1,8 ; 5] par f(x) = x3 - 2x2 - 3x + 7 est continue positive.
u.a.Le repère est orthonormal (ou orthonormé) gradué en cm. L’unité d’aire vaut 1 cm2.
L’aire sous la courbe entre -1,8 et 3 est donc environ 20,11 cm2.
2. Propriétés et théorème
• L’intégrale d’une fonction
positive entre a et b, avec a ≤ b est positive
(puisque c’est une aire).
• Relation de Chasles
Pour tous réels a, b, c tels que a ≤ b ≤ c on a :
.
•
.
• Relation de Chasles
Pour tous réels a, b, c tels que a ≤ b ≤ c on a :
.•
.
Théorème
Pour une fonction f continue, positive sur un intervalle
I = [a ; b], la fonction F définie par
:
est dérivable sur I de dérivée f,
est l'unique primitive de f s'annulant en a.
On a donc :
.
est dérivable sur I de dérivée f,
est l'unique primitive de f s'annulant en a.On a donc :
.
3. Primitives d'une fonction continue sur un intervalle
a. Définition
Pour une fonction f continue sur un intervalle I = [a ;
b], une primitive de F dérivable sur I est une
fonction dont la dérivée est égale
à f.
Par exemple, soit f(x) = 6x - 2 définie continue sur
.F : → 3x2 - 2x + 1 est définie sur
est une primitive de f sur I (il suffit de
dériver).On peut remarquer que F : → 3x2 - 2x + 1 est aussi une primitive de f sur I.
b. Propriétés
• Toute fonction continue sur un intervalle I
admet des primitives sur cet intervalle.
• Pour une fonction f continue sur un intervalle I
= [a ; b], si F est une primitive de f sur I, alors
toutes les primitives de f sur I sont de la forme G(x)
= F(x) + k où k est un réel.
Par exemple, nous avons vu que f(x) = 6x - 2 a pour
primitive F(x) = 3x2 - 2x - 1 ou F(x) + 2 =
3x2 - 2x + 1.Ajouter n’importe quel nombre réel à F(x) donne toujours une primitive de f.
• Pour une fonction f continue sur un intervalle I
= [a ; b], il existe une unique primitive de f sur I
prenant la valeur y0 (un réel) pour
x0 (un réel de I).
Par exemple, sur I = ]-1 ; +∞[, la fonction
n’admet qu’une seule primitive qui
vaut 3 pour x0 = 1, c’est 
(vérifier en dérivant F que
c’est bien une primitive de f, puis calculer
F(1)).
• Pour une fonction f continue sur un intervalle I
= [a ; b], et F l’une de ses primitives, on a
:
.
.
• Pour toute fonction continue (pas
forcément positive) sur I = [a ; b], on a
.
.
• Si F et G sont des primitives de f et g, alors F
+ G est une primitive de f + g.
• Si F est une primitive de f sur I alors pour
tout réel k, kF est une primitive de kf sur I.
4. Primitives d'une fonction continue sur un intervalle
Soir c un réel (une constante).
Ce tableau permet de déterminer une primitive des fonctions usuelles.
Il faut connaître aussi :
• Pour u une fonction dérivable sur I = [a ; b], une primitive de
est eu .
• Pour u une fonction dérivable sur I = [a ; b], une primitive de
est ln(u) et u strictement
positive sur l'intervalle I.
Remarque : si u(x) < 0 sur I alors 0 < - u(x). Une primitive de
est
alors ln(-u).
Ce tableau permet de déterminer une primitive des fonctions usuelles.
| Fonction | Fonction primitive | Intervalle de définition |
| f(x) = k (k un réel, une constante) |
|
|
| f(x) = x |
|
|
| f(x) = x2 |
|
|
| f(x) = xn pour n entier relatif avec n ≠ -1 et n ≠ 0. |
|
 si 1 ≤ n
ou]-∞ ; 0[ ou ]0 ; +∞[ si n ≤ -2.
|
| f(x) = ex |
 que l’on
écrit aussi 
|
|
|
|
|
|
|
|
Il faut connaître aussi :
• Pour u une fonction dérivable sur I = [a ; b], une primitive de
est eu .• Pour u une fonction dérivable sur I = [a ; b], une primitive de
est ln(u) et u strictement
positive sur l'intervalle I.Remarque : si u(x) < 0 sur I alors 0 < - u(x). Une primitive de
est
alors ln(-u).
5. Applications du calcul intégral
a. Aire du domaine compris entre deux courbes
Pour f et g deux fonctions définies, continues
et positives sur un intervalle avec sur cet intervalle
f ≤ g, l’aire A comprise entre la courbe
Cf représentative de f et
Cg celle de g, et les verticales des
abscisses a et b, est donnée par : 
.
.
Ci-dessus, soit f(x) = x2 et g(x) = x3 - 2x2 - 3x + 7, a = -1,6 et b = 1,34 (ce sont approximativement les abscisses des points d’intersection des deux courbes).
Calcul de l’aire comprise entre les courbes Cf et Cg. Cette valeur se calcule en recherchant une primitive de la fonction
.Par exemple,
est une primitive de f - g (utiliser le tableau
pour obtenir cette primitive).Remarque
Pour le calcul d’aire, il n’est pas nécessaire d’ajouter la constante.
Il suffit alors de calculer F(1,34) - F(-1,6) (utiliser une calculatrice).
On trouve approximativement A = 14,39 cm2 (le repère est orthonormal, l’unité d’aire vaut 1 cm2).
b. Valeur moyenne
Pour f une fonction définie, continue et
positive sur un intervalle I = [a ; b], la valeur
moyenne de f sur I est le nombre : 
.
.
Ci-dessus, l’aire sous la courbe entre a = -1 et b = 3 vaut exactement
soit environ 17,33.On peut interpréter la valeur moyenne entre a et b comme l’aire donnée par une fonction constante pour la même valeur.
Cette valeur moyenne correspond à un rectangle de même aire que l’aire sous la courbe.
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