Lycée   >   Terminale   >   Mathématiques   >   Calcul d'intégrales : définitions et notations

Calcul d'intégrales : définitions et notations

  • Fiche de cours
  • Quiz
  • Profs en ligne
Objectif(s)
Calculer une intégrale.
Recherche de primitives.
Utiliser le calcul intégral pour déterminer une aire.
Attention
Il faut bien connaître la dérivation et les dérivées pour préparer cette leçon. Revoir et bien connaître le tableau des fonctions usuelles et de leur fonction dérivée. Il faut avoir vu les fonctions exponentielle et logarithme.
1. Définitions
a. Unités d'aire
Dans un repère orthogonal (O ; I ; J) l’unité d’aire, notée u.a est l’aire du rectangle OIAJ.

Pour le repère ci-dessus (unités en cm), l’unité d’aire est de 3 × 1 = 3 cm2.

Si l'on calcule l’aire d’une figure géométrique dans ce repère, le résultat en cm2 devra être multiplié par 3.

Remarque
Cette définition est très utilisée pour les différents calculs d’aires qui suivront.
b. Intégrale d'une fonction continue positive
Pour une fonction f continue, positive sur un intervalle I = [a ; b], soit C sa courbe représentative sur I dans un repère orthogonal.
L’intégrale de a à b de la fonction f sur I est l’aire (en unités d’aires) du domaine compris entre l’axe des abscisses, la courbe C et les verticales d’abscisses x = a et x = b.
On note et on dira « intégrale de a à b de f » ou « somme de a à b de f ».


Ci-dessus, la fonction définie sur [-1,8 ; 5] par f(x) = x3 - 2x2 - 3x + 7 est continue positive.

u.a.

Le repère est orthonormal (ou orthonormé) gradué en cm. L’unité d’aire vaut 1 cm2.
L’aire sous la courbe entre -1,8 et 3 est donc environ 20,11 cm2.

 


2. Propriétés et théorème
• L’intégrale d’une fonction positive entre a et b, avec a ≤ b est positive (puisque c’est une aire).
• Relation de Chasles
Pour tous réels a, b, c tels que a ≤ b ≤ c on a : .
.

Théorème
Pour une fonction f continue, positive sur un intervalle I = [a ; b], la fonction F définie par : est dérivable sur I de dérivée f, est l'unique primitive de f s'annulant en a.

On a donc : .
3. Primitives d'une fonction continue sur un intervalle
a. Définition
Pour une fonction f continue sur un intervalle I = [a ; b], une primitive de F dérivable sur I est une fonction dont la dérivée est égale à f.

Par exemple, soit f(x) = 6x - 2 définie continue sur .
F : → 3x2 - 2x + 1 est définie sur est une primitive de f sur I (il suffit de dériver).
On peut remarquer que F : → 3x2 - 2x + 1 est aussi une primitive de f sur I.
b. Propriétés
• Toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives sur cet intervalle.
• Pour une fonction f continue sur un intervalle I = [a ; b], si F est une primitive de f sur I, alors toutes les primitives de f sur I sont de la forme G(x) = F(x) + k où k est un réel.
Par exemple, nous avons vu que f(x) = 6x - 2 a pour primitive F(x) = 3x2 - 2x - 1 ou F(x) + 2 = 3x2 - 2x + 1.
Ajouter n’importe quel nombre réel à F(x) donne toujours une primitive de f.

• Pour une fonction f continue sur un intervalle I = [a ; b], il existe une unique primitive de f sur I prenant la valeur y0 (un réel) pour x0 (un réel de I).
Par exemple, sur I = ]-1 ; +∞[, la fonction n’admet qu’une seule primitive qui vaut 3 pour x0 = 1, c’est (vérifier en dérivant F que c’est bien une primitive de f, puis calculer F(1)).

• Pour une fonction f continue sur un intervalle I = [a ; b], et F l’une de ses primitives, on a :
.
• Pour toute fonction continue (pas forcément positive) sur I = [a ; b], on a .
• Si F et G sont des primitives de f et g, alors F + G est une primitive de f + g.
• Si F est une primitive de f sur I alors pour tout réel k, kF est une primitive de kf sur I.
4. Primitives d'une fonction continue sur un intervalle
Soir c un réel (une constante).
Ce tableau permet de déterminer une primitive des fonctions usuelles.

Fonction Fonction primitive Intervalle de définition
f(x) = k (k un réel, une constante)
f(x) = x
f(x) = x2
f(x) = xn pour n entier relatif avec n ≠ -1 et n ≠ 0. si 1 ≤ n ou]-∞ ; 0[ ou ]0 ; +∞[ si n ≤ -2.
f(x) = ex que l’on écrit aussi

Il faut connaître aussi :

• Pour u une fonction dérivable sur I = [a ; b], une primitive de est eu .

• Pour u une fonction dérivable sur I = [a ; b], une primitive de est ln(u) et u strictement positive sur l'intervalle I.

Remarque : si u(x) < 0 sur I alors 0 < - u(x). Une primitive de est alors ln(-u).

5. Applications du calcul intégral
a. Aire du domaine compris entre deux courbes
Pour f et g deux fonctions définies, continues et positives sur un intervalle avec sur cet intervalle f ≤ g, l’aire A comprise entre la courbe Cf représentative de f et Cg celle de g, et les verticales des abscisses a et b, est donnée par : .



Ci-dessus, soit f(x) = x2 et g(x) = x3 - 2x2 - 3x + 7, a = -1,6 et b = 1,34 (ce sont approximativement les abscisses des points d’intersection des deux courbes).

Calcul de l’aire comprise entre les courbes Cf et Cg. Cette valeur se calcule en recherchant une primitive de la fonction .

Par exemple, est une primitive de f - g (utiliser le tableau pour obtenir cette primitive).

Remarque
Pour le calcul d’aire, il n’est pas nécessaire d’ajouter la constante.
Il suffit alors de calculer F(1,34) - F(-1,6) (utiliser une calculatrice).
On trouve approximativement A = 14,39 cm2 (le repère est orthonormal, l’unité d’aire vaut 1 cm2).
b. Valeur moyenne
Pour f une fonction définie, continue et positive sur un intervalle I = [a ; b], la valeur moyenne de f sur I est le nombre : .

Ci-dessus, l’aire sous la courbe entre a = -1 et b = 3 vaut exactement soit environ 17,33.
On peut interpréter la valeur moyenne entre a et b comme l’aire donnée par une fonction constante pour la même valeur.


Cette valeur moyenne correspond à un rectangle de même aire que l’aire sous la courbe.



Comment as-tu trouvé ce cours ?

Évalue ce cours !

 

Question 1/5

La médiane de 6 notes est 13. Cela signifie que :

Question 2/5

On a obtenu la série statistique suivante :

Combien vaut la médiane ?

Question 3/5

On a obtenu la série ci-dessous :

Quelle est la médiane de cette série ?

Question 4/5

On a relevé les tailles en cm des élèves d’une classe :

 

Parmi les propositions suivantes, laquelle est vraie ?

Question 5/5

Les notes en français de deux classes littéraires sont données dans le tableau suivant :

Quelle est la note médiane ?

Vous avez obtenu75%de bonnes réponses !

Recevez l'intégralité des bonnes réponses ainsi que les rappels de cours associés :

Votre adresse e-mail sera exclusivement utilisée pour vous envoyer notre newsletter. Vous pourrez vous désinscrire à tout moment, à travers le lien de désinscription présent dans chaque newsletter. Pour en savoir plus sur la gestion de vos données personnelles et pour exercer vos droits, vous pouvez consulter notre charte.

Une erreur s'est produite, veuillez ré-essayer

Consultez votre boite email, vous y trouverez vos résultats de quiz!

Découvrez le soutien scolaire en ligne avec myMaxicours

Le service propose une plateforme de contenus interactifs, ludiques et variés pour les élèves du CP à la Terminale. Nous proposons des univers adaptés aux tranches d'âge afin de favoriser la concentration, encourager et motiver quel que soit le niveau. Nous souhaitons que chacun se sente bien pour apprendre et progresser en toute sérénité ! 

Fiches de cours les plus recherchées

Mathématiques

Savoir utiliser la calculatrice pour le calcul d'intégrales

Mathématiques

Complément algorithmique : calcul d'aires

Mathématiques

La fonction exponentielle : théorèmes et définitions

Mathématiques

La fonction exponentielle : variations et limites

Mathématiques

Utilisation de la calculatrice : programmer un algorithme

Mathématiques

Éléments de base et instructions conditionnelles

Mathématiques

Les structures répétitives ou itératives (boucles)

Mathématiques

Puissance n-ième d'une matrice carrée d'ordre 2 ou 3

Mathématiques

Écriture matricielle d'un système d'équations linéaires

Mathématiques

Suites de matrices colonnes