Calcul d'intégrales : définitions et notations
Recherche de primitives.
Utiliser le calcul intégral pour déterminer une aire.
Il faut bien connaître la dérivation et les dérivées pour préparer cette leçon. Revoir et bien connaître le tableau des fonctions usuelles et de leur fonction dérivée. Il faut avoir vu les fonctions exponentielle et logarithme.

Pour le repère ci-dessus (unités en cm), l’unité d’aire est de 3 × 1 = 3 cm2.
Si l'on calcule l’aire d’une figure géométrique dans ce repère, le résultat en cm2 devra être multiplié par 3.
Remarque
Cette définition est très utilisée pour les différents calculs d’aires qui suivront.
L’intégrale de a à b de la fonction f sur I est l’aire (en unités d’aires) du domaine compris entre l’axe des abscisses, la courbe C et les verticales d’abscisses x = a et x = b.


Ci-dessus, la fonction définie sur [-1,8 ; 5] par f(x) = x3 - 2x2 - 3x + 7 est continue positive.

Le repère est orthonormal (ou orthonormé) gradué en cm. L’unité d’aire vaut 1 cm2.
L’aire sous la courbe entre -1,8 et 3 est donc environ 20,11 cm2.
• Relation de Chasles
Pour tous réels a, b, c tels que a ≤ b ≤ c on a :

•

Théorème

On a donc :

Par exemple, soit f(x) = 6x - 2 définie continue sur

F : → 3x2 - 2x + 1 est définie sur

On peut remarquer que F : → 3x2 - 2x + 1 est aussi une primitive de f sur I.
Ajouter n’importe quel nombre réel à F(x) donne toujours une primitive de f.




Ce tableau permet de déterminer une primitive des fonctions usuelles.
Fonction | Fonction primitive | Intervalle de définition |
f(x) = k (k un réel, une constante) |
![]() |
![]() |
f(x) = x |
![]() |
![]() |
f(x) = x2 |
![]() |
![]() |
f(x) = xn pour n entier relatif avec n ≠ -1 et n ≠ 0. |
![]() |
![]() |
f(x) = ex |
![]() ![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Il faut connaître aussi :
• Pour u une fonction dérivable sur I = [a ; b], une primitive de

• Pour u une fonction dérivable sur I = [a ; b], une primitive de

Remarque : si u(x) < 0 sur I alors 0 < - u(x). Une primitive de



Ci-dessus, soit f(x) = x2 et g(x) = x3 - 2x2 - 3x + 7, a = -1,6 et b = 1,34 (ce sont approximativement les abscisses des points d’intersection des deux courbes).
Calcul de l’aire comprise entre les courbes Cf et Cg. Cette valeur se calcule en recherchant une primitive de la fonction

Par exemple,

Remarque
Pour le calcul d’aire, il n’est pas nécessaire d’ajouter la constante.
Il suffit alors de calculer F(1,34) - F(-1,6) (utiliser une calculatrice).
On trouve approximativement A = 14,39 cm2 (le repère est orthonormal, l’unité d’aire vaut 1 cm2).


Ci-dessus, l’aire sous la courbe entre a = -1 et b = 3 vaut exactement

On peut interpréter la valeur moyenne entre a et b comme l’aire donnée par une fonction constante pour la même valeur.

Cette valeur moyenne correspond à un rectangle de même aire que l’aire sous la courbe.

Fiches de cours les plus recherchées


Des profs en ligne
- 6 j/7 de 17 h à 20 h
- Par chat, audio, vidéo
- Sur les matières principales

Des ressources riches
- Fiches, vidéos de cours
- Exercices & corrigés
- Modules de révisions Bac et Brevet

Des outils ludiques
- Coach virtuel
- Quiz interactifs
- Planning de révision

Des tableaux de bord
- Suivi de la progression
- Score d’assiduité
- Un compte Parent