Suites numériques : suites majorées, minorées, bornées - Maxicours

Suites numériques : suites majorées, minorées, bornées

Objectif(s)
  • Définir trois nouvelles notions concernant les suites numériques.
  • Donner des nouveaux théorèmes utilisant ces notions, ces théorèmes devenant des « outils » pour le comportement à l’infini d’une suite.
1. Définitions
Soit u une suite numérique.

Définition 1
On dit que la suite u est majorée lorsqu’il existe un réel M tel que pour tout entier naturel n, un ≤ M. Le nombre M est alors appelé un majorant de la suite u.

Définition 2
On dit que la suite u est minorée lorsqu’il existe un réel m tel que pour tout entier naturel n, un ≥ m. Le nombre m est alors appelé un minorant de la suite u.

Définition 3
On dit que la suite u est bornée lorsqu’elle est à la fois majorée et minorée.

Exemple et illustration d’une des définitions


On va démontrer la conjecture, à savoir que pour tout entier naturel n, un ≤ 3.
Soit n un entier naturel.
On dispose de la proposition équivalente : .
Il suffit donc de démontrer un - 3 ≤ 0.
On a :
;

or -3 < 0 et n2 + 1 > 0, donc .

On a bien un – 3 ≤ 0 et même un – 3 < 0, soit un < 3.
Autrement dit, aucune valeur un n’atteindra le majorant 3.

Remarque
Il existe bien sûr des suites non majorées, par exemple la suite géométrique (-3)n.
Pour s’en convaincre, regardons les valeurs des premiers termes :

n 0 1 2 3 4 5
(-3)n 1 -3 9 -27 81 -243



2. Théorèmes de convergences
Soit u une suite numérique.

Théorème 1 (admis)
On dispose des propositions suivantes :
• (P1), si u est une suite croissante et majorée, alors elle converge.
• (P2), si u est décroissante et minorée, alors elle converge.

Remarque importante
Si l'on vérifie l’une des propositions de ce théorème, alors on sait que u converge, par exemple vers L, MAIS on ne connait pas la valeur explicite de L.

Exemple
On reprend l’exemple précédent, à savoir pour tout entier n, .
    • On a démontré que u est majorée par 3.
    • L’illustration de u laisse penser qu’elle est croissante.
On va le démontrer.

Soit n un entier naturel.
On a :


donc  : .

soit encore : .

Or, n est un entier naturel, donc un+1 – un > 0, soit un+1 > un. La suite u est bien croissante.

La suite u est majorée par 3 et de surcroît est croissante ; elle est donc convergente.
Mais à ce stade, on ne sait pas vers quel nombre.


Théorème 2
On dispose des propositions suivantes :
• (P1), si la suite u est majorée par M et convergente vers le nombre L, alors L ≤ M.
• (P2), si la suite u est minorée par m et convergente vers le nombre L, alors L ≥ m.

Démonstration par exemple de (P1), on va utiliser le raisonnement par l’absurde.
On doit démonter la proposition (P) : (L ≤ M) sachant que l’on dispose des propositions suivantes :
(Pour tout entier n, un ≤ M) et (tout intervalle ouvert contant L contient toutes les valeurs un à partir d’un certain rang).

On suppose vraie la proposition (NON P), à savoir : (L > M) et on cherche une proposition contradictoire (à la fois vraie et fausse).

On pose d = L – M et .

I est un intervalle ouvert contenant L et I est inclus dans l’intervalle .
Pour vous en convaincre, regardez le schéma ci-dessous :



Soit n0 l’entier à partir duquel tous les un sont dans I, donc , donc un0 > M.
Cela implique que la proposition (un0 ≤ M) est fausse ; or u est majorée par M donc (un0 ≤ M) est aussi vraie. Ainsi, (un0 ≤ M) serait une proposition contradictoire, ce qui est impossible.

Finalement, la proposition (NON P) ne peut être vraie, donc la proposition (P) elle, est vraie.

Pour notre exemple précédent, u est majorée par 3 et converge ; soit L la limite de u.
On peut alors affirmer que L ≤ 3.
On rappelle que pour cette suite, on a démontré que pour tout entier n, un < 3. Mais la limite L peut elle, être égale à 3. C’est d’ailleurs le cas ici.

En effet, on a démontré que : .

Or, et 3 → 3, donc d’après les théorèmes opératoires, .
3. Un théorème pour une limite infinie
Soit u une suite numérique.

Théorème 2
On dispose des propositions suivantes :
• (P1), si la suite u est croissante et non majorée, alors .
• (P2), si la suite u est décroissante et non minorée, alors .

Démonstration par exemple de (P1)
On doit démontrer que la proposition : (tout intervalle de la forme , contient toutes les valeurs un à partir d’un certain rang) est vraie, sachant que l’on dispose des propositions suivantes :
(Pour tout entier n, un ≤ un+1) ou et
(NON (il existe un réel M tel que pour tout entier n, un ≤ M)).

Il est donc nécessaire de bien traduire la proposition « négative ».
On a :
(NON (il existe un réel M tel que pour tout entier n, un ≤ M)) (Pour tout réel M, il existe un entier n, tel que (NON (un ≤ M)) c’est-à-dire tel que un > M).

Soit A un réel.
Soit n0 l’entier tel que un0 > A.
On a :
puisque u est croissante et un0 > A, donc ou .
Ce qui termine la démonstration.

Remarque
Un excellent exercice d’entraînement consisterait à refaire vous-même la démonstration de (P2), avec notamment la « difficulté » de traduire correctement (u est non minorée).


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