Suites numériques : suites majorées, minorées, bornées

Soit u une suite numérique.




► Exemple et illustration d’une des définitions


On va démontrer la conjecture, à savoir que pour tout entier naturel n, u_n ≤ 3.
Soit n un entier naturel.
On dispose de la proposition équivalente : .
Il suffit donc de démontrer u_n - 3 ≤ 0.
On a :
;

or -3 < 0 et n² + 1 > 0, donc .

On a bien u_n – 3 ≤ 0 et même u_n – 3 < 0, soit u_n < 3.
Autrement dit, aucune valeur u_n n’atteindra le majorant 3.

Remarque
Il existe bien sûr des suites non majorées, par exemple la suite géométrique (-3)ⁿ.
Pour s’en convaincre, regardons les valeurs des premiers termes :

n	0	1	2	3	4	5
(-3)n	1	-3	9	-27	81	-243

Soit u une suite numérique.


Remarque importante
Si l'on vérifie l’une des propositions de ce théorème, alors on sait que u converge, par exemple vers L, MAIS on ne connait pas la valeur explicite de L.

► Exemple
On reprend l’exemple précédent, à savoir pour tout entier n, .
    • On a démontré que u est majorée par 3.
    • L’illustration de u laisse penser qu’elle est croissante.
On va le démontrer.

Soit n un entier naturel.
On a :


donc  : .

soit encore : .

Or, n est un entier naturel, donc u_n+1 – u_n > 0, soit u_n+1 > u_n. La suite u est bien croissante.

La suite u est majorée par 3 et de surcroît est croissante ; elle est donc convergente.
Mais à ce stade, on ne sait pas vers quel nombre.


► Démonstration par exemple de (P₁), on va utiliser le raisonnement par l’absurde.
On doit démonter la proposition (P) : (L ≤ M) sachant que l’on dispose des propositions suivantes :
(Pour tout entier n, u_n ≤ M) et (tout intervalle ouvert contant L contient toutes les valeurs u_n à partir d’un certain rang).

On suppose vraie la proposition (NON P), à savoir : (L > M) et on cherche une proposition contradictoire (à la fois vraie et fausse).

On pose d = L – M et .

I est un intervalle ouvert contenant L et I est inclus dans l’intervalle .
Pour vous en convaincre, regardez le schéma ci-dessous :



Soit n₀ l’entier à partir duquel tous les u_n sont dans I, donc , donc u_n0 > M.
Cela implique que la proposition (u_n0 ≤ M) est fausse ; or u est majorée par M donc (u_n0 ≤ M) est aussi vraie. Ainsi, (u_n0 ≤ M) serait une proposition contradictoire, ce qui est impossible.

Finalement, la proposition (NON P) ne peut être vraie, donc la proposition (P) elle, est vraie.

► Pour notre exemple précédent, u est majorée par 3 et converge ; soit L la limite de u.
On peut alors affirmer que L ≤ 3.
On rappelle que pour cette suite, on a démontré que pour tout entier n, u_n < 3. Mais la limite L peut elle, être égale à 3. C’est d’ailleurs le cas ici.

En effet, on a démontré que : .

Or, et 3 → 3, donc d’après les théorèmes opératoires, .

Soit u une suite numérique.


► Démonstration par exemple de (P₁)
On doit démontrer que la proposition : (tout intervalle de la forme , contient toutes les valeurs u_n à partir d’un certain rang) est vraie, sachant que l’on dispose des propositions suivantes :
(Pour tout entier n, u_n ≤ u_n+1) ou et
(NON (il existe un réel M tel que pour tout entier n, u_n ≤ M)).

Il est donc nécessaire de bien traduire la proposition « négative ».
On a :
(NON (il existe un réel M tel que pour tout entier n, u_n ≤ M)) (Pour tout réel M, il existe un entier n, tel que (NON (u_n ≤ M)) c’est-à-dire tel que u_n > M).

Soit A un réel.
Soit n₀ l’entier tel que u_n0 > A.
On a :
puisque u est croissante et u_n0 > A, donc ou .
Ce qui termine la démonstration.

Remarque
Un excellent exercice d’entraînement consisterait à refaire vous-même la démonstration de (P₂), avec notamment la « difficulté » de traduire correctement (u est non minorée).