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Suites numériques : limite finie ou infinie

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Objectif(s)

• Définir la notion de limite d’une suite numérique.

Attention ! Une suite étant définie à partir des entiers naturels (positifs ou nul), sa limite ne peut s'étudier qu'en +∞.

1. Limite infinie

Soit u = (u_n) une suite numérique.

Définition 1
On dit que la suite u a pour limite

quand n tend vers

lorsque tout intervalle de la forme

contient toutes les valeurs u_n à partir d’un certain rang.

Autrement dit, la suite u a pour limite

quand n tend vers

lorsque pour tout réel A, il existe un rang entier n₀ vérifiant la proposition :

.

On note

, ou

Illustration de la définition 1

Les suites numériques (n), (n²), (n³) et

sont considérées comme les exemples usuels de suites numériques vérifiant la définition 1.

Ainsi, par exemple,

.
En effet, soit A un réel quelconque.
On pose n₀ le plus petit entier supérieur à

.
On dispose alors de la proposition :

.
La suite (n²) vérifie bien la définition 1.

Définition 2
On dit que la suite u a pour limite

quand n tend vers

lorsque tout intervalle de la forme

contient toutes les valeurs u_n à partir d’un certain rang.

Autrement dit, la suite u a pour limite

quand n tend vers

lorsque pour tout réel A, il existe un rang entier n₁ vérifiant la proposition :

.

On note

, ou

Remarque
L’illustration de cette définition est similaire à celle de la définition 1. Il serait souhaitable pour vous, lecteur de cette fiche, de la faire. Cela vous permettra de tester votre compréhension de la définition 2.

Les suites numériques (-n), (-n²), (-n³) et

sont considérées comme les exemples usuels de suites numériques vérifiant la définition 2.

Ainsi, par exemple,

2. Limite finie

Soit u = (u_n) une suite numérique.

Définition 3
On dit que la suite u a pour limite un nombre réel L quand n tend vers

lorsque tout intervalle ouvert contenant L contient toutes les valeurs u_n à partir d’un certain rang.

Autrement dit, la suite u a pour limite L quand n tend vers

lorsque pour tout intervalle ouvert I contenant L, il existe un rang entier n₂ vérifiant la proposition :

.

On note

Illustration de la définition 3

Les suites numériques

sont considérées comme les exemples usuels de suites numériques vérifiant la définition 3 avec L = 0.

Ainsi, par exemple,

3. Diverses remarques

Soit u = (u_n) une suite numérique.
Soit L un réel.

• Si lim (u_n) = L, alors on dit quelquefois que la suite (u_n) converge vers le nombre L. Cela « rejoint » le sens courant du mot « converger ».
• On démontre (avec un « bagage » mathématique plus étoffé) et on admet ici, que tout intervalle ouvert I contenant L contient un intervalle ouvert J contenant L et de centre L.

Autrement dit :
Soit I un intervalle ouvert contenant L.
Il existe un réel r > 0 tel que J = ]L – r ; L + r[ I. L est bien le centre de J.

Avec cette remarque, on peut alors dire que : (u_n) converge vers L lorsque pour tout réel r > 0, il existe un rang entier n₂ vérifiant la proposition :

.

Or :

.

Remarque
Cette nouvelle définition est donnée à titre de « culture mathématique » ; MAIS sa connaissance n’est pas exigible en TS.

• Il existe des suites qui n’ont pas de limite, c’est-à-dire qui ne vérifient aucune des trois définitions précédentes. C’est le cas de la suite ((-1)ⁿ). Cette suite prend alternativement les valeurs 1 ou -1 selon que n est pair ou impair. Les trois définitions précédentes sont alors mises à défaut.
• On dit quelquefois que la suite (u_n) diverge lorsqu’elle a une limite infinie OU BIEN lorsqu’elle n’a pas de limite.