Fiche de cours

Suites numériques : limite finie ou infinie

Lycée   >   Terminale   >   Mathématiques   >   Suites numériques : limite finie ou infinie

  • Fiche de cours
  • Quiz et exercices
  • Vidéos et podcasts
Objectif(s)
• Définir la notion de limite d’une suite numérique.
Attention ! Une suite étant définie à partir des entiers naturels (positifs ou nul), sa limite ne peut s'étudier qu'en +∞.
1. Limite infinie
Soit u = (un) une suite numérique.

Définition 1
On dit que la suite u a pour limite quand n tend vers lorsque tout intervalle de la forme contient toutes les valeurs un à partir d’un certain rang.

Autrement dit, la suite u a pour limite quand n tend vers lorsque pour tout réel A, il existe un rang entier n0 vérifiant la proposition : .

On note , ou ou .

Illustration de la définition 1




Les suites numériques (n), (n2), (n3) et sont considérées comme les exemples usuels de suites numériques vérifiant la définition 1.

Ainsi, par exemple, .
En effet, soit A un réel quelconque.
On pose n0 le plus petit entier supérieur à .
On dispose alors de la proposition : et .
La suite (n2) vérifie bien la définition 1.

Définition 2
On dit que la suite u a pour limite quand n tend vers lorsque tout intervalle de la forme contient toutes les valeurs un à partir d’un certain rang.

Autrement dit, la suite u a pour limite quand n tend vers lorsque pour tout réel A, il existe un rang entier n1 vérifiant la proposition : .

On note , ou ou .

Remarque 
L’illustration de cette définition est similaire à celle de la définition 1. Il serait souhaitable pour vous, lecteur de cette fiche, de la faire. Cela vous permettra de tester votre compréhension de la définition 2.

Les suites numériques (-n), (-n2), (-n3) et sont considérées comme les exemples usuels de suites numériques vérifiant la définition 2.

Ainsi, par exemple, .


2. Limite finie
Soit u = (un) une suite numérique.

Définition 3
On dit que la suite u a pour limite un nombre réel L quand n tend vers lorsque tout intervalle ouvert contenant L contient toutes les valeurs un à partir d’un certain rang.

Autrement dit, la suite u a pour limite L quand n tend vers lorsque pour tout intervalle ouvert I contenant L, il existe un rang entier n2 vérifiant la proposition : .

On note   ou ou .

Illustration de la définition 3



Les suites numériques , , et sont considérées comme les exemples usuels de suites numériques vérifiant la définition 3 avec L = 0.

Ainsi, par exemple, .



3. Diverses remarques
Soit u = (un) une suite numérique.
Soit L un réel.

   • Si lim (un) = L, alors on dit quelquefois que la suite (un) converge vers le nombre L. Cela « rejoint » le sens courant du mot « converger ».
   • On démontre (avec un « bagage » mathématique plus étoffé) et on admet ici, que tout intervalle ouvert I contenant L contient un intervalle ouvert J contenant L et de centre L.

Autrement dit :
Soit I un intervalle ouvert contenant L.
Il existe un réel r > 0 tel que J = ]Lr ; L + r[ I. L est bien le centre de J.

Avec cette remarque, on peut alors dire que : (un) converge vers L lorsque pour tout réel r > 0, il existe un rang entier n2 vérifiant la proposition : .

Or :

               

                .

Remarque
Cette nouvelle définition est donnée à titre de « culture mathématique » ; MAIS sa connaissance n’est pas exigible en TS.

• Il existe des suites qui n’ont pas de limite, c’est-à-dire qui ne vérifient aucune des trois définitions précédentes. C’est le cas de la suite ((-1)n). Cette suite prend alternativement les valeurs 1 ou -1 selon que n est pair ou impair. Les trois définitions précédentes sont alors mises à défaut.
• On dit quelquefois que la suite (un) diverge lorsqu’elle a une limite infinie OU BIEN lorsqu’elle n’a pas de limite.

Évalue ce cours !

 

Des quiz et exercices pour mieux assimiler sa leçon

La plateforme de soutien scolaire en ligne myMaxicours propose des quiz et exercices en accompagnement de chaque fiche de cours. Les exercices permettent de vérifier si la leçon est bien comprise ou s’il reste encore des notions à revoir.

S’abonner

 

Des exercices variés pour ne pas s’ennuyer

Les exercices se déclinent sous toutes leurs formes sur myMaxicours ! Selon la matière et la classe étudiées, retrouvez des dictées, des mots à relier ou encore des phrases à compléter, mais aussi des textes à trous et bien d’autres formats !

Dans les classes de primaire, l’accent est mis sur des exercices illustrés très ludiques pour motiver les plus jeunes.

S’abonner

 

Des quiz pour une évaluation en direct

Les quiz et exercices permettent d’avoir un retour immédiat sur la bonne compréhension du cours. Une fois toutes les réponses communiquées, le résultat s’affiche à l’écran et permet à l’élève de se situer immédiatement.

myMaxicours offre des solutions efficaces de révision grâce aux fiches de cours et aux exercices associés. L’élève se rassure pour le prochain examen en testant ses connaissances au préalable.

S’abonner

Des vidéos et des podcasts pour apprendre différemment

Certains élèves ont une mémoire visuelle quand d’autres ont plutôt une mémoire auditive. myMaxicours s’adapte à tous les enfants et adolescents pour leur proposer un apprentissage serein et efficace.

Découvrez de nombreuses vidéos et podcasts en complément des fiches de cours et des exercices pour une année scolaire au top !

S’abonner

 

Des podcasts pour les révisions

La plateforme de soutien scolaire en ligne myMaxicours propose des podcasts de révision pour toutes les classes à examen : troisième, première et terminale.

Les ados peuvent écouter les différents cours afin de mieux les mémoriser en préparation de leurs examens. Des fiches de cours de différentes matières sont disponibles en podcasts ainsi qu’une préparation au grand oral avec de nombreux conseils pratiques.

S’abonner

 

Des vidéos de cours pour comprendre en image

Des vidéos de cours illustrent les notions principales à retenir et complètent les fiches de cours. De quoi réviser sa prochaine évaluation ou son prochain examen en toute confiance !

S’abonner

Découvrez le soutien scolaire en ligne avec myMaxicours

Le service propose une plateforme de contenus interactifs, ludiques et variés pour les élèves du CP à la Terminale. Nous proposons des univers adaptés aux tranches d'âge afin de favoriser la concentration, encourager et motiver quel que soit le niveau. Nous souhaitons que chacun se sente bien pour apprendre et progresser en toute sérénité ! 

Fiches de cours les plus recherchées

Mathématiques

Suites numériques : limites et comparaison

Mathématiques

Suites numériques : opérations sur les limites

Mathématiques

Suites numériques : comportement à l'infini de (qn), avec q un réel.

Mathématiques

Suites numériques : suites majorées, minorées, bornées

Mathématiques

Calcul d'intégrales : définitions et notations

Mathématiques

Savoir utiliser la calculatrice pour le calcul d'intégrales

Mathématiques

Complément algorithmique : calcul d'aires

Mathématiques

La fonction exponentielle : théorèmes et définitions

Mathématiques

La fonction exponentielle : variations et limites

Mathématiques

Utilisation de la calculatrice : programmer un algorithme