Notion de primitives

On considère un repère (O, I, J) orthogonal. Sauf mention contraire, les aires seront exprimées en unités d'aire (u.a).

Soit (a ; b) un couple de réels vérifiant ab.
Soit f une fonction continue, positive et strictement monotone sur [a ; b] de courbe représentative C_f.
On va ici supposer que f est strictement croissante sur [a ; b], le cas où f est strictement décroissante se traite de la même façon.

Soit t un réel de [a ; b].
On considère la partie du plan définie par :
{M(x;y), a x   t et 0 y f(x)} et on note A(t) son aire.
Soit h un réel non-nul vérifiant t + h [a ; b].

Voici une figure qui illustre la situation dans le cas où h > 0.



On se place dans le cas de la figure, à savoir le cas où h > 0.


Donc A(t + h) - A(t) représente l'aire de la partie hachurée sur le "fond blanc". Cette aire est ainsi comprise entre les aires de deux rectangles de base commune de mesure h et de hauteurs respectives : f(t) et f(t + h).








Ainsi on dispose des inégalités h × f(t) A(t + h) - A(t) h × f(t + h), et puisque h > 0 :

.

On fait maintenant intervenir la continuité de f sur [a ; b], donc en t.

Ainsi lorsque h tend vers 0, on a : .

En utilisant le théorème d'encadrement dit des "gendarmes", on a : .

On traite le cas h < 0 de la même façon, on obtient aussi : .


Cela signifie que la fonction A est dérivable en t et que A ‘(t) = f(t).
Puisque t est quelconque sur [a ; b], la fonction A est dérivable sur [a ; b] et A ‘ = f sur [a ; b].


Remarque

Dans l'écriture de l'intégrale, on utilise deux variables x et t.
x est la variable de la fonction F tandis que t celle de f. On ne DOIT surtout pas utiliser la même lettre pour ces deux variables.

Exemples

•

•