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Notion de primitives

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Objectif(s)
• Établir le lien entre le calcul intégral et la notion de dérivation.
• Définir la nouvelle notion de primitives .
1. Lien entre le calcul intégral et la dérivation
On considère un repère (O, I, J) orthogonal. Sauf mention contraire, les aires seront exprimées en unités d'aire (u.a).

Soit (a ; b) un couple de réels vérifiant ab.
Soit f une fonction continue, positive et strictement monotone sur [a ; b] de courbe représentative Cf.
On va ici supposer que f est strictement croissante sur [a ; b], le cas où f est strictement décroissante se traite de la même façon.

Soit t un réel de [a ; b].
On considère la partie du plan définie par :
{M(x;y), a x   t et 0 y f(x)} et on note A(t) son aire.
Soit h un réel non-nul vérifiant t + h [a ; b].

Voici une figure qui illustre la situation dans le cas où h > 0.



On se place dans le cas de la figure, à savoir le cas où h > 0.

Par définition, on a : A(t) = .

Donc A(t + h) - A(t) représente l'aire de la partie hachurée sur le "fond blanc". Cette aire est ainsi comprise entre les aires de deux rectangles de base commune de mesure h et de hauteurs respectives : f(t) et f(t + h).








Ainsi on dispose des inégalités h × f(t) A(t + h) - A(t) h × f(t + h), et puisque h > 0 :

.

On fait maintenant intervenir la continuité de f sur [a ; b], donc en t.

Ainsi lorsque h tend vers 0, on a : .

En utilisant le théorème d'encadrement dit des "gendarmes", on a : .

On traite le cas h < 0 de la même façon, on obtient aussi : .

Finalement on dispose de l’égalité : .

Cela signifie que la fonction A est dérivable en t et que A ‘(t) = f(t).
Puisque t est quelconque sur [a ; b], la fonction A est dérivable sur [a ; b] et A ‘ = f sur [a ; b].

Pour toute fonction f continue et positive sur un intervalle [a ; b], la fonction F : x → est dérivable sur [a ; b] et a pour fonction dérivée : f.

Autrement dit, pour tout réel x de [a ; b], on a :.

Remarque

Dans l'écriture de l'intégrale, on utilise deux variables x et t.
x est la variable de la fonction F tandis que t celle de f. On ne DOIT surtout pas utiliser la même lettre pour ces deux variables.

Exemples





2. Notion de primitives d'une fonction
a. Définition 1
Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
On dit qu'une fonction F est une primitive de f sur I lorsque F est dérivable sur I et que F' = f.

Conséquence immédiate


Avec les notations et conditions du théorème précédent, la fonction x → est une primitive de la fonction f sur [a ; b].

Exemple
Pour tout réel x, (x² + 3)' = 2x, donc x → x² + 3 est une primitive de la fonction x →  2x.
b. Propriétés
Pour toute fonction f définie et continue sur un intervalle I, on dispose des propositions suivantes :

(P1) f admet des primitives sur I.

(P2) Si F est l'une de ses primitives, alors l'ensemble des primitives de f sur I est l'ensemble des fonctions de la forme F + k, où k est une constante réelle.

(P3) Parmi toutes les primitives de f sur I, il en existe une unique, notée par exemple G, qui vérifie G(x0) = y0 pour (x0 ; y0) un couple de réels donnés de I.

Démonstrations : on se place dans le cas où I = [a ; b].

Pour (P1)
Il est nécessaire d'admettre le théorème qui énonce que toute fonction continue sur un intervalle I = [a ; b] admet un minimum m sur I.

Graphiquement, cela semble cohérent :



Ainsi, pour tout réel x de I, f(x)   m, donc f(x) - m 0.

La fonction g : x → f(x) - m est continue et positive sur I, elle admet donc une primitive, à savoir la fonction G : x → .

Donc G'(x) = g(x) = f(x) - m, soit encore f(x) = G'(x) + m.
Finalement, la fonction F: x → G(x) + mx est une primitive de f car F'(x) = G'(x) + m = f(x).

Pour (P2)
Si F est une primitive de f sur I, alors (F + k)' = F' = f, donc F + k est aussi une primitive de f sur I.

Réciproquement, soit G une primitive de f sur I. Alors G' = f = F', donc G' - F' = 0, soit encore (G- F)' = 0. Autrement dit, G - F = k où k est une constante réelle, soit G = F + k.

Pour (P3)
Si G est une primitive de f sur I telle que G(x0) = y0, alors F(x0) + k = y0, donc k = y0 - F(x0).
Ainsi G est l'unique fonction définie sur I par x → F(x) + y0 - F(x0).

Exemples

Déterminer les primitives sur de f : x → 2x² + 5x + 1.
On cherche d'abord une fonction F continue et dérivable sur telle que F'(x) = f(x).
On va utiliser ses connaissances sur les dérivées, à savoir :
(x3)' = 3x², donc (x3)' = 2x2 et (x2 + x)' = 5x + 1.

Ainsi, (x3 + x² + x)' = 2x2 + 5x + 1 = f(x) et F(x) = x3 + x2 + x.

Les primitives de f sur sont donc les fonctions de la forme x → x3 + x2 + x + k, où k est une constante réelle.

Déterminer la primitive G de f qui s'annule en 1.
G vérifie : G(x) = x3 + x2 + x + k pour tout réel x et G(1) = 0.

Donc : .

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