Notion de primitives
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Objectif(s)
• Établir le lien entre le calcul
intégral et la notion de
dérivation.
• Définir la nouvelle notion de primitives .
• Définir la nouvelle notion de primitives .
1. Lien entre le calcul intégral et la
dérivation
On considère un repère (O, I, J) orthogonal.
Sauf mention contraire, les aires seront exprimées
en unités d'aire (u.a).
Soit (a ; b) un couple de réels vérifiant a
b.
Soit f une fonction continue, positive et strictement monotone sur [a ; b] de courbe représentative Cf.
On va ici supposer que f est strictement croissante sur [a ; b], le cas où f est strictement décroissante se traite de la même façon.
Soit t un réel de [a ; b].
On considère la partie du plan définie par :
{M(x;y), a
x
t et 0 
y
f(x)} et on note A(t) son aire.
Soit h un réel non-nul vérifiant t + h
[a ;
b].
Voici une figure qui illustre la situation dans le cas où h > 0.
On se place dans le cas de la figure, à savoir le cas où h > 0.
Donc A(t + h) - A(t) représente l'aire de la partie hachurée sur le "fond blanc". Cette aire est ainsi comprise entre les aires de deux rectangles de base commune de mesure h et de hauteurs respectives : f(t) et f(t + h).
Ainsi on dispose des inégalités h × f(t)
A(t + h) - A(t) 
h
× f(t + h), et puisque h > 0 :
.
On fait maintenant intervenir la continuité de f sur [a ; b], donc en t.
Ainsi lorsque h tend vers 0, on a :
.
En utilisant le théorème d'encadrement dit des "gendarmes", on a :
.
On traite le cas h < 0 de la même façon, on obtient aussi :
.
Cela signifie que la fonction A est dérivable en t et que A ‘(t) = f(t).
Puisque t est quelconque sur [a ; b], la fonction A est dérivable sur [a ; b] et A ‘ = f sur [a ; b].
Remarque
Dans l'écriture de l'intégrale, on utilise deux variables x et t.
x est la variable de la fonction F tandis que t celle de f. On ne DOIT surtout pas utiliser la même lettre pour ces deux variables.
Exemples
•
•
Soit (a ; b) un couple de réels vérifiant a
b.Soit f une fonction continue, positive et strictement monotone sur [a ; b] de courbe représentative Cf.
On va ici supposer que f est strictement croissante sur [a ; b], le cas où f est strictement décroissante se traite de la même façon.
Soit t un réel de [a ; b].
On considère la partie du plan définie par :
{M(x;y), a
x
t et 0 y
f(x)} et on note A(t) son aire.Soit h un réel non-nul vérifiant t + h
[a ;
b].Voici une figure qui illustre la situation dans le cas où h > 0.
On se place dans le cas de la figure, à savoir le cas où h > 0.
Par définition, on a : A(t) = 
.
.
Donc A(t + h) - A(t) représente l'aire de la partie hachurée sur le "fond blanc". Cette aire est ainsi comprise entre les aires de deux rectangles de base commune de mesure h et de hauteurs respectives : f(t) et f(t + h).
Ainsi on dispose des inégalités h × f(t)
A(t + h) - A(t) h
× f(t + h), et puisque h > 0 :.On fait maintenant intervenir la continuité de f sur [a ; b], donc en t.
Ainsi lorsque h tend vers 0, on a :
.En utilisant le théorème d'encadrement dit des "gendarmes", on a :
.On traite le cas h < 0 de la même façon, on obtient aussi :
.
Finalement on dispose de l’égalité :
.
.
Cela signifie que la fonction A est dérivable en t et que A ‘(t) = f(t).
Puisque t est quelconque sur [a ; b], la fonction A est dérivable sur [a ; b] et A ‘ = f sur [a ; b].
Pour toute fonction f continue et positive
sur un intervalle [a ; b], la fonction F : x →
est dérivable sur [a ; b] et a pour fonction
dérivée : f.
Autrement dit, pour tout réel x de [a ; b], on a :
.
est dérivable sur [a ; b] et a pour fonction
dérivée : f.Autrement dit, pour tout réel x de [a ; b], on a :
.
Remarque
Dans l'écriture de l'intégrale, on utilise deux variables x et t.
x est la variable de la fonction F tandis que t celle de f. On ne DOIT surtout pas utiliser la même lettre pour ces deux variables.
Exemples
•
•
2. Notion de primitives d'une fonction
a. Définition 1
Soit f une fonction définie sur un intervalle
I.
On dit qu'une fonction F est une primitive de f sur I lorsque F est dérivable sur I et que F' = f.
On dit qu'une fonction F est une primitive de f sur I lorsque F est dérivable sur I et que F' = f.
Conséquence immédiate
Avec les notations et conditions du théorème précédent, la fonction x →
est une primitive de la
fonction f sur [a ; b].Exemple
Pour tout réel x, (x² + 3)' = 2x, donc x → x² + 3 est une primitive de la fonction x → 2x.
b. Propriétés
Pour toute fonction f définie et continue sur un
intervalle I, on dispose des propositions suivantes
:
(P1) f admet des primitives sur I.
(P2) Si F est l'une de ses primitives, alors l'ensemble des primitives de f sur I est l'ensemble des fonctions de la forme F + k, où k est une constante réelle.
(P3) Parmi toutes les primitives de f sur I, il en existe une unique, notée par exemple G, qui vérifie G(x0) = y0 pour (x0 ; y0) un couple de réels donnés de I.
(P1) f admet des primitives sur I.
(P2) Si F est l'une de ses primitives, alors l'ensemble des primitives de f sur I est l'ensemble des fonctions de la forme F + k, où k est une constante réelle.
(P3) Parmi toutes les primitives de f sur I, il en existe une unique, notée par exemple G, qui vérifie G(x0) = y0 pour (x0 ; y0) un couple de réels donnés de I.
Démonstrations : on se place dans le cas où I = [a ; b].
► Pour (P1)
Il est nécessaire d'admettre le théorème qui énonce que toute fonction continue sur un intervalle I = [a ; b] admet un minimum m sur I.
Graphiquement, cela semble cohérent :
Ainsi, pour tout réel x de I, f(x)
m, donc f(x) - m 
0.La fonction g : x → f(x) - m est continue et positive sur I, elle admet donc une primitive, à savoir la fonction G : x →
.Donc G'(x) = g(x) = f(x) - m, soit encore f(x) = G'(x) + m.
Finalement, la fonction F: x → G(x) + mx est une primitive de f car F'(x) = G'(x) + m = f(x).
► Pour (P2)
Si F est une primitive de f sur I, alors (F + k)' = F' = f, donc F + k est aussi une primitive de f sur I.
Réciproquement, soit G une primitive de f sur I. Alors G' = f = F', donc G' - F' = 0, soit encore (G- F)' = 0. Autrement dit, G - F = k où k est une constante réelle, soit G = F + k.
► Pour (P3)
Si G est une primitive de f sur I telle que G(x0) = y0, alors F(x0) + k = y0, donc k = y0 - F(x0).
Ainsi G est l'unique fonction définie sur I par x → F(x) + y0 - F(x0).
Exemples
• Déterminer les primitives sur
de f : x → 2x² + 5x +
1.
On cherche d'abord une fonction F continue et
dérivable sur de f : x → 2x² + 5x +
1. 
telle que F'(x) = f(x).On va utiliser ses connaissances sur les dérivées, à savoir :
(x3)' = 3x², donc (
x3)' =
2x2 et (
x2 +
x)' = 5x + 1.Ainsi, (
x3 +
x² + x)' =
2x2 + 5x + 1 = f(x) et F(x) =
x3 +
x2 + x.Les primitives de f sur sont donc les fonctions de la forme x →
x3 + 
x2 + x + k, où
k est une constante réelle.• Déterminer la primitive G de f qui s'annule en 1.
x3 + 
x2 + x + k pour tout
réel x et G(1) = 0.Donc :
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