Calcul intégral : aire sous une courbe de fonction continue
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Objectif(s)
Prolonger la définition d'aire d'une surface
plane pour les domaines dont un bord est une courbe de
fonction continue, non nécessairement
positive.
On considère un repère (O, I, J) orthogonal. Sauf
mention contraire, les aires seront exprimées en
unités d'aire (u.a).
1. Définitions
Soit (a, b) un couple de réels vérifiant
a
b.
Soit f une fonction continue sur [a ; b] de courbe représentative Cf.
Autrement dit : Pf+ = {M(x; y), a
x 
b
et 0 
y
f(x)} ;
Pf- = {M(x; y), a
x 
b
et f(x) 
y
0} ;
et Pf = Pf+
Pf-.
b.Soit f une fonction continue sur [a ; b] de courbe représentative Cf.
Le domaine plan situé sous la courbe de f est le
domaine noté ici Pf, limité par
l'axe (OI), la courbe Cf et les droites
d'équations x = a et x = b.
On appelle Pf+ l'éventuelle partie du domaine Pf située au-dessus de l'axe (OI) et Pf- l'éventuelle partie de Pf située au-dessous de (O,I).
On appelle Pf+ l'éventuelle partie du domaine Pf située au-dessus de l'axe (OI) et Pf- l'éventuelle partie de Pf située au-dessous de (O,I).
Autrement dit : Pf+ = {M(x; y), a
x b
et 0 y
f(x)} ;Pf- = {M(x; y), a
x b
et f(x) y
0} ;et Pf = Pf+
Pf-.
a. Illustrations des trois cas de figures possibles
► Cas 1 (déjà vu) : f est positive,
donc Pf = Pf+.
► Cas 2 : f est négative, donc Pf = Pf-.
► Cas 3 : f est non-positive, c'est-à-dire de signe variable.
► Cas 2 : f est négative, donc Pf = Pf-.
► Cas 3 : f est non-positive, c'est-à-dire de signe variable.
b. Théorème, définition 2 et
trois cas
On admet que Pf a une aire.
On appelle intégrale de f sur [a ; b] et l'on note
ou 
, le nombre égal à :
aire(Pf+) - aire
(Pf-).
On appelle intégrale de f sur [a ; b] et l'on note
ou , le nombre égal à :
aire(Pf+) - aire
(Pf-).
Reprenons les trois cas de figures :
► Cas 1 : f est positive, donc Pf- = Ø.
= aire(Pf+).► Cas 2 : f est négative, donc Pf+ = Ø.
=
- aire(Pf-).► Cas 3 : f est non-positive, c'est-à-dire de signe variable.
= aire(Pf+) -
aire(Pf-).
2. Aire entre deux courbes
a. Théorème admis
Soit (f ; g) un couple de fonctions continues sur un
intervalle I de courbes respectives Cf et
Cg.
Soit (a ; b) un couple de réels de I vérifiant a
b.
Soit (a ; b) un couple de réels de I vérifiant a
b.
Si f 
g sur [a ; b], alors le domaine plan limité
par Cf, Cg et les droites
d'équations x = a et x = b a une aire
égale à : 
.
g sur [a ; b], alors le domaine plan limité
par Cf, Cg et les droites
d'équations x = a et x = b a une aire
égale à : .
b. Illustration
Remarque
On vient de définir relativement « rigoureusement » le concept d’intégrale d’une fonction continue sur un intervalle [a ; b].
Mais ces définitions dépendent de calculs d’aires, donc hormis pour des fonctions très simples construites à l'aide de fonctions affines, ces calculs sont longs et compliqués, nécessitant l’utilisation de suites et de calculs de limites.
Ensuite on s’est limité au cas où a
b
; qu’en est-il lorsque a > b ?Il est donc urgent de trouver un moyen simple, rapide et performant pour calculer ces intégrales.
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