Calcul intégral : aire sous une courbe positive et continue
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Objectif(s)
Définir la notion d'aire d'une surface plane pour les
domaines dont un bord est une courbe de fonction continue et
positive.
1. Historiquement ...
La notion d'aire (ou plus exactement de la mesure de
l'aire) d'une partie plane semble être un concept
"évident". Or, la définition de cette notion
est en fait quelque chose de difficile qui ne peut
être rigoureusement établi en classe de
lycée.
Historiquement, on a assez vite dégagé quelques règles établies que devaient suivre la notion d'aire et on a su établir les formules donnant les aires d'un rectangle, d'un triangle rectangle puis d'un triangle quelconque (
).
Ainsi, on pouvait calculer l'aire d'une ligne polygonale fermée quelconque comme somme des aires de triangles et on a démontré que cette aire était indépendante du découpage choisi.
Mais ces seules règles
ne suffisaient pas pour calculer, par exemple,
l'aire d'un disque ou encore l'aire d'une partie plane dont
un bord est la courbe d'une fonction.
La partie plane hachurée en rouge, que l'on peut noter Pf, semble avoir une aire, au même sens intuitif que l’aire d’une ligne polygonale fermée. On note A(Pf) cette aire supposée.
On a eu alors l’idée d’encadrer A(Pf) par des aires (réelles) de parties du plan limitées par des lignes polygonales fermées. Voici brièvement la démarche.
Soit n un entier naturel.
On utilise, par exemple, deux lignes polygonales fermées sn et Sn, constituées chacune de n rectangles, la première incluse dans la partie Pf, la seconde contenant P.
On appelle an l'aire de sn et An l'aire de Sn.
Illustration pour n = 4
Bien sûr, on peut augmenter le nombre de rectangles pour obtenir un encadrement plus fin de A(Pf) et même pour obtenir un encadrement aussi fin qu'on le souhaite, autrement dit que la différence (An - an) peut-être rendue aussi petite que l'on veut pourvu que n soit suffisamment grand.
Ainsi, la notion d'aire va se définir à l'aide de la notion de limite.
On démontre (et on admet ici) que les suites (an) et (An) sont respectivement croissante et décroissante et que :
;
autrement dit les suites (An) et (an) ont une limite finie commune, à savoir la valeur de A(Pf).
On prouve aussi que cette limite est indépendante du choix des parties sn et Sn.
Historiquement, on a assez vite dégagé quelques règles établies que devaient suivre la notion d'aire et on a su établir les formules donnant les aires d'un rectangle, d'un triangle rectangle puis d'un triangle quelconque (
).Ainsi, on pouvait calculer l'aire d'une ligne polygonale fermée quelconque comme somme des aires de triangles et on a démontré que cette aire était indépendante du découpage choisi.
La partie plane hachurée en rouge, que l'on peut noter Pf, semble avoir une aire, au même sens intuitif que l’aire d’une ligne polygonale fermée. On note A(Pf) cette aire supposée.
On a eu alors l’idée d’encadrer A(Pf) par des aires (réelles) de parties du plan limitées par des lignes polygonales fermées. Voici brièvement la démarche.
Soit n un entier naturel.
On utilise, par exemple, deux lignes polygonales fermées sn et Sn, constituées chacune de n rectangles, la première incluse dans la partie Pf, la seconde contenant P.
On appelle an l'aire de sn et An l'aire de Sn.
Illustration pour n = 4
Bien sûr, on peut augmenter le nombre de rectangles pour obtenir un encadrement plus fin de A(Pf) et même pour obtenir un encadrement aussi fin qu'on le souhaite, autrement dit que la différence (An - an) peut-être rendue aussi petite que l'on veut pourvu que n soit suffisamment grand.
Ainsi, la notion d'aire va se définir à l'aide de la notion de limite.
On démontre (et on admet ici) que les suites (an) et (An) sont respectivement croissante et décroissante et que :
;autrement dit les suites (An) et (an) ont une limite finie commune, à savoir la valeur de A(Pf).
On prouve aussi que cette limite est indépendante du choix des parties sn et Sn.
2. Notion d'intégrale
a. Définition 1
On appelle une unité d’aire,
notée 1 u.a, l’aire du rectangle
engendré par les points O, I, J.
Sauf mention contraire, les aires seront exprimées en unités d'aire.
Soit (a, b) un couple de réels vérifiant a
b.Soit f une fonction continue et positive sur [a ; b] de courbe représentative Cf.
Remarque : si a = b, Cf se réduit à un point de coordonnées (a; f(a)).
b. Définition 2
Le domaine plan situé sous la courbe
Cf est la partie plane
délimitée par Cf, l'axe (O, I)
et les droites d'équations x = a et x = b. On
le note ici Pf.
Autrement dit, on a: Pf = {M(x; y), a
x
b et 0
y
f(x) }.
Autrement dit, on a: Pf = {M(x; y), a
xb et 0yf(x) }.
c. Théorème et définition 3
On admet que Pf a une aire
appelée intégrale de f sur [a ;
b].
On la note
ou 
.
aire(Pf).
On la note
ou . aire(Pf).
Remarques
• Le symbole
ressemble à un S allongé. Il
symbolise l’idée d’une somme.•
se lit « intégrale (ou somme) de a
à b de f(x)dx ».Dans cette écriture, x est la variable (elle varie sur l'intervalle [a ; b]), une variable dite « muette », c’est-à-dire que l’on peut la remplacer par une autre lettre, par exemple t, sans changer la définition.
Ainsi par exemple :
= 
.
d. Propriétés
On dispose des propositions suivantes :
•
.
• Pour tout nombre c de [a ; b] :
.
•
.• Pour tout nombre c de [a ; b] :
.
Démonstration évidente pour la première proposition et illustrée pour la seconde :
Remarques
On peut utiliser l'invariance par symétrie ou translation de la notion d'aires pour calculer certaines intégrales, par exemple :
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