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Calcul intégral : aire sous une courbe positive et continue

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Objectif(s)
Définir la notion d'aire d'une surface plane pour les domaines dont un bord est une courbe de fonction continue et positive.
1. Historiquement ...
La notion d'aire (ou plus exactement de la mesure de l'aire) d'une partie plane semble être un concept "évident". Or, la définition de cette notion est en fait quelque chose de difficile qui ne peut être rigoureusement établi en classe de lycée.

Historiquement, on a assez vite dégagé quelques règles établies que devaient suivre la notion d'aire et on a su établir les formules donnant les aires d'un rectangle, d'un triangle rectangle puis d'un triangle quelconque ().

Ainsi, on pouvait calculer l'aire d'une ligne polygonale fermée quelconque comme somme des aires de triangles et on a démontré que cette aire était indépendante du découpage choisi.
 
Mais ces seules règles ne suffisaient pas pour calculer, par exemple, l'aire d'un disque ou encore l'aire d'une partie plane dont un bord est la courbe d'une fonction.

 

La partie plane hachurée en rouge, que l'on peut noter Pf, semble avoir une aire, au même sens intuitif que l’aire d’une ligne polygonale fermée. On note A(Pf) cette aire supposée.

On a eu alors l’idée d’encadrer A(Pf) par des aires (réelles) de parties du plan limitées par des lignes polygonales fermées. Voici brièvement la démarche.

Soit n un entier naturel.
On utilise, par exemple, deux lignes polygonales fermées sn et Sn, constituées chacune de n rectangles, la première incluse dans la partie Pf, la seconde contenant P.

On appelle an l'aire de sn et An l'aire de Sn.

Illustration pour n = 4









Bien sûr, on peut augmenter le nombre de rectangles pour obtenir un encadrement plus fin de A(Pf) et même pour obtenir un encadrement aussi fin qu'on le souhaite, autrement dit que la différence (An - an) peut-être rendue aussi petite que l'on veut pourvu que n soit suffisamment grand.
Ainsi, la notion d'aire va se définir à l'aide de la notion de limite.

On démontre (et on admet ici) que les suites (an) et (An) sont respectivement croissante et décroissante et que :

;

autrement dit les suites (An) et (an) ont une limite finie commune, à savoir la valeur de A(Pf).
On prouve aussi que cette limite est indépendante du choix des parties sn et Sn.

2. Notion d'intégrale
a. Définition 1
On appelle une unité d’aire, notée 1 u.a, l’aire du rectangle engendré par les points O, I, J.
 

Sauf mention contraire, les aires seront exprimées en unités d'aire.
Soit (a, b) un couple de réels vérifiant ab.
Soit f une fonction continue et positive sur [a ; b] de courbe représentative Cf.

Remarque
: si a = b, Cf se réduit à un point de coordonnées (a; f(a)).
b. Définition 2
Le domaine plan situé sous la courbe Cf est la partie plane délimitée par Cf, l'axe (O, I) et les droites d'équations x = a et x = b. On le note ici Pf.

Autrement dit, on a: Pf = {M(x; y), axb et 0yf(x) }.
c. Théorème et définition 3
On admet que Pf a une aire appelée intégrale de f sur [a ; b].

On la note ou  .

aire(Pf).
 

Remarques


• Le symbole ressemble à un S allongé. Il symbolise l’idée d’une somme.

se lit « intégrale (ou somme) de a à b de f(x)dx ».
Dans cette écriture, x est la variable (elle varie sur l'intervalle [a ; b]), une variable dite « muette », c’est-à-dire que l’on peut la remplacer par une autre lettre, par exemple t, sans changer la définition.

Ainsi par exemple : = .
d. Propriétés
On dispose des propositions suivantes :

.

• Pour tout nombre c de [a ; b] : .

Démonstration évidente pour la première proposition et illustrée pour la seconde :


 

Remarques

On peut utiliser l'invariance par symétrie ou translation de la notion d'aires pour calculer certaines intégrales, par exemple :
 
 
 
 

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