Loi de probabilité à densité et loi uniforme sur un intervalle

Remarques

• Toutes ces propriétés doivent s’appliquer sans avoir à réfléchir…

• On considère que le résultat ne change pas si l’intervalle I = [a ; b] est ouvert (par exemple I = [a ; b[) ou que l’une (ou les 2) des bornes soit infinie (I = [a ; ∞[).

• Comprendre que pour une fonction de densité de probabilité sur I = [a ; b], pour tout réel c de I, p(X = c) = 0.

Il est vrai que   ce qui démontre le résultat.

Il s’agit ici d’essayer de comprendre ce qu’il se passe :

     1. Sur le segment [0 ; 1], posons une bille de diamètre 1. Elle occupe toute la place, la probabilité de prendre une bille sur le segment est donc 1.

     2. Sur le même segment [0 ; 1], posons dix billes de diamètre 0,1. Elles occupent toute la place (en longueur), la probabilité de prendre une bille sur le segment est donc 0,1.

     3. Sur le même segment [0 ; 1], posons un million de billes de diamètre 10⁶. La probabilité de prendre une bille sur le segment est donc 0,000 001. Ce qui est très très petit.

     4. Si sur le segment [0 ; 1] nous plaçons n billes, la probabilité de tirer une de ces billes sur ce segment sera de .

Si l’on place une des n billes en chacun des nombres (il y en a une infinité) du segment, alors p = avec .

On peut comprendre pourquoi la probabilité d’obtenir un nombre particulier soit nulle (p(X = c) = 0).

Exemple
Une cible d'un mètre de diamètre est utilisée pour un concours.

• Cas du discret (nous travaillons sur des parties que l’on peut compter) :
Cinq surfaces concentriques, nommées S₁, S₂, S₃, S₄ et S₅, sont coloriées sur la cible, la 1^ère de rayon 0,1 m la 2^nde comprise entre la 1^ère et le cercle de rayon 0,2 m etc...
On considère qu’il y a équiprobabilité, donc la probabilité d’obtenir une partie est proportionnelle à son aire.

Aire totale : .







et

Alors :
, , , et .

• Cas du continu
La cible est uniforme, sans découpage. La règle choisie est de mesurer après chaque tir la distance entre le centre et le point d’impact. Cette distance est une valeur de l’intervalle [0 ; 0,5].

On choisit la fonction de densité de probabilité sur l’intervalle I = [0 ; 0,5] : .

Montrons qu’il s’agit bien d’une fonction de densité : sur I, c’est une fonction continue (fonction polynôme), positive, avec :

.

f est bien une fonction densité sur I.

Nous avons :




,



.

On constate qu'on obtient les mêmes probabilités que dans le cas précédent.

Exemple

J’ai fixé rendez-vous à Caroline à 10 h. Elle peut être à l’heure ou arriver avec un retard pouvant atteindre 15 minutes. En considérant que le temps d’attente T suit la loi uniforme sur I = [0 ; 15], définir la fonction de densité, donner la probabilité pour qu’elle arrive en moins de cinq minutes.

T suit la loi uniforme sur [0 ; 15], donc f est définie par : .

.