Loi normale
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Objectif(s)
• Utiliser une calculatrice ou un tableur pour obtenir
une probabilité dans le cadre d’une loi normale
.
• Connaître une valeur approchée de la probabilité des événements suivants :
, 
et 
, lorsque X suit la loi normale
.
.• Connaître une valeur approchée de la probabilité des événements suivants :
, et , lorsque X suit la loi normale
.
Remarque : la loi normale est sans doute le modèle
probabiliste le plus utilisé pour décrire de
très nombreux phénomènes observés
dans la pratique.
1. Définition et propriétés
Pour μ et σ deux réels avec 0 <
σ, la variable aléatoire X suit la loi
normale 
si et seulement si
suit la loi normale centrée réduite N(0,1).
si et seulement si
suit la loi normale centrée réduite N(0,1).
Il faut connaître les résultats
suivants (non démontrés) :
• P(μ - σ ≤ X ≤ μ + σ)
0,68.
• P(μ - 2σ ≤ X ≤ μ + 2σ)
0,95.
• P(μ - 3σ ≤ X ≤ μ + 3σ)
0,997.
• P(μ - σ ≤ X ≤ μ + σ)
0,68.• P(μ - 2σ ≤ X ≤ μ + 2σ)
0,95.• P(μ - 3σ ≤ X ≤ μ + 3σ)
0,997.
Il faut savoir utiliser une calculatrice ou un tableur pour en obtenir les différentes probabilités recherchées. (voir fiche méthodologique : Savoir utiliser la calculatrice pour représenter une loi normale).
2. Représentations graphiques
Dans un repère orthonormal, la courbe
représentative de la fonction est une courbe de
Gauss. On dit que c’est une courbe « en
cloche », plus ou moins haute ou aplatie selon les
paramètres μ et σ.
La fonction densité de la loi
s'écrit : 
.
Elle n’est pas à connaître en terminale ES. Cela permet d’en tracer quelques représentations graphiques en fonction des paramètres μ et σ choisis.
Ci-dessous on commence par faire varier μ puis σ.
Variations de μ :
• Pour μ = 0 et σ = 1, c’est la loi normale centrée réduite :
• Pour μ = 1 et σ = 1, la courbe est déplacée de 1 sur la droite :
• Pour μ variant de - 1 à 3 et σ = 1, la courbe est déplacée de 1 de gauche à droite :
Variations de σ :
• Pour μ = 1 et σ = 2, élargissement et aplatissement de la courbe autour de son centre de symétrie :
• Pour μ = 1 et σ = 0,5, resserrement et augmentation du pic de la courbe :
• Pour μ = 1 et σ variant de 0,5 à 3 :
La fonction densité de la loi
s'écrit : .Elle n’est pas à connaître en terminale ES. Cela permet d’en tracer quelques représentations graphiques en fonction des paramètres μ et σ choisis.
Ci-dessous on commence par faire varier μ puis σ.
Variations de μ :
• Pour μ = 0 et σ = 1, c’est la loi normale centrée réduite :
• Pour μ = 1 et σ = 1, la courbe est déplacée de 1 sur la droite :
• Pour μ variant de - 1 à 3 et σ = 1, la courbe est déplacée de 1 de gauche à droite :
Variations de σ :
• Pour μ = 1 et σ = 2, élargissement et aplatissement de la courbe autour de son centre de symétrie :
• Pour μ = 1 et σ = 0,5, resserrement et augmentation du pic de la courbe :
• Pour μ = 1 et σ variant de 0,5 à 3 :
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