Lois de probabilités continues
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.• Pour ce chapitre, il est indispensable de connaître la notion d’intégrale.
• On convient des notations suivantes :
Soit I un intervalle. On utilise la notation
.• Si I = [a ; b], alors
= 
.• Si I a au moins l’une de ces bornes infinie, par exemple I = [a ; +
[, alors
sous réserve d’existence 
= 
.• Si I a l’une de ces bornes finies ouvertes, par exemple I = ]a ; b], alors sous réserve d’existence
= 
.Or, il y a beaucoup de situations où les expériences aléatoires mènent à des variables aléatoires
ne prenant pas des valeurs isolées, mais des valeurs dans un intervalle de nombre réel (ex : la durée d’attente d’un métro dans une station est une variable aléatoire qui prend ses valeurs dans un intervalle de temps).
De fait, avec une telle variable aléatoire X, les {X = xi} sont en nombre infini et on ne peut faire un tableau de probabilités les concernant. Une telle variable aléatoire suit une loi dite « continue ».
Il est donc nécessaire d’utiliser la notion d’intervalle pour ces variables aléatoires.
Par exemple, à la situation « attendre le métro entre 8h et 8h15 (= 8,25h) » et en appelant X la variable aléatoire égale au temps d’attente, on associera l’événement {8 ≤ X ≤ 8,25} ou encore {X
[8 ;
8,25]}.D’une façon générale, pour de telles variables aléatoires, on utilisera des événements du type
{X
I} où
I est un intervalle de nombre. Reste alors à
définir la probabilité associée à
cet événement, probabilité que l’on
notera P({X 
I}), ou plus
simplement P(X 
I).Pour chacune de ces variables aléatoires, les lois de probabilité continues associées définiront une probabilité à l’aide d’une fonction appelée « densité ».
En fait, la probabilité sera égale à une aire sous la courbe de la densité, donc égale à une intégrale !
.On appelle densité de probabilité sur I, toute fonction f définie sur I et vérifiant les propositions suivantes :
• f est continue sur I sauf éventuellement en un nombre fini de valeurs isolées.
• f est positive sur I.
• l’aire sous la courbe C de f est égale à 1 u.a (unité d'aire), autrement dit
Exemple
Pour tout réel x de [0 ; 1], f(x) = 2x et f(x) = 0 si x
[0 ; 1].Voici la représentation graphique de f :
f est continue sur sauf en x = 1 et elle est positive sur
.De plus,
.f est donc une densité de probabilité sur
.Une variable aléatoire X est dite continue sur I, lorsqu’elle peut prendre toutes les valeurs de I.
Il existe alors sur I une densité de probabilité f associée à X et pour tout intervalle J inclus dans I, on dispose de l’égalité : P(X
J) = 
.
Exemple
Soit X une variable aléatoire continue sur
ayant pour densité associée la fonction f
de l’exemple ci-dessus.On a : P(X
[0,5 ; 0,8]) = P(0,5 ≤ X ≤
0,8) = 
.On peut calculer cette intégrale à l’aide d’une primitive (comme précédemment) ; or ici, cette intégrale est l’aire d’un trapèze (voir le graphique).
Ainsi, on a P(0,5 ≤ X ≤ 0,8) =
.
L’espérance mathématique de X, notée E(X), est définie par l’égalité :
.
Exemple
On reprend la variable aléatoire de l’exemple précédent.
On a : E(X) =
= 
= 
.
= 0.La probabilité que la variable continue X prenne une valeur isolée quelconque est donc nulle.
• Il en résulte que l’on dispose pour tout couple de nombres (a ; b) de I des égalités suivantes :
P( a ≤ X ≤ b) = P( a ≤ X < b) = P( a < X ≤ b) = P( a < X < b).
• Si par exemple l’intervalle ]-
; a] est inclus dans I, alors
on dispose des égalités suivantes :P( X ≤ a) = P( X
] -
; a]) = 
.• Pour tout réel a de I, {X
I} = {X ≤ a} {X > a}, donc
P(X 
I) = P(X ≤ a) + P(X > a).Donc :
P(X > a) = 1 - P(X ≤ a) puisque P({X
I}) = 1.Et bien sûr, P(X ≥ a) = P(X > a).
Illustration de la dernière propriété :
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