Lois de probabilités continues - Maxicours

Lois de probabilités continues

Objectif(s)
• Définir la notion de probabilité lorsque les variables aléatoires ne sont pas discrètes, c’est-à-dire lorsqu’elles prennent leurs valeurs de façon « continue » sur un intervalle de .

• Pour ce chapitre, il est indispensable de connaître la notion d’intégrale.

• On convient des notations suivantes :

Soit I un intervalle. On utilise la notation .
• Si I = [a ; b], alors = .
• Si I a au moins l’une de ces bornes infinie, par exemple I = [a ; +[, alors sous réserve d’existence = .
• Si I a l’une de ces bornes finies ouvertes, par exemple I = ]a ; b], alors sous réserve d’existence = .

Les expériences aléatoires rencontrées jusqu’à maintenant associent un univers fini de résultats sur lequel on définit une loi de probabilité P. Il en résulte des variables aléatoires dites discrètes car prenant un nombre fini de valeurs isolées (ex : la variable aléatoire égale au résultat du jet d’un dé -1, 2, 3, 4, 5, 6 -).

Or, il y a beaucoup de situations où les expériences aléatoires mènent à des variables aléatoires
ne prenant pas des valeurs isolées, mais des valeurs dans un intervalle de nombre réel (ex : la durée d’attente d’un métro dans une station est une variable aléatoire qui prend ses valeurs dans un intervalle de temps).

De fait, avec une telle variable aléatoire X, les {X = xi} sont en nombre infini et on ne peut faire un tableau de probabilités les concernant. Une telle variable aléatoire suit une loi dite « continue ».
Il est donc nécessaire d’utiliser la notion d’intervalle pour ces variables aléatoires.
Par exemple, à la situation « attendre le métro entre 8h et 8h15 (= 8,25h) » et en appelant X la variable aléatoire égale au temps d’attente, on associera l’événement {8 ≤ X ≤ 8,25} ou encore {X [8 ; 8,25]}.

D’une façon générale, pour de telles variables aléatoires, on utilisera des événements du type
{X I} où I est un intervalle de nombre. Reste alors à définir la probabilité associée à cet événement, probabilité que l’on notera P({X I}), ou plus simplement P(X I).

Pour chacune de ces variables aléatoires, les lois de probabilité continues associées définiront une probabilité à l’aide d’une fonction appelée « densité »
.
En fait, la probabilité sera égale à une aire sous la courbe de la densité, donc égale à une intégrale !
1. Définition 1 des variables aléatoires continues
Soit I un intervalle quelconque de .

On appelle densité de probabilité sur I, toute fonction f définie sur I et vérifiant les propositions suivantes :

• f est continue sur I sauf éventuellement en un nombre fini de valeurs isolées.

• f est positive sur I.

• l’aire sous la courbe C de f est égale à 1 u.a (unité d'aire), autrement dit



Exemple

Pour tout réel x de [0 ; 1], f(x) = 2x et f(x) = 0 si x [0 ; 1].

Voici la représentation graphique de f :



f est continue sur sauf en x = 1 et elle est positive sur .

De plus, .

f est donc une densité de probabilité sur .
2. Définition 2 et 3 des variables aléatoires continues
Soit f une densité de probabilité sur I.

Une variable aléatoire X est dite continue sur I, lorsqu’elle peut prendre toutes les valeurs de I.

Il existe alors sur I une densité de probabilité f associée à X et pour tout intervalle J inclus dans I, on dispose de l’égalité : P(X J) = .

Exemple

Soit X une variable aléatoire continue sur ayant pour densité associée la fonction f de l’exemple ci-dessus.
On a : P(X [0,5 ; 0,8]) = P(0,5 ≤ X ≤ 0,8) = .

On peut calculer cette intégrale à l’aide d’une primitive (comme précédemment) ; or ici, cette intégrale est l’aire d’un trapèze (voir le graphique).

Ainsi, on a P(0,5 ≤ X ≤ 0,8) =.



Soit X une variable aléatoire continue sur I de densité de probabilité f.
L’espérance mathématique de X, notée E(X), est définie par l’égalité :

.

Exemple

On reprend la variable aléatoire de l’exemple précédent.

On a : E(X) = = = .
3. Quelques propriétés remarquables
• Pour tout réel t de I, on a P(X = t) = P( t ≤ X ≤ t) = = 0.

La probabilité que la variable continue X prenne une valeur isolée quelconque est donc nulle.

• Il en résulte que l’on dispose pour tout couple de nombres (a ; b) de I des égalités suivantes :
P( a ≤ X ≤ b) = P( a ≤ X < b) = P( a < X ≤ b) = P( a < X < b).

• Si par exemple l’intervalle ]- ; a] est inclus dans I, alors on dispose des égalités suivantes :

P( X ≤ a) = P( X ] - ; a]) = .

• Pour tout réel a de I, {X I} = {X ≤ a} {X > a}, donc P(X  I) = P(X ≤ a) + P(X > a).
Donc :
P(X > a) = 1 - P(X ≤ a) puisque P({X I}) = 1.

Et bien sûr, P(X ≥ a) = P(X > a).

Illustration de la dernière propriété :





Vous avez déjà mis une note à ce cours.

Découvrez les autres cours offerts par Maxicours !

Découvrez Maxicours

Comment as-tu trouvé ce cours ?

Évalue ce cours !

 

quote blanc icon

Découvrez Maxicours

Exerce toi en t’abonnant

Des profs en ligne

  • 6 j/7 de 17 h à 20 h
  • Par chat, audio, vidéo
  • Sur les matières principales

Des ressources riches

  • Fiches, vidéos de cours
  • Exercices & corrigés
  • Modules de révisions Bac et Brevet

Des outils ludiques

  • Coach virtuel
  • Quiz interactifs
  • Planning de révision

Des tableaux de bord

  • Suivi de la progression
  • Score d’assiduité
  • Un compte Parent

Inscrivez-vous à notre newsletter !

Votre adresse e-mail sera exclusivement utilisée pour vous envoyer notre newsletter. Vous pourrez vous désinscrire à tout moment, à travers le lien de désinscription présent dans chaque newsletter. Conformément à la Loi Informatique et Libertés n°78-17 du 6 janvier 1978 modifiée, au RGPD n°2016/679 et à la Loi pour une République numérique du 7 octobre 2016, vous disposez du droit d’accès, de rectification, de limitation, d’opposition, de suppression, du droit à la portabilité de vos données, de transmettre des directives sur leur sort en cas de décès. Vous pouvez exercer ces droits en adressant un mail à : contact-donnees@sejer.fr. Vous avez la possibilité de former une réclamation auprès de l’autorité compétente. En savoir plus sur notre politique de confidentialité