Lois de probabilités continues
Objectif(s)
• Définir la notion de probabilité lorsque
les variables aléatoires ne sont pas discrètes,
c’est-à-dire lorsqu’elles prennent leurs
valeurs de façon « continue » sur un
intervalle de 
.
• Pour ce chapitre, il est indispensable de connaître la notion d’intégrale.
• On convient des notations suivantes :
Soit I un intervalle. On utilise la notation
.
• Si I = [a ; b], alors
= 
.
• Si I a au moins l’une de ces bornes infinie, par exemple I = [a ; +
[, alors
sous réserve d’existence 
= 
.
• Si I a l’une de ces bornes finies ouvertes, par exemple I = ]a ; b], alors sous réserve d’existence
= 
.
.• Pour ce chapitre, il est indispensable de connaître la notion d’intégrale.
• On convient des notations suivantes :
Soit I un intervalle. On utilise la notation
.• Si I = [a ; b], alors
= .• Si I a au moins l’une de ces bornes infinie, par exemple I = [a ; +
[, alors
sous réserve d’existence
= .• Si I a l’une de ces bornes finies ouvertes, par exemple I = ]a ; b], alors sous réserve d’existence
= .
Les expériences aléatoires rencontrées
jusqu’à maintenant associent un univers fini de
résultats sur lequel on définit une loi de
probabilité P. Il en résulte des variables
aléatoires dites discrètes car prenant un nombre
fini de valeurs isolées (ex : la variable
aléatoire égale au résultat du jet
d’un dé -1, 2, 3, 4, 5, 6 -).
Or, il y a beaucoup de situations où les expériences aléatoires mènent à des variables aléatoires
ne prenant pas des valeurs isolées, mais des valeurs dans un intervalle de nombre réel (ex : la durée d’attente d’un métro dans une station est une variable aléatoire qui prend ses valeurs dans un intervalle de temps).
De fait, avec une telle variable aléatoire X, les {X = xi} sont en nombre infini et on ne peut faire un tableau de probabilités les concernant. Une telle variable aléatoire suit une loi dite « continue ».
Il est donc nécessaire d’utiliser la notion d’intervalle pour ces variables aléatoires.
Par exemple, à la situation « attendre le métro entre 8h et 8h15 (= 8,25h) » et en appelant X la variable aléatoire égale au temps d’attente, on associera l’événement {8 ≤ X ≤ 8,25} ou encore {X
[8 ;
8,25]}.
D’une façon générale, pour de telles variables aléatoires, on utilisera des événements du type
{X
I} où
I est un intervalle de nombre. Reste alors à
définir la probabilité associée à
cet événement, probabilité que l’on
notera P({X 
I}), ou plus
simplement P(X 
I).
Pour chacune de ces variables aléatoires, les lois de probabilité continues associées définiront une probabilité à l’aide d’une fonction appelée « densité ».
En fait, la probabilité sera égale à une aire sous la courbe de la densité, donc égale à une intégrale !
Or, il y a beaucoup de situations où les expériences aléatoires mènent à des variables aléatoires
ne prenant pas des valeurs isolées, mais des valeurs dans un intervalle de nombre réel (ex : la durée d’attente d’un métro dans une station est une variable aléatoire qui prend ses valeurs dans un intervalle de temps).
De fait, avec une telle variable aléatoire X, les {X = xi} sont en nombre infini et on ne peut faire un tableau de probabilités les concernant. Une telle variable aléatoire suit une loi dite « continue ».
Il est donc nécessaire d’utiliser la notion d’intervalle pour ces variables aléatoires.
Par exemple, à la situation « attendre le métro entre 8h et 8h15 (= 8,25h) » et en appelant X la variable aléatoire égale au temps d’attente, on associera l’événement {8 ≤ X ≤ 8,25} ou encore {X
[8 ;
8,25]}.D’une façon générale, pour de telles variables aléatoires, on utilisera des événements du type
{X
I} où
I est un intervalle de nombre. Reste alors à
définir la probabilité associée à
cet événement, probabilité que l’on
notera P({X I}), ou plus
simplement P(X I).Pour chacune de ces variables aléatoires, les lois de probabilité continues associées définiront une probabilité à l’aide d’une fonction appelée « densité ».
En fait, la probabilité sera égale à une aire sous la courbe de la densité, donc égale à une intégrale !
1. Définition 1 des variables aléatoires
continues
Soit I un intervalle quelconque de 
.
On appelle densité de probabilité sur I, toute fonction f définie sur I et vérifiant les propositions suivantes :
• f est continue sur I sauf éventuellement en un nombre fini de valeurs isolées.
• f est positive sur I.
• l’aire sous la courbe C de f est égale à 1 u.a (unité d'aire), autrement dit
.On appelle densité de probabilité sur I, toute fonction f définie sur I et vérifiant les propositions suivantes :
• f est continue sur I sauf éventuellement en un nombre fini de valeurs isolées.
• f est positive sur I.
• l’aire sous la courbe C de f est égale à 1 u.a (unité d'aire), autrement dit
Exemple
Pour tout réel x de [0 ; 1], f(x) = 2x et f(x) = 0 si x
[0 ; 1].Voici la représentation graphique de f :
f est continue sur sauf en x = 1 et elle est positive sur
.De plus,
.f est donc une densité de probabilité sur
.
2. Définition 2 et 3 des variables
aléatoires continues
Soit f une densité de probabilité sur
I.
Une variable aléatoire X est dite continue sur I, lorsqu’elle peut prendre toutes les valeurs de I.
Il existe alors sur I une densité de probabilité f associée à X et pour tout intervalle J inclus dans I, on dispose de l’égalité : P(X
J) = 
.
Une variable aléatoire X est dite continue sur I, lorsqu’elle peut prendre toutes les valeurs de I.
Il existe alors sur I une densité de probabilité f associée à X et pour tout intervalle J inclus dans I, on dispose de l’égalité : P(X
J) = .
Exemple
Soit X une variable aléatoire continue sur
ayant pour densité associée la fonction f
de l’exemple ci-dessus.On a : P(X
[0,5 ; 0,8]) = P(0,5 ≤ X ≤
0,8) = 
.On peut calculer cette intégrale à l’aide d’une primitive (comme précédemment) ; or ici, cette intégrale est l’aire d’un trapèze (voir le graphique).
Ainsi, on a P(0,5 ≤ X ≤ 0,8) =
.
Soit X une variable aléatoire continue sur I de
densité de probabilité f.
L’espérance mathématique de X, notée E(X), est définie par l’égalité :
.
L’espérance mathématique de X, notée E(X), est définie par l’égalité :
.
Exemple
On reprend la variable aléatoire de l’exemple précédent.
On a : E(X) =
= 
= 
.
3. Quelques propriétés remarquables
• Pour tout réel t de I, on a P(X = t) = P( t
≤ X ≤ t) = 
= 0.
La probabilité que la variable continue X prenne une valeur isolée quelconque est donc nulle.
• Il en résulte que l’on dispose pour tout couple de nombres (a ; b) de I des égalités suivantes :
P( a ≤ X ≤ b) = P( a ≤ X < b) = P( a < X ≤ b) = P( a < X < b).
• Si par exemple l’intervalle ]-
; a] est inclus dans I, alors
on dispose des égalités suivantes :
P( X ≤ a) = P( X
] -
; a]) = 
.
• Pour tout réel a de I, {X
I} = {X ≤ a} {X > a}, donc
P(X 
I) = P(X ≤ a) + P(X > a).
Donc :
P(X > a) = 1 - P(X ≤ a) puisque P({X
I}) = 1.
Et bien sûr, P(X ≥ a) = P(X > a).
= 0.La probabilité que la variable continue X prenne une valeur isolée quelconque est donc nulle.
• Il en résulte que l’on dispose pour tout couple de nombres (a ; b) de I des égalités suivantes :
P( a ≤ X ≤ b) = P( a ≤ X < b) = P( a < X ≤ b) = P( a < X < b).
• Si par exemple l’intervalle ]-
; a] est inclus dans I, alors
on dispose des égalités suivantes :P( X ≤ a) = P( X
] - ; a]) = .• Pour tout réel a de I, {X
I} = {X ≤ a} {X > a}, donc
P(X I) = P(X ≤ a) + P(X > a).Donc :
P(X > a) = 1 - P(X ≤ a) puisque P({X
I}) = 1.Et bien sûr, P(X ≥ a) = P(X > a).
Illustration de la dernière propriété :
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