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Savoir utiliser la calculatrice pour représenter une loi normale centrée réduite

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La loi normale centrée réduite est une loi à densité de probabilité (connaître le cours sur les lois de probabilité à densité). On applique donc les règles connues, et on utilise la calculatrice pour les résultats.

Pour une bonne compréhension des calculs suivants, il faut avoir en tête le schéma ci-contre.



On pose a < 0, b = | a |.

La calculatrice (un logiciel) donne la valeur de p(a < X < b) pour a et b deux nombres quelconques.
Sauf la TI-Nspire, les calculatrices ne donnent ni p(X < a) ni p(X > a).

Exemple d’utilisation
p(X < a) avec a < 0.
C’est A1 qui vaut . Comme A2 = A3, .


Remarque : seules des calculatrices, utilisant le calcul formel, acceptent le symbole ∞ dans les calculs.
1. À partir d'une TI 82 stats (ou 83-84)
► Calcul de p(a < X < b).

Exemple : p(-5,5 < X < 2).
Dans le menu « distrib », choix 2 (normalFRép).
Écrire : normalFRép(-5.5,2) puis valider.
Résultat : 0,977.

► Calcul de p(X = a).

p(X = a) = 0. C’est une loi de probabilité à densité.

► Calcul de p(X < a) et a < 0.

Exemple : p(X < -0,4).
Il faut ajouter 0,5 à -p(0 < X < 0,4), qui se calcule comme précédemment.
Résultat : 0,345.

► Calcul de p(X < a) et a > 0.

Exemple : p(X < 0,4).
p(X < a) = 0,5 + p(0 < X < a)
Il faut ajouter 0,5 à p(0 < X < 0,4), qui se calcule comme précédemment.
Résultat : 0,655.

► Calcul de p(X > a) = 1 - p(X ≤ a).

Une loi à distribution de densité de probabilité suit p(Xa) = p(X < a).
Exemple : p(X > 1,8).
p(X > 1,8) = 1 - p(X 1,8) = 1 - p(X < 1,8).
Procéder comme précédemment, écrire 1 - (0,5 + normalFRép(0,1.8)).
Résultat : 0,0359.

► Calcul de p(X < x) = p.

Il faut trouver un nombre x tel que sa probabilité soit une valeur donnée p.
Exemple : p(X < x) = 0,63.
Dans le menu « distrib », choix 3 (Fracnormale).
Écrire : Fracnormale(0.63) puis valider.
Résultat : 0,33185335.
2. À partir d'une Casio Graph 35+
► Calcul de p(a < X < b).

Exemple p(-5,5 < X < 2).
Touche menu, aller sur STATS, F5 pour DIST, choix F1 pour NORM, et F2 pour Ncd.
Donner la plus petite valeur (valider), la plus grande (valider), écrire 1 en σ flèche pour descendre sur « execute » puis F1.
Résultat : 0,977.

► Calcul de p(X = a).

p(X = a) = 0. C’est une loi de probabilité à densité.

► Calcul de p(X < a) et a < 0.

Exemple : p(X < -0,4).
Il faut ajouter 0,5 à -p(0 < X < 0,4), qui se calcule comme précédemment.
Résultat : 0,345.

► Calcul de p(X < a) et a > 0.

Exemple : p(X < 0,4).
p(X < a) = 0,5 + p(0 < X < a)
Il faut ajouter 0,5 à p(0 < X < 0,4), qui se calcule comme précédemment.
Résultat : 0,655.

► Calcul de p(X > a) = 1 - p(X ≤ a).
Une loi à distribution de densité de probabilité suit p(Xa) = p(X < a) .
Exemple : p(X > 1,8).
p(X > 1,8) = 1 - p(X 1,8) = 1 - p(X < 1,8).
Commencer par chercher p(X < 1,8).
Puis menu Run, écrire 1- (0.5 + Ans).
Résultat : 0,0359.


► Calcul de p(X < x) = p.

Il faut trouver un nombre x tel que sa probabilité soit une valeur donnée p.
Exemple : p(X < x) = 0,63
Touche menu, aller sur STATS, F5 pour DIST, choix F1 pour NORM, et F3 pour InvN.
Écrire la valeur (valider), écrire 1 en σ flèche pour descendre sur « execute » puis F1.
Résultat : 0,33185.
3. À partir d'une TI-Nspire
► Calcul de p(a < X < b).

 Exemple : p(-5,5 < X < 2).
Appuyer sur menu, choix 5 probabilités, encore 5 Distributions, puis 2 NormalFDR.
Remplir avec les deux valeurs, puis valider.
Cela affiche : normCdf(−5.5,2,0,1).
Résultat : 0,977.

► Calcul de p(X = a).

p(X = a) = 0. C’est une loi de probabilité à densité.

► Calcul de p(X < a) et a < 0.

Exemple : p(X < -0,4).
Il suffit d’écrire - ∞ pour la borne inférieure : normCdf(−∞,-0.4,0,1)
Résultat : 0,345.

► Calcul de p(X < a).

Exemple : p(X < 0,4).
p(X < a) = 0,5 + p(0 < X < a)
Il suffit d’écrire - ∞ pour la borne inférieure : normCdf(−∞,0.4,0,1)
Résultat : 0,655.

► Calcul de p(X > a) = 1 - p(X ≤ a).

Une loi à distribution de densité de probabilité suit p(Xa) = p(X < a) .Il faut donc trouver un nombre x tel que sa probabilité soit une valeur donnée p.
Exemple : p(X > 1,8).
p(X > 1,8) = 1 - p(X 1,8) = 1 - p(X < 1,8).
Il suffit d'écrire : 1 - normCdf(-∞,1.8,0,1).
Résultat : 0,0359.

► Calcul de p(X < x) = p.

 Exemple : p(X < x) = 0,63
Appuyer sur menu, choix 5 probabilités, encore 5 Distributions, puis 3 Inverse Normale.
Remplir avec la valeur, puis valider.
Cela affiche invNorm(0.63,0,1).
Résultat : 0,331863.



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