Savoir utiliser la calculatrice pour représenter une loi normale
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On utilise la calculatrice pour les résultats.
Pour une bonne compréhension des calculs suivants, il faut avoir en tête le schéma ci-contre.
On pose a1 < μ < a2.
La calculatrice (un logiciel) donne la valeur de p(a < X < b) pour a et b deux nombres quelconques.
Sauf la TI-Nspire, les calculatrices ne donnent ni p(X < a) ni p(X > a).
Exemple d’utilisation
p(X < a1) avec a1 < μ.
C’est A1 qui vaut 0,5 - A2. Comme A2 = A3, A1 = 0,5 - A3 = 0,5 - p(0 < X < a2).
Pour les calculs qui suivent on considère la loi
où
μ = 2 et σ = 3.
Pour une bonne compréhension des calculs suivants, il faut avoir en tête le schéma ci-contre.
On pose a1 < μ < a2.
La calculatrice (un logiciel) donne la valeur de p(a < X < b) pour a et b deux nombres quelconques.
Sauf la TI-Nspire, les calculatrices ne donnent ni p(X < a) ni p(X > a).
Exemple d’utilisation
p(X < a1) avec a1 < μ.
C’est A1 qui vaut 0,5 - A2. Comme A2 = A3, A1 = 0,5 - A3 = 0,5 - p(0 < X < a2).
Pour les calculs qui suivent on considère la loi
où
μ = 2 et σ = 3.
1. À partir d'une TI 82 stats (ou 83-84)
► Calcul de p(a < X < b).
Exemple : p(-5,5 < X < 2).
Dans le menu « distrib », choix 2 (normalFRép).
Écrire : normalFRép(- 5.5,2,2,3) puis valider.
Résultat : 0,4937.
► Calcul de p(X = a).
P(X = a) = 0. C’est une loi de probabilité à densité.
► Calcul de p(X < a).
• Exemple 1 : p(X < 0,4).
On a : 0,4 < 2, on est dans le cas où a < μ.
Calculer 0,5 - p(a < X < μ), soit 0,5 - p(0,4 < X < 2) qui se calcule comme précédemment.
Résultat : 0,2969.
• Exemple 2 : p(X < 4,7).
On a : 4,7 > 2, on est dans le cas où a > μ.
Calculer 0,5 + p(μ < X < a), soit 0,5 + p(2 < X < 4,7) qui se calcule comme précédemment.
Résultat : 0, 8159.
► Calcul de p(X > a).
• Exemple 1 : p(X > 0,4).
On a : 0,4 < 2, on est dans le cas où a < μ.
Calculer 0,5 + p(a < X < μ), soit 0,5 + p(0,4 < X < 2) qui se calcule comme précédemment.
Résultat : 0,2969.
• Exemple 2 : p(X > 4,7).
On a : 4,7 > 2, on est dans le cas où a > μ.
Calculer 0,5 - p(μ < X < a), soit 0,5 - p(2 < X < 4,7) qui se calcule comme précédemment.
Résultat : 0,18406.
► Calcul de p(X < x) = p.
Exemple : p(X < x) = 0,63.
Dans le menu « distrib », choix 3 (Fracnormale). Écrire : Fracnormale(0.63,2,3) puis valider.
Résultat : 2,99556.
Exemple : p(-5,5 < X < 2).
Dans le menu « distrib », choix 2 (normalFRép).
Écrire : normalFRép(- 5.5,2,2,3) puis valider.
Résultat : 0,4937.
► Calcul de p(X = a).
P(X = a) = 0. C’est une loi de probabilité à densité.
► Calcul de p(X < a).
ATTENTION, pour p(X < a), il faut vérifier
:
- si a < μ, dans ce cas p(X < a) = 0,5 - p(a < X < μ) ;
- si a > μ, dans ce cas p(X < a) = 0,5 + p(μ < X < a).
- si a < μ, dans ce cas p(X < a) = 0,5 - p(a < X < μ) ;
- si a > μ, dans ce cas p(X < a) = 0,5 + p(μ < X < a).
• Exemple 1 : p(X < 0,4).
On a : 0,4 < 2, on est dans le cas où a < μ.
Calculer 0,5 - p(a < X < μ), soit 0,5 - p(0,4 < X < 2) qui se calcule comme précédemment.
Résultat : 0,2969.
• Exemple 2 : p(X < 4,7).
On a : 4,7 > 2, on est dans le cas où a > μ.
Calculer 0,5 + p(μ < X < a), soit 0,5 + p(2 < X < 4,7) qui se calcule comme précédemment.
Résultat : 0, 8159.
► Calcul de p(X > a).
ATTENTION, pour p(X > a), il faut vérifier
:
- si a < μ, dans ce cas p(X > a) = 0,5 + p(a < X < μ) ;
- si a > μ, dans ce cas p(X > a) = 0,5 - p(μ < X < a).
- si a < μ, dans ce cas p(X > a) = 0,5 + p(a < X < μ) ;
- si a > μ, dans ce cas p(X > a) = 0,5 - p(μ < X < a).
• Exemple 1 : p(X > 0,4).
On a : 0,4 < 2, on est dans le cas où a < μ.
Calculer 0,5 + p(a < X < μ), soit 0,5 + p(0,4 < X < 2) qui se calcule comme précédemment.
Résultat : 0,2969.
• Exemple 2 : p(X > 4,7).
On a : 4,7 > 2, on est dans le cas où a > μ.
Calculer 0,5 - p(μ < X < a), soit 0,5 - p(2 < X < 4,7) qui se calcule comme précédemment.
Résultat : 0,18406.
► Calcul de p(X < x) = p.
C'est une loi à distribution de densité de
probabilité, donc p(X 
a) = p(X < a).
Il faut trouver un nombre x tel que sa
probabilité soit une valeur donnée p
(σ, μ connus). a) = p(X < a).
Exemple : p(X < x) = 0,63.
Dans le menu « distrib », choix 3 (Fracnormale). Écrire : Fracnormale(0.63,2,3) puis valider.
Résultat : 2,99556.
2. À partir d'une Casio Graph 35+
► Calcul de p(a < X < b).
Exemple : p(-5,5 < X < 2).
Touche menu, aller sur STATS, F5 pour DIST, choix F1 pour NORM, et F2 pour Ncd.
Donner la plus petite valeur (valider), la plus grande (valider), écrire 3 en σ (valider) et 2 en μ (valider) puis « execute » puis F1.
Résultat : 0,4937.
► Calcul de p(X = a).
p(X = a) = 0. C’est une loi de probabilité à densité.
► Calcul de p(X < a).
• Exemple 1 : p(X < 0,4).
On a : 0,4 < 2, on est dans le cas où a < μ.
Calculer 0,5 - p(a < X < μ), soit 0,5 - p(0,4 < X < 2) qui se calcule comme précédemment.
Résultat : 0,2969.
• Exemple 2 : p(X < 4,7).
On a : 4,7 > 2, on est dans le cas où a > μ.
Calculer 0,5 + p(μ < X < a), soit 0,5 + p(2 < X < 4,7) qui se calcule comme précédemment.
Résultat : 0,8159.
► Calcul de p(X > a).
• Exemple 1 : p(X > 0,4).
On a : 0,4 < 2, on est dans le cas où a < μ.
Calculer 0,5 + p(a < X < μ), soit 0,5 + p(0,4 < X < 2) qui se calcule comme précédemment.
Résultat : 0,2969.
• Exemple 2 : p(X > 4,7).
On a : 4,7 > 2, on est dans le cas où a > μ.
Calculer 0,5 - p(μ < X < a), soit 0,5 - p(2 < X < 4,7) qui se calcule comme précédemment.
Résultat : 0,18406.
► Calcul de p(X < x) = p.
Exemple : p(X < x) = 0,63.
Touche menu, aller sur STATS, F5 pour DIST, choix F1 pour NORM, et F3 pour InvN.
Écrire la valeur (valider), écrire 3 en σ (valider) et 2 en μ (valider) « execute » puis F1.
Résultat : 2,9956.
Exemple : p(-5,5 < X < 2).
Touche menu, aller sur STATS, F5 pour DIST, choix F1 pour NORM, et F2 pour Ncd.
Donner la plus petite valeur (valider), la plus grande (valider), écrire 3 en σ (valider) et 2 en μ (valider) puis « execute » puis F1.
Résultat : 0,4937.
► Calcul de p(X = a).
p(X = a) = 0. C’est une loi de probabilité à densité.
► Calcul de p(X < a).
ATTENTION, pour p(X > a), il faut vérifier
:
- si a < μ, dans ce cas p(X > a) = 0,5 - p(a < X < μ) ;
- si a > μ, dans ce cas p(X > a) = 0,5 + p(μ < X < a).
- si a < μ, dans ce cas p(X > a) = 0,5 - p(a < X < μ) ;
- si a > μ, dans ce cas p(X > a) = 0,5 + p(μ < X < a).
• Exemple 1 : p(X < 0,4).
On a : 0,4 < 2, on est dans le cas où a < μ.
Calculer 0,5 - p(a < X < μ), soit 0,5 - p(0,4 < X < 2) qui se calcule comme précédemment.
Résultat : 0,2969.
• Exemple 2 : p(X < 4,7).
On a : 4,7 > 2, on est dans le cas où a > μ.
Calculer 0,5 + p(μ < X < a), soit 0,5 + p(2 < X < 4,7) qui se calcule comme précédemment.
Résultat : 0,8159.
► Calcul de p(X > a).
ATTENTION, pour p(X > a), il faut vérifier
:
- si a < μ, dans ce cas p(X > a) = 0,5 + p(a < X < μ) ;
- si a > μ, dans ce cas p(X > a) = 0,5 - p(μ < X < a).
- si a < μ, dans ce cas p(X > a) = 0,5 + p(a < X < μ) ;
- si a > μ, dans ce cas p(X > a) = 0,5 - p(μ < X < a).
• Exemple 1 : p(X > 0,4).
On a : 0,4 < 2, on est dans le cas où a < μ.
Calculer 0,5 + p(a < X < μ), soit 0,5 + p(0,4 < X < 2) qui se calcule comme précédemment.
Résultat : 0,2969.
• Exemple 2 : p(X > 4,7).
On a : 4,7 > 2, on est dans le cas où a > μ.
Calculer 0,5 - p(μ < X < a), soit 0,5 - p(2 < X < 4,7) qui se calcule comme précédemment.
Résultat : 0,18406.
► Calcul de p(X < x) = p.
C'est une loi à distribution de densité de
probabilité, donc p(X a) =
p(X < a).
Il faut trouver un nombre x tel que sa
probabilité soit une valeur donnée p
(σ, μ connus). a) =
p(X < a).
Exemple : p(X < x) = 0,63.
Touche menu, aller sur STATS, F5 pour DIST, choix F1 pour NORM, et F3 pour InvN.
Écrire la valeur (valider), écrire 3 en σ (valider) et 2 en μ (valider) « execute » puis F1.
Résultat : 2,9956.
3. À partir d'une TI-Nspire
► Calcul de p(a < X < b).
Exemple : p(-5,5 < X < 2).
Appuyer sur menu, choix 5 probabilités, encore 5 Distributions, puis 2 NormalFDR.
Remplir avec les deux valeurs, puis celles de μ et σ valider.
Cela affiche : normCdf(−5.5,2,2,3).
Résultat : 0,4937.
► Calcul de p(X = a).
p(X = a) = 0. C’est une loi de probabilité à densité.
► Calcul de p(X < a).
• Exemple 1 : p(X < 0,4).
Il suffit d’écrire - ∞ pour la borne inférieure : normCdf(−∞,0.4,2,3).
Résultat : 0,2969.
• Exemple 2 : p(X < 4,7).
Il suffit d’écrire - ∞ pour la borne inférieure : normCdf(−∞,4.7,2,3).
Résultat : 0, 8159.
► Calcul de p(X > a).
• Exemple 1 : p(X > 0,4).
Il suffit d’écrire +∞ pour la borne supérieure : normCdf(0.4,+∞,2,3).
Résultat : 0,70309.
• Exemple 2 : p(X > 4,7).
Il suffit d’écrire +∞ pour la borne supérieure : normCdf(4.7,+∞,2,3).
Résultat : 0,18406.
► Calcul de p(X < x) = p.
Exemple : p(X < x) = 0,63.
Appuyer sur menu, choix 5 probabilités, encore 5 Distributions, puis 3 Inverse Normale. Remplir avec la valeur, ainsi que celles de σ, et μ, puis valider.
Cela affiche invNorm(0.63,2,3).
Résultat : 2,99556.
Exemple : p(-5,5 < X < 2).
Appuyer sur menu, choix 5 probabilités, encore 5 Distributions, puis 2 NormalFDR.
Remplir avec les deux valeurs, puis celles de μ et σ valider.
Cela affiche : normCdf(−5.5,2,2,3).
Résultat : 0,4937.
► Calcul de p(X = a).
p(X = a) = 0. C’est une loi de probabilité à densité.
► Calcul de p(X < a).
• Exemple 1 : p(X < 0,4).
Il suffit d’écrire - ∞ pour la borne inférieure : normCdf(−∞,0.4,2,3).
Résultat : 0,2969.
• Exemple 2 : p(X < 4,7).
Il suffit d’écrire - ∞ pour la borne inférieure : normCdf(−∞,4.7,2,3).
Résultat : 0, 8159.
► Calcul de p(X > a).
• Exemple 1 : p(X > 0,4).
Il suffit d’écrire +∞ pour la borne supérieure : normCdf(0.4,+∞,2,3).
Résultat : 0,70309.
• Exemple 2 : p(X > 4,7).
Il suffit d’écrire +∞ pour la borne supérieure : normCdf(4.7,+∞,2,3).
Résultat : 0,18406.
► Calcul de p(X < x) = p.
Exemple : p(X < x) = 0,63.
Appuyer sur menu, choix 5 probabilités, encore 5 Distributions, puis 3 Inverse Normale. Remplir avec la valeur, ainsi que celles de σ, et μ, puis valider.
Cela affiche invNorm(0.63,2,3).
Résultat : 2,99556.
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