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Loi normale centrée réduite N(0,1)

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Objectif(s)
• Connaître la fonction de densité de la loi normale N(0,1) et sa représentation graphique.
• Connaître une valeur approchée de la probabilité de l’événement { X [−1,96 ; 1,96]} lorsque X suit la loi normale N(0,1).

1. Lien entre la loi normale et la loi binomiale
En classe de première vous avez pu étudier la loi binomiale de paramètres (n ; p) dont on peut rappeler la définition :
Considérons une variable aléatoire X qui compte le nombre de réalisations du succès au cours des n épreuves. On dit que X suit une loi binomiale de paramètre n et p.
X peut donc prendre toutes les valeurs entières de 0 à n.

Son espérance vaut : ; sa variance :

et son écart-type : .

Lorsque n est très grand et que p est fixée entre 0 et 1, on peut dire que cette loi se comporte de la même manière qu'une loi normale, dont l'espérance est et la variance .
On peut ainsi écrire :



Sous ces conditions, si l'on centre (on lui retranche l'espérance) et que l'on réduit (on la divise par l'écart-type) Xn, la variable obtenue Zn suit une loi centrée réduite.



Ce sont Moivre et Laplace qui ont été les premiers a proposer un théorème :
Une variable aléatoire X suit la loi si suit la loi normale .

2. Définition
La loi normale centrée réduite N(0,1) sur est la loi d'une fonction de densité de probabilité .

Remarques : Il faut connaître la représentation graphique de cette fonction, savoir utiliser une calculatrice ou un logiciel de mathématiques pour obtenir les différentes probabilités recherchées.

Noter que : et que : .

3. Représentation graphique
Toute calculatrice ou logiciel mathématique permet d’obtenir la courbe représentative.

Dans un repère orthonormal, la courbe représentative de la fonction est une courbe de Gauss. On dit que c’est une courbe « en cloche ».

C’est une courbe symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.


4. Calculs et utilisation d'une calculatrice
La loi normale centrée réduite est une loi à densité de probabilité (connaître le cours sur les lois de probabilité à densité). On applique donc les règles connues, et on utilise la calculatrice pour les résultats.
Voir la fiche : Savoir utiliser la calculatrice pour représenter une loi normale centrée réduite.


5. Probabilité de l'évènement X appartient à [-1,96 ; 1,96]
En 1ère, il a été recherché un seuil de confiance aux échantillons collectés.
Pour la loi binomiale, des tables permettent de donner, au seuil de confiance de 95 %, un avis sur les échantillons produits. Ce qui permet d’accepter ou rejeter une hypothèse sur une population.

De même, avec la loi normale centrée réduite N(0,1), on constate (avec l'aide d'une calculatrice) :
p(1,96 < X < 1,96) = 0,950004.

On en déduit que la probabilité qu’un événement X, suivant une loi normale centrée réduite N(0,1), soit dans l’intervalle [1,96 ; 1,96] est pratiquement de 95 %.

Remarques
Cette propriété nous sera utile pour les prises de décisions concernant des tests de qualité : pièces défectueuses, mise en place d’une série de vaccination, acceptation de théories sociales telle que l'acceptation ou le rejet d'hypothèses concernant une population etc ...


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