Loi normale centrée réduite N(0,1)
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• Connaître une valeur approchée de la probabilité de l’événement { X
[−1,96 ; 1,96]} lorsque X suit la loi
normale N(0,1).X peut donc prendre toutes les valeurs entières de 0 à n.
Son espérance vaut :
; sa variance : 
et son écart-type :
.
Lorsque n est très grand et que p est fixée entre 0 et 1, on peut dire que cette loi se comporte de la même manière qu'une loi normale, dont l'espérance est
et
la variance 
.On peut ainsi écrire :
Sous ces conditions, si l'on centre (on lui retranche l'espérance) et que l'on réduit (on la divise par l'écart-type) Xn, la variable obtenue Zn suit une loi centrée réduite.
Ce sont Moivre et Laplace qui ont été les premiers a proposer un théorème :
si 
suit la loi normale 
.
est
la loi d'une fonction de densité de
probabilité 
.
Remarques : Il faut connaître la représentation graphique de cette fonction, savoir utiliser une calculatrice ou un logiciel de mathématiques pour obtenir les différentes probabilités recherchées.
Noter que :
et
que : 
.Dans un repère orthonormal, la courbe représentative de la fonction est une courbe de Gauss. On dit que c’est une courbe « en cloche ».
C’est une courbe symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
Voir la fiche : Savoir utiliser la calculatrice pour représenter une loi normale centrée réduite.
Pour la loi binomiale, des tables permettent de donner, au seuil de confiance de 95 %, un avis sur les échantillons produits. Ce qui permet d’accepter ou rejeter une hypothèse sur une population.
De même, avec la loi normale centrée réduite N(0,1), on constate (avec l'aide d'une calculatrice) :
p(1,96 < X < 1,96) = 0,950004.
Remarques
Cette propriété nous sera utile pour les prises de décisions concernant des tests de qualité : pièces défectueuses, mise en place d’une série de vaccination, acceptation de théories sociales telle que l'acceptation ou le rejet d'hypothèses concernant une population etc ...
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