Fonction convexe et fonction concave sur un intervalle
Objectif(s)
• Reconnaître graphiquement les fonctions
convexes et concaves.
• Utiliser le lien entre convexité et sens de variation de la dérivée.
• Reconnaître graphiquement un point d’inflexion.
• Croissance comparée et positions relatives des courbes représentatives des fonctions :
• Utiliser le lien entre convexité et sens de variation de la dérivée.
• Reconnaître graphiquement un point d’inflexion.
• Croissance comparée et positions relatives des courbes représentatives des fonctions :
Rappel : on considère que toute fonction
(définie) dérivable sur un intervalle est
continue sur cet intervalle.
1. Définitions : fonction convexe, fonction
concave
• Une fonction f, définie, dérivable
(donc continue) sur un intervalle I est convexe
sur I si sa représentation graphique est
entièrement située au-dessus de chacune
de ses tangentes.
• Une fonction f, définie, dérivable (donc continue) sur un intervalle I est concave sur I si sa représentation graphique est entièrement située en-dessous de chacune de ses tangentes.
• Une fonction f, définie, dérivable (donc continue) sur un intervalle I est concave sur I si sa représentation graphique est entièrement située en-dessous de chacune de ses tangentes.
Exemples
• La fonction carrée
est une fonction convexe sur 
:
• La fonction racine carrée
est une fonction concave sur 
:
• La fonction cube
est concave sur 
et convexe sur 
:
2. Reconnaître une fonction convexe et une
fonction concave
Pour une fonction f définie dérivable sur
un intervalle I, f ’ sa fonction
dérivée.
• f est convexe sur I si et seulement si sa dérivée f ’ est croissante sur I.
• f est concave sur I si et seulement si sa dérivée f ’ est décroissante sur I.
• f est convexe sur I si et seulement si sa dérivée f ’ est croissante sur I.
• f est concave sur I si et seulement si sa dérivée f ’ est décroissante sur I.
Remarque : une fonction est croissante lorsque sa dérivée est positive. Il apparaît donc logique de s’intéresser au signe de la dérivée de f ’(x).
3. Propriétés
a. Définition de la dérivée
seconde d'une fonction
Soit f dérivable sur I, dont la fonction
dérivée f ’ sur cet intervalle est
dérivable, on appelle fonction
dérivée seconde de f sur I la
dérivée de f ’.
Notation :
.
Notation :
.
Exemple : soit
définie sur 
. Sa dérivée est
définie sur 
, alors sa dérivée
seconde, définie sur 
, s’écrit :
.
b. Propriétés des fonctions convexe et
concave
• Si f ’’(x) 
0 sur I, alors f est convexe sur I.
On remarquera que dans ce cas puisque la
dérivée de la dérivée est
positive cela veut dire que la dérivée est
croissante, donc le coefficient directeur des tangentes
augmente de plus en plus, la croissance de la fonction
est donc de plus en plus forte. 0 sur I, alors f est convexe sur I.
• Si f ’’(x) 
0 sur I, alors f est
concave sur I.
On remarquera que dans ce cas puisque la
dérivée de la dérivée est
négative cela veut dire que la
dérivée est décroissante, donc le
coefficient directeur des tangentes devient de plus en
plus faible, la croissance de la fonction est donc de
moins en moins forte. 0 sur I, alors f est
concave sur I.
Exemple : Soit
définie sur 
. Sa dérivée
première est 
et sa dérivée
seconde : 
avec 
pour x = 1.D’où le tableau de variations, de signe de la dérivée seconde et de convexité de la fonction :
On remarquera que la convexité change pour x = 1. Au point
, la courbe traverse sa tangente
(elle passe dessous alors qu'elle était
située au-dessus de la tangente).Sa représentation graphique :
4. Définition et propriété du point
d'inflexion
Un point d’inflexion est un point où
la représentation graphique d’une fonction
coupe sa tangente (et donc change de convexité).
Soit f une fonction définie sur I, deux fois
dérivable sur I et soit a un réel de I.
Si f ’’ s’annule pour a et change de signe, alors la représentation graphique de f admet un point d’inflexion de coordonnées (a ; f(a)).
Si f ’’ s’annule pour a et change de signe, alors la représentation graphique de f admet un point d’inflexion de coordonnées (a ; f(a)).
Dans l’exemple précédent, la représentation graphique de f admet un point d’inflexion au point
.
5. Convexité et croissance comparée
a. Exemple
Sur l’intervalle I = [1 ; +∞[, les fonctions
et 
sont définies dérivables deux
fois.
et 
qui est strictement
négative sur I.
f ’’(x) strictement négative, f ’(x) strictement décroissante. Donc la fonction est concave, toujours située en dessous de ses tangentes, avec une pente de plus en plus faible.
et 
.
Comme 1 < x nous avons g’’(x) strictement positive, g’(x) strictement croissante. Donc g est convexe, située au-dessus de toutes ses tangentes, avec une pente de plus en plus forte.
De plus, f(1) = g(1) = 1. On peut donc en conclure que pour 1 < x, on aura f(x) < g(x).
Ce que l'on constate sur la représentation graphique ci-contre :
Remarque : pour le point suivant il est nécessaire d’avoir étudié les fonctions logarithme et exponentielle.
et sont définies dérivables deux
fois. et qui est strictement
négative sur I.f ’’(x) strictement négative, f ’(x) strictement décroissante. Donc la fonction est concave, toujours située en dessous de ses tangentes, avec une pente de plus en plus faible.
et .Comme 1 < x nous avons g’’(x) strictement positive, g’(x) strictement croissante. Donc g est convexe, située au-dessus de toutes ses tangentes, avec une pente de plus en plus forte.
De plus, f(1) = g(1) = 1. On peut donc en conclure que pour 1 < x, on aura f(x) < g(x).
Ce que l'on constate sur la représentation graphique ci-contre :
Remarque : pour le point suivant il est nécessaire d’avoir étudié les fonctions logarithme et exponentielle.
b. Croissance comparée et positions relatives
des courbes représentatives des fonctions x,
logarithme et exponentielle
• La fonction 
est définie sur
et est deux fois
dérivable : 
et 
. Cette fonction n’est ni convexe ni concave (ou les deux
si l’on veut). La pente de ses tangentes est
constante et vaut 1.
• La fonction
est définie sur [0
; +∞[, deux fois dérivable : 
et 
.
Cette fonction est concave, toujours située en-dessous de ses tangentes, avec une pente de plus en plus faible.
Au point d’abscisse x = 1, l’équation réduite de sa tangente est y = x - 1. Donc en-dessous de la droite y = x.
On peut en conclure que la courbe représentative de la fonction ln est toujours en-dessous de la droite y = x.
• La fonction
est définie sur 
, deux fois dérivable :
et 
.
Cette fonction est convexe, toujours située au-dessus de ses tangentes, avec une pente de plus en plus forte. Au point d’abscisse x = 0, l’équation réduite de sa tangente est y = x + 1. Donc au-dessus de la droite y = x.
On peut en conclure que la courbe représentative de la fonction ex est toujours au-dessus de la droite y = x.
Le schéma ci-dessous permet de visualiser tout ce qui vient d'être énoncé :
est définie sur
et est deux fois
dérivable : et . Cette fonction n’est ni convexe ni concave (ou les deux
si l’on veut). La pente de ses tangentes est
constante et vaut 1.• La fonction
est définie sur [0
; +∞[, deux fois dérivable : et .Cette fonction est concave, toujours située en-dessous de ses tangentes, avec une pente de plus en plus faible.
Au point d’abscisse x = 1, l’équation réduite de sa tangente est y = x - 1. Donc en-dessous de la droite y = x.
On peut en conclure que la courbe représentative de la fonction ln est toujours en-dessous de la droite y = x.
• La fonction
est définie sur , deux fois dérivable :
et .Cette fonction est convexe, toujours située au-dessus de ses tangentes, avec une pente de plus en plus forte. Au point d’abscisse x = 0, l’équation réduite de sa tangente est y = x + 1. Donc au-dessus de la droite y = x.
On peut en conclure que la courbe représentative de la fonction ex est toujours au-dessus de la droite y = x.
Le schéma ci-dessous permet de visualiser tout ce qui vient d'être énoncé :
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