Fonction convexe et fonction concave sur un intervalle
• Utiliser le lien entre convexité et sens de variation de la dérivée.
• Reconnaître graphiquement un point d’inflexion.
• Croissance comparée et positions relatives des courbes représentatives des fonctions :

• Une fonction f, définie, dérivable (donc continue) sur un intervalle I est concave sur I si sa représentation graphique est entièrement située en-dessous de chacune de ses tangentes.
Exemples
• La fonction carrée


• La fonction racine carrée



• La fonction cube




• f est convexe sur I si et seulement si sa dérivée f ’ est croissante sur I.
• f est concave sur I si et seulement si sa dérivée f ’ est décroissante sur I.
Remarque : une fonction est croissante lorsque sa dérivée est positive. Il apparaît donc logique de s’intéresser au signe de la dérivée de f ’(x).
Notation :

Exemple : soit








Exemple : Soit





D’où le tableau de variations, de signe de la dérivée seconde et de convexité de la fonction :

On remarquera que la convexité change pour x = 1. Au point

Sa représentation graphique :

Si f ’’ s’annule pour a et change de signe, alors la représentation graphique de f admet un point d’inflexion de coordonnées (a ; f(a)).
Dans l’exemple précédent, la représentation graphique de f admet un point d’inflexion au point





f ’’(x) strictement négative, f ’(x) strictement décroissante. Donc la fonction est concave, toujours située en dessous de ses tangentes, avec une pente de plus en plus faible.


Comme 1 < x nous avons g’’(x) strictement positive, g’(x) strictement croissante. Donc g est convexe, située au-dessus de toutes ses tangentes, avec une pente de plus en plus forte.
De plus, f(1) = g(1) = 1. On peut donc en conclure que pour 1 < x, on aura f(x) < g(x).
Ce que l'on constate sur la représentation graphique ci-contre :

Remarque : pour le point suivant il est nécessaire d’avoir étudié les fonctions logarithme et exponentielle.




• La fonction



Cette fonction est concave, toujours située en-dessous de ses tangentes, avec une pente de plus en plus faible.
Au point d’abscisse x = 1, l’équation réduite de sa tangente est y = x - 1. Donc en-dessous de la droite y = x.
On peut en conclure que la courbe représentative de la fonction ln est toujours en-dessous de la droite y = x.
• La fonction




Cette fonction est convexe, toujours située au-dessus de ses tangentes, avec une pente de plus en plus forte. Au point d’abscisse x = 0, l’équation réduite de sa tangente est y = x + 1. Donc au-dessus de la droite y = x.
On peut en conclure que la courbe représentative de la fonction ex est toujours au-dessus de la droite y = x.
Le schéma ci-dessous permet de visualiser tout ce qui vient d'être énoncé :

Teste dès maintenant tes nouvelles connaissances dans notre quiz
Quiz sur le cours ‘Fonction convexe et fonction concave sur un intervalle’ – mathématiques
Réussis ton année de terminale générale avec le soutien scolaire en ligne Maxicours ! Teste tes connaissances avec notre quiz de mathématiques sur le cours intitulé ‘Fonction convexe et fonction concave sur un intervalle’. Réponds à l’ensemble des questions et vérifie ton taux de bonnes réponses. Tu peux même recevoir par e-mail les réponses détaillées avec les rappels de cours en nous laissant ton adresse !

Fiches de cours les plus recherchées


Des profs en ligne
- 6 j/7 de 17 h à 20 h
- Par chat, audio, vidéo
- Sur les matières principales

Des ressources riches
- Fiches, vidéos de cours
- Exercices & corrigés
- Modules de révisions Bac et Brevet

Des outils ludiques
- Coach virtuel
- Quiz interactifs
- Planning de révision

Des tableaux de bord
- Suivi de la progression
- Score d’assiduité
- Un compte Parent