Parabole représentative d'une fonction polynôme de degré 2
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- Représentation graphique d'une fonction polynôme du second degré.
- Déterminer l'axe ou les axes de symétrie d'une fonction polynôme du second degré.
- Déterminer le sommet d'une parabole représentative d'une fonction polynôme du second degré.
La représentation graphique d'une fonction
polynôme du second degré définie
sur 
par 
(avec a un réel non
nul, b et c deux
réels) est une parabole.
- Cette parabole admet un axe de symétrie vertical
d'équation
.
- Le sommet de la parabole est le point de la parabole
d'abscisse .
- Les branches de la paraboles sont tournées vers
le haut lorsque
(le sommet est alors un minimum) et vers le bas
lorsque 
(le sommet est alors un maximum).
Si la fonction est donnée sous sa forme
canonique 
, alors :
- La parabole admet pour axe de symétrie la droite
d’équation
.
- Le sommet de la parabole est le point de
coordonnées
.
- Une fonction polynôme du second degré
est une fonction
définie sur R par , avec a un réel
non nul, b et c deux
réels.
- Une fonction polynôme du second degré
peut s'écrire sous forme canonique
:
, avec
a un réel non nul, b et c
deux réels.
- La fonction f définie
par
est une fonction du second degré. On
identifie les coefficients : 
.
- La fonction g définie
par
est une fonction du second
degré. On identifie les
coefficients : 
.
Une fonction du second degré peut s'écrire sous plusieurs formes. On appelle forme développée la forme
. La
forme 
est la forme
factorisée.
Elle a pour équation
, avec a un réel non nul, b
et c deux réels.
dépend du signe de a :
- si
alors les branches de la parabole sont
tournées vers le haut ;
- si
alors les branches de la parabole sont
tournées vers le bas.
, alors que lorsqu'on est négatif, on fait la
moue 
.
On peut déterminer les coordonnées de ce sommet, par le calcul ou par lecture graphique.
Le sommet S de la parabole est le point de la parabole d'abscisse
et d'ordonnée 
.
par 
dans 
.
La parabole d’équation
a pour sommet le
point 
d’abscisse 
.Son ordonnée vaut
. Ainsi 
.Elle est tournée vers le haut car
.Exemple 2
La parabole d’équation
a pour sommet le
point 
d’abscisse 
.Son ordonnée vaut
. Ainsi 
.Elle est tournée vers le bas car
.
On va étudier la fonction f définie sur l'intervalle [-1 ; 4] par
.Ici
.Un tableau de valeurs obtenu avec la calculatrice est :
| x | –1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| f(x) | 5 | 1 | –1 | –1 | 1 | 5 |
.Sur le graphique ci-dessous, on lit les coordonnées du curseur X = 1,5 et Y = –1,25. Ce sont les coordonnées du sommet de la parabole : S(1,5 ; –1,25).
On va étudier la fonction g définie sur l'intervalle [-2 ; 6] par
. Ici 
.Un tableau de valeurs obtenu avec la calculatrice est :
| x | –2 | –1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| g(x) | –3 | 0,5 | 3 | 4,5 | 5 | 4,5 | 3 | 0,5 | –3 |
D'après ce tableau on peut lire
que 
.
Sur le graphique ci-dessous, on lit les
coordonnées du curseur X = 2 et
Y = 5. Ce sont les coordonnées du
sommet de la parabole : S(2 ; 5).
Si un nombre réel m a deux antécédents n et p par la fonction f alors l’abscisse du sommet S de la parabole qui représente la fonction f est :
.
Soit P la parabole de sommet S d’abscisse 1, représentant graphiquement une fonction polynôme de second degré f . 6 admet par f un antécédent égal à 3. L’autre antécédent de 6 par la fonction f est n tel que :
.
On a vu au paragraphe précédent que le sommet de la parabole avait pour abscisse
. L'axe de symétrie de la parabole passe donc par ce sommet.
La parabole représentative de la fonction f définie sur l'intervalle [-1 ; 4] par
admet un axe de symétrie
vertical d'équation 
.
La parabole représentative de la fonction g définie sur l'intervalle [-2 ; 6] par
admet un axe de symétrie
vertical d'équation 
.
(positif)
La valeur en laquelle le minimum est atteint est
.
Le minimum vaut 
.
On reprend la fonction f de l'exemple 1 et on obtient le tableau de variation suivant :
On dit que f admet un minimum égal à –1,25 pour x = 1,5. En effet :
.
(négatif)
La valeur en laquelle le maximum est atteint est
.
Le maximum vaut 
.
On reprend la fonction g de l'exemple 2 et on obtient le tableau de variation suivant :
On dit que g admet un maximum égal à 5 pour x = 2. En effet :
Si la fonction du second degré est donnée
par sa forme canonique ,
alors :
- La parabole admet pour axe de symétrie la
droite d’équation .
- Le sommet de la parabole est le point de
coordonnées .
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