Parabole représentative d'une fonction polynôme de degré 2
- Fiche de cours
- Quiz et exercices
- Vidéos et podcasts
- Représentation graphique d'une fonction polynôme du second degré.
- Déterminer l'axe ou les axes de symétrie d'une fonction polynôme du second degré.
- Déterminer le sommet d'une parabole représentative d'une fonction polynôme du second degré.
La représentation graphique d'une fonction
polynôme du second degré définie
sur par
(avec a un réel non
nul, b et c deux
réels) est une parabole.
- Cette parabole admet un axe de symétrie vertical
d'équation
.
- Le sommet de la parabole est le point de la parabole
d'abscisse
.
- Les branches de la paraboles sont tournées vers
le haut lorsque
(le sommet est alors un minimum) et vers le bas lorsque
(le sommet est alors un maximum).
Si la fonction est donnée sous sa forme
canonique , alors :
- La parabole admet pour axe de symétrie la droite
d’équation
.
- Le sommet de la parabole est le point de
coordonnées
.
- Une fonction polynôme du second degré
est une fonction
définie sur R par
, avec a un réel non nul, b et c deux réels.
- Une fonction polynôme du second degré
peut s'écrire sous forme canonique
:

- La fonction f définie
par
est une fonction du second degré. On identifie les coefficients :
.
- La fonction g définie
par
est une fonction du second degré. On identifie les coefficients :
.
Une fonction du second degré peut s'écrire sous plusieurs formes. On appelle forme développée la forme


Elle a pour équation


- si
alors les branches de la parabole sont tournées vers le haut ;
- si
alors les branches de la parabole sont tournées vers le bas.


On peut déterminer les coordonnées de ce sommet, par le calcul ou par lecture graphique.
Le sommet S de la parabole est le point de la parabole d'abscisse





La parabole d’équation



Son ordonnée vaut


Elle est tournée vers le haut car

Exemple 2
La parabole d’équation



Son ordonnée vaut


Elle est tournée vers le bas car


On va étudier la fonction f définie sur l'intervalle [-1 ; 4] par

Ici

Un tableau de valeurs obtenu avec la calculatrice est :
x | –1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
f(x) | 5 | 1 | –1 | –1 | 1 | 5 |

Sur le graphique ci-dessous, on lit les coordonnées du curseur X = 1,5 et Y = –1,25. Ce sont les coordonnées du sommet de la parabole : S(1,5 ; –1,25).

On va étudier la fonction g définie sur l'intervalle [-2 ; 6] par


Un tableau de valeurs obtenu avec la calculatrice est :
x | –2 | –1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
g(x) | –3 | 0,5 | 3 | 4,5 | 5 | 4,5 | 3 | 0,5 | –3 |
D'après ce tableau on peut lire
que .
Sur le graphique ci-dessous, on lit les
coordonnées du curseur X = 2 et
Y = 5. Ce sont les coordonnées du
sommet de la parabole : S(2 ; 5).

Si un nombre réel m a deux antécédents n et p par la fonction f alors l’abscisse du sommet S de la parabole qui représente la fonction f est :

Soit P la parabole de sommet S d’abscisse 1, représentant graphiquement une fonction polynôme de second degré f . 6 admet par f un antécédent égal à 3. L’autre antécédent de 6 par la fonction f est n tel que :


On a vu au paragraphe précédent que le sommet de la parabole avait pour abscisse

L'axe de symétrie de la parabole passe donc par ce sommet.

La parabole représentative de la fonction f définie sur l'intervalle [-1 ; 4] par



La parabole représentative de la fonction g définie sur l'intervalle [-2 ; 6] par





La valeur en laquelle le minimum est atteint est


On reprend la fonction f de l'exemple 1 et on obtient le tableau de variation suivant :

On dit que f admet un minimum égal à –1,25 pour x = 1,5. En effet :



La valeur en laquelle le maximum est atteint est


On reprend la fonction g de l'exemple 2 et on obtient le tableau de variation suivant :

On dit que g admet un maximum égal à 5 pour x = 2. En effet :

Si la fonction du second degré est donnée
par sa forme canonique ,
alors :
- La parabole admet pour axe de symétrie la
droite d’équation
.
- Le sommet de la parabole est le point de
coordonnées
.
Des quiz et exercices pour mieux assimiler sa leçon
La plateforme de soutien scolaire en ligne myMaxicours propose des quiz et exercices en accompagnement de chaque fiche de cours. Les exercices permettent de vérifier si la leçon est bien comprise ou s’il reste encore des notions à revoir.
Des exercices variés pour ne pas s’ennuyer
Les exercices se déclinent sous toutes leurs formes sur myMaxicours ! Selon la matière et la classe étudiées, retrouvez des dictées, des mots à relier ou encore des phrases à compléter, mais aussi des textes à trous et bien d’autres formats !
Dans les classes de primaire, l’accent est mis sur des exercices illustrés très ludiques pour motiver les plus jeunes.
Des quiz pour une évaluation en direct
Les quiz et exercices permettent d’avoir un retour immédiat sur la bonne compréhension du cours. Une fois toutes les réponses communiquées, le résultat s’affiche à l’écran et permet à l’élève de se situer immédiatement.
myMaxicours offre des solutions efficaces de révision grâce aux fiches de cours et aux exercices associés. L’élève se rassure pour le prochain examen en testant ses connaissances au préalable.
Des vidéos et des podcasts pour apprendre différemment
Certains élèves ont une mémoire visuelle quand d’autres ont plutôt une mémoire auditive. myMaxicours s’adapte à tous les enfants et adolescents pour leur proposer un apprentissage serein et efficace.
Découvrez de nombreuses vidéos et podcasts en complément des fiches de cours et des exercices pour une année scolaire au top !
Des podcasts pour les révisions
La plateforme de soutien scolaire en ligne myMaxicours propose des podcasts de révision pour toutes les classes à examen : troisième, première et terminale.
Les ados peuvent écouter les différents cours afin de mieux les mémoriser en préparation de leurs examens. Des fiches de cours de différentes matières sont disponibles en podcasts ainsi qu’une préparation au grand oral avec de nombreux conseils pratiques.
Des vidéos de cours pour comprendre en image
Des vidéos de cours illustrent les notions principales à retenir et complètent les fiches de cours. De quoi réviser sa prochaine évaluation ou son prochain examen en toute confiance !
