Parabole représentative d'une fonction polynôme de degré 2 - Maxicours

Parabole représentative d'une fonction polynôme de degré 2

Objectifs
  • Représentation graphique d'une fonction polynôme du second degré.
  • Déterminer l'axe ou les axes de symétrie d'une fonction polynôme du second degré.
  • Déterminer le sommet d'une parabole représentative d'une fonction polynôme du second degré.
Points clés

La représentation graphique d'une fonction polynôme du second degré définie sur  par  (avec a un réel non nul, b et c deux réels) est une parabole.

  • Cette parabole admet un axe de symétrie vertical d'équation  .
  • Le sommet de la parabole est le point de la parabole d'abscisse .
  • Les branches de la paraboles sont tournées vers le haut lorsque   (le sommet est alors un minimum) et vers le bas lorsque  (le sommet est alors un maximum).

Si la fonction est donnée sous sa forme canonique , alors :

  • La parabole admet pour axe de symétrie la droite d’équation .
  • Le sommet de la parabole est le point de coordonnées .
Pour bien comprendre
  • Une fonction polynôme du second degré est une fonction définie sur R par , avec a un réel non nul, b et c deux réels.
  • Une fonction polynôme du second degré peut s'écrire sous forme canonique : 
1. Fonction polynôme de degré 2 - rappel
Une fonction (polynôme) du second degré est une fonction qui peut s'écrire sous la forme , avec a un réel non nul, b et c deux réels.
Exemples 
  • La fonction f définie par  est une fonction du second degré. On identifie les coefficients : .
  • La fonction g définie par  est une fonction du second degré. On identifie les coefficients : .
Remarque
Une fonction du second degré peut s'écrire sous plusieurs formes. On appelle forme développée la forme . La forme  est la forme factorisée.
2. Représentation graphique
La courbe représentative d'une fonction du second degré est une parabole.
Elle a pour équation , avec a un réel non nul, b et c deux réels.
a. Allure de la parabole
L'allure de la parabole d'équation  dépend du signe de a :
  • si  alors les branches de la parabole sont tournées vers le haut ;
  • si  alors les branches de la parabole sont tournées vers le bas.
Moyen mnémotechnique : lorsqu'on est positif, on sourit , alors que lorsqu'on est négatif, on fait la moue .
b. Sommet de la parabole
Une parabole admet un sommet qui est soit un minimum, soit un maximum.
On peut déterminer les coordonnées de ce sommet, par le calcul ou par lecture graphique.
Par le calcul
Propriété
Le sommet S de la parabole est le point de la parabole d'abscisse  et d'ordonnée .
Remarque : Il n'est pas nécessaire de retenir la formule pour l'ordonnée, elle s’obtient facilement en remplaçant  par  dans .
Exemple 1
La parabole d’équation a pour sommet le point  d’abscisse .
Son ordonnée vaut . Ainsi .
Elle est tournée vers le haut car .

Exemple 2

La parabole d’équation a pour sommet le point  d’abscisse .
Son ordonnée vaut . Ainsi .
Elle est tournée vers le bas car .

Par lecture graphique
Exemple 1
On va étudier la fonction f définie sur l'intervalle [-1 ; 4] par .
Ici .
Un tableau de valeurs obtenu avec la calculatrice est :
x –1 0 1 2 3 4
f(x) 5 1 –1 –1 1 5
D'après ce tableau on peut lire que .

Sur le graphique ci-dessous, on lit les coordonnées du curseur X = 1,5 et Y = –1,25. Ce sont les coordonnées du sommet de la parabole : S(1,5 ; –1,25).
Exemple 2
On va étudier la fonction g définie sur l'intervalle [-2 ; 6] par . Ici .
Un tableau de valeurs obtenu avec la calculatrice est :
x –2 –1 0 1 2 3 4 5 6
g(x) –3 0,5 3 4,5 5 4,5 3 0,5 –3

D'après ce tableau on peut lire que .

Sur le graphique ci-dessous, on lit les coordonnées du curseur X = 2 et Y = 5. Ce sont les coordonnées du sommet de la parabole : S(2 ; 5).

 
Propriété
Si un nombre réel m a deux antécédents n et p par la fonction f alors l’abscisse du sommet S de la parabole qui représente la fonction est : .
Il est donc possible, connaissant le sommet et un antécédent, de déterminer le second antécédent.
Exemple
Soit P la parabole de sommet S d’abscisse 1, représentant graphiquement une fonction polynôme de second degré f . 6 admet par f  un antécédent égal à 3. L’autre antécédent de 6 par la fonction f est n tel que : 
c. Axe de symétrie
La parabole admet un axe de symétrie vertical d'équation  .
Remarque
On a vu au paragraphe précédent que le sommet de la parabole avait pour abscisse 
L'axe de symétrie de la parabole passe donc par ce sommet.
Exemple 1 : cas où 
La parabole représentative de la fonction f définie sur l'intervalle [-1 ; 4] par  admet un axe de symétrie vertical d'équation .

Exemple 2 : cas où 
La parabole représentative de la fonction g définie sur l'intervalle [-2 ; 6] par admet un axe de symétrie vertical d'équation .
3. Tableau de variation
Lorsque  (positif)

La valeur en laquelle le minimum est atteint est . Le minimum vaut .
Exemple 1
On reprend la fonction f de l'exemple 1 et on obtient le tableau de variation suivant :

On dit que f admet un minimum égal à –1,25 pour x = 1,5. En effet : .
 
Lorsque  (négatif)

La valeur en laquelle le maximum est atteint est . Le maximum vaut .
Exemple 2
On reprend la fonction g de l'exemple 2 et on obtient le tableau de variation suivant :

On dit que g admet un maximum égal à 5 pour x = 2. En effet : 
4. Forme canonique

Si la fonction du second degré est donnée par sa forme canonique , alors :

  • La parabole admet pour axe de symétrie la droite d’équation .
  • Le sommet de la parabole est le point de coordonnées .

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