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Suites géométriques

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Objectif(s)

Définition - Représentation graphique - Calcul du terme de rang n - Sens de variation - Suite géométrique et variation relative

1. Définition

Exemple
Soit la suite de nombres U₀ = 2 ; U₁ = 6 ; U₂ = 18 ; U₃ = 54 ; U₄ = 162 ; U₅ = 486...
On remarque que l'on passe d'un terme à son suivant en multipliant par 3. On pourrait écrire la relation de récurrence suivante :

avec U₀ = 2.

Définition
Une suite géométrique est une suite où l'on passe d'un terme à son suivant en multipliant toujours par le même nombre q appelé la raison.

Exemple
Calculer les premiers termes d'une suite géométrique de raison - 2 et de premier terme U₀ = 1.

...

2. Terme de rang n d'une suite géométrique

Par définition, on passe d'un terme à son suivant en multipliant toujours par le même nombre q (raison).

donc

...

donc

Terme de rang n :
Si une suite (Un) est géométrique de raison q et de premier terme U_o alors

Exemples
• La suite géométrique de premier terme U₀ = 10 et de raison 4 peut s'écrire de manière explicite :

.
• Soit une somme de 2 000 € placée à intérêts composés de 4 %. Calculer la somme obtenue au bout de 10 ans.

Si U₀ est la somme initiale alors la somme obtenue au bout d'un an est :

.

Au bout de 2 ans :

.

Au bout de 3 ans :

.

(Un) est une suite géométrique de raison 1,04 donc

.

Au bout de 10 ans :

€.

3. Sens de variation d'une suite géométrique

D'après la définition du sens de variation d'une suite, celui d'une suite géométrique va dépendre du signe de sa raison q et de son premier terme U_o :
• Si q > 1 et : U₀ > 0 alors la suite géométrique est croissante
U₀ < 0 alors la suite géométrique est décroissante.
• Si o < q < 1 et : U₀ > 0 alors la suite géométrique est décroissante
U₀ < 0 alors la suite géométrique est croissante.
• Si q < 0 alors la suite géométrique n'est ni croissante ni décroissante.
• Si q = 1 alors la suite géométrique est constante : U_n = U₀.

Exemples
• Si une suite géométrique est de raison 4 alors :
elle est croissante si U₀ = 1 ; U₁ = 4 ; U₂ = 16 ; U₃ = 64...
elle est décroissante si U₀ = -1 ; U₁ = -4 ; U₂ = -16 ; U₃ = -64...

• Si une suite géométrique est de raison

alors :

elle est décroissante si U₀ = 3 ;

;

...

elle est croissante si U₀ = -3 ;

;

...

• Si une suite géométrique est de raison -3 alors elle n'est ni croissante ni décroissante quelque soit le premier terme :
U₀ = 1 ; U₁ = -3 ; U₂ = 9 ; U₃ = -27 ...
Les termes sont alternativement positifs puis négatifs.

4. Représentation graphique d'une suite géométrique

Exemple
Soit (U_n) une suite géométrique de raison 3 et de premier terme U₀ = 1.
U₁ = 3 ; U₂ = 9 ; U₃ = 27...