Suites géométriques - Maxicours

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Suites géométriques

Objectif(s)
Définition - Représentation graphique - Calcul du terme de rang n - Sens de variation - Suite géométrique et variation relative
1. Définition
Exemple
Soit la suite de nombres U0 = 2 ; U1 = 6 ; U2 = 18 ; U3 = 54 ; U4 = 162 ; U5 = 486...
On remarque que l'on passe d'un terme à son suivant en multipliant par 3. On pourrait écrire la relation de récurrence suivante :
avec U0 = 2.

Définition
Une suite géométrique est une suite où l'on passe d'un terme à son suivant en multipliant toujours par le même nombre q appelé la raison.


Exemple
Calculer les premiers termes d'une suite géométrique de raison - 2 et de premier terme U0 = 1.




...

2. Terme de rang n d'une suite géométrique
Par définition, on passe d'un terme à son suivant en multipliant toujours par le même nombre q (raison).



    donc   

    donc   
...
            donc    .

Terme de rang n :
Si une suite (Un) est géométrique de raison q et de premier terme Uo alors .

Exemples
• La suite géométrique de premier terme U0 = 10 et de raison 4 peut s'écrire de manière explicite : .
• Soit une somme de 2 000 € placée à intérêts composés de 4 %. Calculer la somme obtenue au bout de 10 ans.

Si U0 est la somme initiale alors la somme obtenue au bout d'un an est :
.

Au bout de 2 ans :
.

Au bout de 3 ans :
.

(Un) est une suite géométrique de raison 1,04 donc .

Au bout de 10 ans : €.
3. Sens de variation d'une suite géométrique
D'après la définition du sens de variation d'une suite, celui d'une suite géométrique va dépendre du signe de sa raison q et de son premier terme Uo :
• Si q > 1 et : U0 > 0 alors la suite géométrique est croissante
                     U0 < 0 alors la suite géométrique est décroissante.
• Si o < q < 1 et : U0 > 0 alors la suite géométrique est décroissante
                          U0 < 0 alors la suite géométrique est croissante.
• Si q < 0 alors la suite géométrique n'est ni croissante ni décroissante.
• Si q = 1 alors la suite géométrique est constante : Un = U0.

Exemples
• Si une suite géométrique est de raison 4 alors :
elle est croissante si U0 = 1 ; U1 = 4 ; U2 = 16 ; U3 = 64...
elle est décroissante si U0 = -1 ; U1 = -4 ; U2 = -16 ; U3 = -64...

• Si une suite géométrique est de raison alors :

elle est décroissante si U0 = 3 ; ; ; ...

elle est croissante si U0 = -3 ; ; ; ...

• Si une suite géométrique est de raison -3 alors elle n'est ni croissante ni décroissante quelque soit le premier terme :
U0 = 1 ; U1 = -3 ; U2 = 9 ; U3 = -27 ...
Les termes sont alternativement positifs puis négatifs.
4. Représentation graphique d'une suite géométrique
Exemple
Soit (Un) une suite géométrique de raison 3 et de premier terme U0 = 1.
U1 = 3 ; U2 = 9 ; U3 = 27...

Propriété
Les points d'une suite géométrique ne sont pas alignés : on parle d'une croissance exponentielle.

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