Sens de variation de u + lambda, de lamba.u, racine de u et de 1/u
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La fonction
est
la fonction 
pour tout x de I.
Exemple :
Soit u la fonction définie sur
par
.Alors la fonction de u – 2 est la fonction
définie sur 
(ici, λ = – 2).Propriété :
et
ont
même variation sur 
.Preuve :
Supposons que u soit décroissante sur I.
Cela signifie que pour tous réels a et b de I tels que
, alors
.On ne change pas le sens d’une inégalité lorsque l’on ajoute de chaque coté un même réel λ.
Ainsi,
où 
.La fonction u + λ renversant le sens des inégalités, elle est donc décroissante sur I, comme la fonction u.
La fonction λu est la fonction
pour tout x de I.
Exemple :
Soit u la fonction définie sur
par 
.Alors la fonction 3u est la fonction
définie sur 
(ici, λ = 3).u et λu sont de variation contraire sur I lorsque λ < 0
Exemple :
et 
ont même variation sur
Par contre,
et 
sont de variations
contraires (λ = – 1 < 0)Preuve :
Supposons que u soit croissante sur I et λ < 0 .
Cela signifie que pour tous réels a et b de I tels que a < b alors
.Lorsque l’on multiplie chaque coté d’une inégalité par un même réel λ < 0 , le sens s’en trouve changé.
Ainsi,
où a < b.La fonction λu renversant le sens des inégalités, elle est donc décroissante sur I, contrairement à la fonction u.
Exemple :
Les parties 1°) et 2°) permettent d’affirmer que la fonction
est croissante sur
l'intervalle 
.En effet,
•
est décroissante sur 
.• – 3 < 0 d'où
est croissante sur
.• en ajoutant 2 cela ne change pas le sens de variation.
pour tout x de I.La fonction
est la fonction 
pour tout x de I.
Propriété :
ont même variation sur I.
Preuve :
Supposons que la fonction u soit croissante sur I : pour tous réels a et b de I tels que a < b alors
.La fonction racine carrée est une fonction croissante sur les nombres positifs, autrement dit elle conserve le sens des inégalités sur cet ensemble.
Ainsi,
(réels parfaitement définis puisque
sur I ).Or, a < b d'où la fonction
est croissante sur I, tout comme u.Exemple :
Cette propriété permet d’affirmer que la fonction
est croissante sur l'intervalle 
En effet, la fonction
est une fonction affine, croissante sur 
donc sur 
.
pour tout x de
I.La fonction
est la fonction 
pour tout x de I.
Propriété :
ont des sens de variation
contraires sur I.
Remarque :
être de signe constant sur un intervalle signifie être toujours positif ou toujours négatif sur cet intervalle.
Preuve :
Supposons que la fonction u soit décroissante sur I : pour tous réels a et b de I, tels que a < b alors
.Supposons de plus que la fonction u soit toujours positive sur I, alors
.La fonction inverse est une fonction décroissante sur
, autrement dit elle renverse le sens des
inégalités sur cet ensemble.Ainsi,
. Or a < b, d'où la fonction
est décroissante sur I, contrairement à
u.Exemple :
La fonction
est croissante sur 
et décroissante sur 
;En effet, la fonction carrée est décroissante et strictement positive sur
donc son inverse est une fonction croissante sur
.De même, la fonction carrée est croissante et strictement positive sur
donc son inverse est une fonction décroissante sur
.Évalue ce cours !
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