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Sens de variation de u + lambda, de lamba.u, racine de u et de 1/u

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1. Sens de variation de u + lambda avec lambda réel

Définition :

Soit u une fonction définie sur un intervalle I et λ un réel.
La fonction

est la fonction

pour tout x de I.

Exemple :

Soit u la fonction définie sur

par

.
Alors la fonction de u – 2 est la fonction

définie sur

(ici, λ = – 2).

Propriété :

u et u + λ ont même variation sur I.

Exemple:

ont même variation sur

.

Preuve :

Supposons que u soit décroissante sur I.
Cela signifie que pour tous réels a et b de I tels que

, alors

.
On ne change pas le sens d’une inégalité lorsque l’on ajoute de chaque coté un même réel λ.
Ainsi,

où

.
La fonction u + λ renversant le sens des inégalités, elle est donc décroissante sur I, comme la fonction u.

2. Sens de variation de lambda.u avec lambda réel non nul

Définition :

Soit u une fonction définie sur un intervalle I et λ un réel.
La fonction λu est la fonction

pour tout x de I.

Exemple :

Soit u la fonction définie sur

par

.

Alors la fonction 3u est la fonction

définie sur

(ici, λ = 3).

Propriété :

u et λu ont même variation sur I lorsque λ > 0
u et λu sont de variation contraire sur I lorsque λ < 0

Exemple :

ont même variation sur

Par contre,

sont de variations contraires (λ = – 1 < 0)

Preuve :

Supposons que u soit croissante sur I et λ < 0 .
Cela signifie que pour tous réels a et b de I tels que a < b alors

.

Lorsque l’on multiplie chaque coté d’une inégalité par un même réel λ < 0 , le sens s’en trouve changé.
Ainsi,

où a < b.
La fonction λu renversant le sens des inégalités, elle est donc décroissante sur I, contrairement à la fonction u.

Exemple :

Les parties 1°) et 2°) permettent d’affirmer que la fonction

est croissante sur l'intervalle

.

En effet,

•

est décroissante sur

.

• – 3 < 0 d'où

est croissante sur

.

• en ajoutant 2 cela ne change pas le sens de variation.

3. Sens de variation de racine de u

Définition :

Soit u une fonction définie sur un intervalle I où

pour tout x de I.
La fonction

est la fonction

pour tout x de I.

Propriété :

u et

ont même variation sur I.

Preuve :

Supposons que la fonction u soit croissante sur I : pour tous réels a et b de I tels que a < b alors

.

La fonction racine carrée est une fonction croissante sur les nombres positifs, autrement dit elle conserve le sens des inégalités sur cet ensemble.

Ainsi,

(réels parfaitement définis puisque

sur I ).

Or, a < b d'où la fonction

est croissante sur I, tout comme u.

Exemple :

Cette propriété permet d’affirmer que la fonction

est croissante sur l'intervalle

En effet, la fonction

est une fonction affine, croissante sur

donc sur

4. Sens de variation de 1/u

Définition :

Soit u une fonction définie sur un intervalle I où

pour tout x de I.
La fonction

est la fonction

pour tout x de I.

Propriété :

Si u est de signe constant sur I, alors u et

ont des sens de variation contraires sur I.

Remarque :
être de signe constant sur un intervalle signifie être toujours positif ou toujours négatif sur cet intervalle.

Preuve :

Supposons que la fonction u soit décroissante sur I : pour tous réels a et b de I, tels que a < b alors