Sens de variation de u + lambda, de lamba.u, racine de u et de 1/u
1. Sens de variation de u + lambda avec lambda réel
Définition :
Soit u une fonction définie sur un intervalle
I et λ un réel.
La fonction
est
la fonction
pour tout x de I.
La fonction


Exemple :
Soit u la fonction définie sur


Alors la fonction de u – 2 est la fonction


Propriété :
u et u + λ ont même
variation sur I.
Exemple:


Preuve :
Supposons que u soit décroissante sur I.
Cela signifie que pour tous réels a et b de I tels que


On ne change pas le sens d’une inégalité lorsque l’on ajoute de chaque coté un même réel λ.
Ainsi,


La fonction u + λ renversant le sens des inégalités, elle est donc décroissante sur I, comme la fonction u.
2. Sens de variation de lambda.u avec lambda réel
non nul
Définition :
Exemple :
Soit u la fonction définie sur
par
.
Alors la fonction 3u est la fonction
définie sur
(ici, λ = 3).
Exemple :
et
ont même variation sur

Par contre,
et
sont de variations
contraires (λ = – 1 < 0)
Preuve :
Supposons que u soit croissante sur I et λ < 0 .
Cela signifie que pour tous réels a et b de I tels que a < b alors
.
Lorsque l’on multiplie chaque coté d’une inégalité par un même réel λ < 0 , le sens s’en trouve changé.
Ainsi,
où a < b.
La fonction λu renversant le sens des inégalités, elle est donc décroissante sur I, contrairement à la fonction u.
Exemple :
Les parties 1°) et 2°) permettent d’affirmer que la fonction
est croissante sur
l'intervalle
.
En effet,
•
est décroissante sur
.
• – 3 < 0 d'où
est croissante sur
.
• en ajoutant 2 cela ne change pas le sens de variation.
Soit u une fonction définie sur un intervalle
I et λ un réel.
La fonction λu est la fonction
pour tout x de I.
La fonction λu est la fonction

Exemple :
Soit u la fonction définie sur


Alors la fonction 3u est la fonction


Propriété :
u et λu ont même variation sur I lorsque
λ > 0
u et λu sont de variation contraire sur I lorsque λ < 0
u et λu sont de variation contraire sur I lorsque λ < 0
Exemple :



Par contre,


Preuve :
Supposons que u soit croissante sur I et λ < 0 .
Cela signifie que pour tous réels a et b de I tels que a < b alors

Lorsque l’on multiplie chaque coté d’une inégalité par un même réel λ < 0 , le sens s’en trouve changé.
Ainsi,

La fonction λu renversant le sens des inégalités, elle est donc décroissante sur I, contrairement à la fonction u.
Exemple :
Les parties 1°) et 2°) permettent d’affirmer que la fonction


En effet,
•


• – 3 < 0 d'où


• en ajoutant 2 cela ne change pas le sens de variation.
3. Sens de variation de racine de u
Définition :
Soit u une fonction définie sur un intervalle
I où
pour tout x de I.
La fonction
est la fonction
pour tout x de I.

La fonction


Propriété :
u et
ont même variation sur I.

Preuve :
Supposons que la fonction u soit croissante sur I : pour tous réels a et b de I tels que a < b alors

La fonction racine carrée est une fonction croissante sur les nombres positifs, autrement dit elle conserve le sens des inégalités sur cet ensemble.
Ainsi,


Or, a < b d'où la fonction

Exemple :
Cette propriété permet d’affirmer que la fonction


En effet, la fonction



4. Sens de variation de 1/u
Définition :
Soit u une fonction définie sur un intervalle
I où
pour tout x de
I.
La fonction
est la fonction
pour tout x de I.

La fonction


Propriété :
Si u est de signe constant sur I, alors u
et
ont des sens de variation
contraires sur I.

Remarque :
être de signe constant sur un intervalle signifie être toujours positif ou toujours négatif sur cet intervalle.
Preuve :
Supposons que la fonction u soit décroissante sur I : pour tous réels a et b de I, tels que a < b alors

Supposons de plus que la fonction u soit toujours positive sur I, alors

La fonction inverse est une fonction décroissante sur

Ainsi,


Exemple :
La fonction



En effet, la fonction carrée est décroissante et strictement positive sur


De même, la fonction carrée est croissante et strictement positive sur



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