Sens de variation de u + lambda, de lamba.u, racine de u et de 1/u
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1. Sens de variation de u + lambda avec lambda réel
Définition :
Soit u une fonction définie sur un intervalle
I et λ un réel.
La fonction est la fonction pour tout x de I.
La fonction est la fonction pour tout x de I.
Exemple :
Soit u la fonction définie sur par .
Alors la fonction de u – 2 est la fonction définie sur (ici, λ = – 2).
Propriété :
u et u + λ ont même
variation sur I.
Exemple:et ont même variation sur .
Preuve :
Supposons que u soit décroissante sur I.
Cela signifie que pour tous réels a et b de I tels que , alors .
On ne change pas le sens d’une inégalité lorsque l’on ajoute de chaque coté un même réel λ.
Ainsi, où .
La fonction u + λ renversant le sens des inégalités, elle est donc décroissante sur I, comme la fonction u.
2. Sens de variation de lambda.u avec lambda réel
non nul
Définition :
Exemple :
Soit u la fonction définie sur par .
Alors la fonction 3u est la fonction définie sur (ici, λ = 3).
Exemple :
et ont même variation sur
Par contre, et sont de variations contraires (λ = – 1 < 0)
Preuve :
Supposons que u soit croissante sur I et λ < 0 .
Cela signifie que pour tous réels a et b de I tels que a < b alors .
Lorsque l’on multiplie chaque coté d’une inégalité par un même réel λ < 0 , le sens s’en trouve changé.
Ainsi, où a < b.
La fonction λu renversant le sens des inégalités, elle est donc décroissante sur I, contrairement à la fonction u.
Exemple :
Les parties 1°) et 2°) permettent d’affirmer que la fonction est croissante sur l'intervalle .
En effet,
• est décroissante sur .
• – 3 < 0 d'où est croissante sur .
• en ajoutant 2 cela ne change pas le sens de variation.
Soit u une fonction définie sur un intervalle
I et λ un réel.
La fonction λu est la fonction pour tout x de I.
La fonction λu est la fonction pour tout x de I.
Exemple :
Soit u la fonction définie sur par .
Alors la fonction 3u est la fonction définie sur (ici, λ = 3).
Propriété :
u et λu ont même variation sur I lorsque
λ > 0
u et λu sont de variation contraire sur I lorsque λ < 0
u et λu sont de variation contraire sur I lorsque λ < 0
Exemple :
et ont même variation sur
Par contre, et sont de variations contraires (λ = – 1 < 0)
Preuve :
Supposons que u soit croissante sur I et λ < 0 .
Cela signifie que pour tous réels a et b de I tels que a < b alors .
Lorsque l’on multiplie chaque coté d’une inégalité par un même réel λ < 0 , le sens s’en trouve changé.
Ainsi, où a < b.
La fonction λu renversant le sens des inégalités, elle est donc décroissante sur I, contrairement à la fonction u.
Exemple :
Les parties 1°) et 2°) permettent d’affirmer que la fonction est croissante sur l'intervalle .
En effet,
• est décroissante sur .
• – 3 < 0 d'où est croissante sur .
• en ajoutant 2 cela ne change pas le sens de variation.
3. Sens de variation de racine de u
Définition :
Soit u une fonction définie sur un intervalle
I où pour tout x de I.
La fonction est la fonction pour tout x de I.
La fonction est la fonction pour tout x de I.
Propriété :
u et ont même variation sur I.
Preuve :
Supposons que la fonction u soit croissante sur I : pour tous réels a et b de I tels que a < b alors .
La fonction racine carrée est une fonction croissante sur les nombres positifs, autrement dit elle conserve le sens des inégalités sur cet ensemble.
Ainsi, (réels parfaitement définis puisque sur I ).
Or, a < b d'où la fonction est croissante sur I, tout comme u.
Exemple :
Cette propriété permet d’affirmer que la fonction est croissante sur l'intervalle
En effet, la fonction est une fonction affine, croissante sur donc sur .
4. Sens de variation de 1/u
Définition :
Soit u une fonction définie sur un intervalle
I où pour tout x de
I.
La fonction est la fonction pour tout x de I.
La fonction est la fonction pour tout x de I.
Propriété :
Si u est de signe constant sur I, alors u
et ont des sens de variation
contraires sur I.
Remarque :
être de signe constant sur un intervalle signifie être toujours positif ou toujours négatif sur cet intervalle.
Preuve :
Supposons que la fonction u soit décroissante sur I : pour tous réels a et b de I, tels que a < b alors .
Supposons de plus que la fonction u soit toujours positive sur I, alors .
La fonction inverse est une fonction décroissante sur , autrement dit elle renverse le sens des inégalités sur cet ensemble.
Ainsi, . Or a < b, d'où la fonction est décroissante sur I, contrairement à u.
Exemple :
La fonction est croissante sur et décroissante sur ;
En effet, la fonction carrée est décroissante et strictement positive sur donc son inverse est une fonction croissante sur .
De même, la fonction carrée est croissante et strictement positive sur donc son inverse est une fonction décroissante sur .
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