Sens de variation de u + lambda, de lamba.u, racine de u et de 1/u - Maxicours

Sens de variation de u + lambda, de lamba.u, racine de u et de 1/u

1. Sens de variation de u + lambda avec lambda réel
Définition :
Soit u une fonction définie sur un intervalle I et λ un réel.
La fonction est la fonction pour tout x de I.

Exemple :

Soit u la fonction définie sur par .
Alors la fonction de u – 2 est la fonction définie sur (ici, λ = – 2).

Propriété :
u et u + λ ont même variation sur I.

Exemple:

et ont même variation sur .

Preuve :

Supposons que u soit décroissante sur I.
Cela signifie que pour tous réels a et b de I tels que , alors .
On ne change pas le sens d’une inégalité lorsque l’on ajoute de chaque coté un même réel λ.
Ainsi, .
La fonction u + λ renversant le sens des inégalités, elle est donc décroissante sur I, comme la fonction u.
2. Sens de variation de lambda.u avec lambda réel non nul
Définition :
Soit u une fonction définie sur un intervalle I et λ un réel.
La fonction λu est la fonction pour tout x de I.

Exemple :

Soit u la fonction définie sur par .

Alors la fonction 3u est la fonction définie sur (ici, λ = 3).

Propriété :
u et λu ont même variation sur I lorsque λ > 0
u et λu sont de variation contraire sur I lorsque λ < 0

Exemple :


et ont même variation sur

Par contre, et sont de variations contraires (λ = – 1 < 0)

Preuve :

Supposons que u soit croissante sur I et λ < 0 .
Cela signifie que pour tous réels a et b de I tels que a < b alors .

Lorsque l’on multiplie chaque coté d’une inégalité par un même réel λ < 0 , le sens s’en trouve changé.
Ainsi, a < b.
La fonction λu renversant le sens des inégalités, elle est donc décroissante sur I, contrairement à la fonction u.

Exemple :

Les parties 1°) et 2°) permettent d’affirmer que la fonction est croissante sur l'intervalle .

En effet,

est décroissante sur .

• – 3 < 0 d'où est croissante sur .

• en ajoutant 2 cela ne change pas le sens de variation.
3. Sens de variation de racine de u
Définition :
Soit u une fonction définie sur un intervalle Ipour tout x de I.
La fonction est la fonction pour tout x de I.

Propriété :

u et ont même variation sur I.

Preuve :

Supposons que la fonction u soit croissante sur I : pour tous réels a et b de I tels que a < b alors .

La fonction racine carrée est une fonction croissante sur les nombres positifs, autrement dit elle conserve le sens des inégalités sur cet ensemble.

Ainsi, (réels parfaitement définis puisque sur I ).

Or, a < b d'où la fonction est croissante sur I, tout comme u.

Exemple :


Cette propriété permet d’affirmer que la fonction est croissante sur l'intervalle

En effet, la fonction est une fonction affine, croissante sur donc sur .
4. Sens de variation de 1/u
Définition :
Soit u une fonction définie sur un intervalle Ipour tout x de I.
La fonction est la fonction pour tout x de I.

Propriété :

Si u est de signe constant sur I, alors u et ont des sens de variation contraires sur I.

Remarque :

être de signe constant sur un intervalle signifie être toujours positif ou toujours négatif sur cet intervalle.

Preuve :


Supposons que la fonction u soit décroissante sur I : pour tous réels a et b de I, tels que a < b alors .

Supposons de plus que la fonction u soit toujours positive sur I, alors .

La fonction inverse est une fonction décroissante sur , autrement dit elle renverse le sens des inégalités sur cet ensemble.

Ainsi, . Or a < b, d'où la fonction est décroissante sur I, contrairement à u.

Exemple :

La fonction est croissante sur et décroissante sur ;

En effet, la fonction carrée est décroissante et strictement positive sur  donc son inverse est une fonction croissante sur .

De même, la fonction carrée est croissante et strictement positive sur donc son inverse est une fonction décroissante sur .



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