Mode de génération d'une suite
Objectif
Découvrir la notion de suites de nombres réels
et comment les formuler.
1. Notion de suite
a. Définition et notations
Une suite u est une fonction qui, à tout entier
n supérieur ou égal à 0 ou
supérieur ou égal à un entier
naturel p, associe un réel u(n) que l’on
notera plutôt un.
Ainsi, si l’on commence à n = 0 :
La suite u est aussi notée (un) : elle représente également l’ensemble des valeurs
.un est appelé le terme de rang n ou terme général de la suite.
u0 est appelé souvent le terme initial de la suite (si on commence à n = 1, u1 sera le terme initial...).
Bien comprendre la notation indicielle:
un désigne le terme de rang n, un–1 désigne le terme de rang n–1, c'est-à-dire celui qui précède un et un+1 est le terme de rang n+1 : il est le terme qui suit un.
Attention : un n'est pas forcément le nième terme de la suite.
b. Exemple
On considère la suite définie par
pour tout n.
Cela signifie qu’à chaque entier naturel n, la suite u associe le réel
.
A l’entier naturel 0, elle associe donc le réel
.
Le terme de rang 10 vaut donc
,
c’est le 11ème terme de la suite
(u0 est le premier, u1 est le
deuxième…)
Dans la cellule B2, on écrit
.
Le terme suivant un est le terme de rang n+1 et
.
pour tout n.Cela signifie qu’à chaque entier naturel n, la suite u associe le réel
.A l’entier naturel 0, elle associe donc le réel
.Le terme de rang 10 vaut donc
,
c’est le 11ème terme de la suite
(u0 est le premier, u1 est le
deuxième…)| A | B | |
| 1 | n | un |
| 2 | 0 | -1 |
| 3 | 1 | -0,5 |
| 4 | 2 | 1 |
| 5 | 3 | 3,5 |
| 6 | 4 | 7 |
| 7 | 5 | 11,5 |
| 8 | 6 | 17 |
| 9 | 7 | 23,5 |
| 10 | 8 | 31 |
| 11 | 9 | 39,5 |
| 12 | 10 | 49 |
Dans la cellule B2, on écrit
.Le terme suivant un est le terme de rang n+1 et
.
2. Différentes façons de
générer une suite
a. De manière explicite
L’expression de un est directement
donnée en fonction de n.
Dans l’exemple précédent,
où 
.
De même,
est une suite définie pour 
par 
avec 
.
Dans ce cas, on peut calculer directement la valeur de tout terme de la suite.
Dans l’exemple précédent,
où .De même,
est une suite définie pour par avec .Dans ce cas, on peut calculer directement la valeur de tout terme de la suite.
b. Suite définie par récurrence
La donnée d’un premier terme et d'une
relation liant un et un+1 dite
relation de récurrence permet également de
définir une suite.
Dans ce cas on dit que la suite (un) est donnée par sa formule de récurrence.
Par exemple, la suite (un) est définie par
.
Cette relation signifie que le terme initial est -1 et que tout autre terme s’obtient en multipliant par 2 son précédent et en ajoutant 4.
Ce qui signifie que
…
Par contre, on ne peut pas calculer u10 : pour cela, il faut connaître la valeur de u9 et donc celle de u8….d’où le nom de récurrence.
Dans la cellule B2, on écrit -1
Dans la cellule B3, on écrit
.
Dans ce cas on dit que la suite (un) est donnée par sa formule de récurrence.
Par exemple, la suite (un) est définie par
.Cette relation signifie que le terme initial est -1 et que tout autre terme s’obtient en multipliant par 2 son précédent et en ajoutant 4.
Ce qui signifie que
…Par contre, on ne peut pas calculer u10 : pour cela, il faut connaître la valeur de u9 et donc celle de u8….d’où le nom de récurrence.
| A | B | |
| 1 | n | un |
| 2 | 0 | -1 |
| 3 | 1 | 2 |
| 4 | 2 | 8 |
| 5 | 3 | 20 |
| 6 | 4 | 44 |
| 7 | 5 | 92 |
| 8 | 6 | 188 |
| 9 | 7 | 380 |
| 10 | 8 | 764 |
| 11 | 9 | 1532 |
| 12 | 10 | 3068 |
Dans la cellule B2, on écrit -1
Dans la cellule B3, on écrit
.
L'essentiel
Une suite est une succession de nombres dont
l’obtention suit une loi bien
déterminée.
Elle peut notamment être définie :
• de façon explicite (chaque terme est exprimé directement en fonction de n)
• par récurrence (chaque terme est exprimé en fonction de son (ou ses) précédent(s) et de son (ou ses) premiers termes.
Elle peut notamment être définie :
• de façon explicite (chaque terme est exprimé directement en fonction de n)
• par récurrence (chaque terme est exprimé en fonction de son (ou ses) précédent(s) et de son (ou ses) premiers termes.
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