Les vecteurs colinéaires et expression d'un vecteur en fonction de 2 vecteurs non colinéaires





Exemple :

Sur le dessin ci-dessus,



Conséquences géométriques :
Dire que les vecteurs


Dire que les vecteurs non nuls






Preuve :
Dire que les vecteurs



En classe de seconde, on a vu que


Ainsi dire que





Ainsi, le tableau suivant est un tableau de proportionnalité :
x | x' |
y | y' |
et les produits xy' et x'y sont égaux, d'où le résultat



Les points




Dire que les points E, F et G sont alignés revient à dire que les vecteurs




De même



donc les vecteurs




Pour tout vecteur


Autrement dit, tout vecteur





1°) Prouver que les vecteurs


2°) Exprimer le vecteur



1°) On peut calculer le réel xy' – x'y et montrer qu’il est non nul ; on peut aussi lire directement que les coordonnées des 2 vecteurs ne sont pas proportionnelles :
en effet,


2°) D’après la propriété ci-dessus, il existe 2 réels uniques x et y tels que

Le vecteur


Dire que le vecteur


À savoir




Nous pouvons conclure que









où x et y sont 2 réels.
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