Les vecteurs colinéaires et expression d'un vecteur en fonction de 2 vecteurs non colinéaires
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Objectif
Approfondir la notion de vecteurs colinéaires
abordée en seconde.
1. Vecteurs colinéaires
a. Définition et conséquence
On dit que 2 vecteurs
et
sont
colinéaires lorsqu’il existe un
réel
tel
que
.





Exemple :

Sur le dessin ci-dessus,



Propriété : Deux vecteurs
colinéaires non nuls ont la même
direction.
Conséquences géométriques :
Dire que les vecteurs


Dire que les vecteurs non nuls


b. Traduction analytique de la
colinéarité
Dans un repère
du plan,
dire que les vecteurs
et
sont
colinéaires signifie que
.
Preuve :
Dire que les vecteurs
et
sont
colinéaires signifie que
.
En classe de seconde, on a vu que
a pour
coordonnées
.
Ainsi dire que
signifie
que
et
,
autrement dit les coordonnées de
et
sont
proportionnelles.
Ainsi, le tableau suivant est un tableau de proportionnalité :
et les produits xy' et x'y sont égaux, d'où le résultat
soit
.




Preuve :
Dire que les vecteurs



En classe de seconde, on a vu que


Ainsi dire que





Ainsi, le tableau suivant est un tableau de proportionnalité :
x | x' |
y | y' |
et les produits xy' et x'y sont égaux, d'où le résultat


c. Exemple d'utilisation

Les points




Dire que les points E, F et G sont alignés revient à dire que les vecteurs




De même



donc les vecteurs


2. Décomposition d'un vecteur en fonction de 2
vecteurs non colinéaires
a. Propriété
On considère
et
deux
vecteurs non colinéaires du plan.
Pour tout vecteur
il
existe un couple unique (x, y) de réels tels
que
.


Pour tout vecteur


Autrement dit, tout vecteur



b. Exemple d'utilisation
Dans un repère, on considère les vecteurs
et
.
1°) Prouver que les vecteurs
et
ne sont
pas colinéaires.
2°) Exprimer le vecteur
en
fonction des vecteurs
et
.
1°) On peut calculer le réel xy' – x'y et montrer qu’il est non nul ; on peut aussi lire directement que les coordonnées des 2 vecteurs ne sont pas proportionnelles :
en effet,
et

2°) D’après la propriété ci-dessus, il existe 2 réels uniques x et y tels que
Le vecteur
a pour
coordonnées 
Dire que le vecteur
est
égal au vecteur
signifie
que leur coordonnées sont égales.
À savoir



Nous pouvons conclure que



1°) Prouver que les vecteurs


2°) Exprimer le vecteur



1°) On peut calculer le réel xy' – x'y et montrer qu’il est non nul ; on peut aussi lire directement que les coordonnées des 2 vecteurs ne sont pas proportionnelles :
en effet,


2°) D’après la propriété ci-dessus, il existe 2 réels uniques x et y tels que

Le vecteur


Dire que le vecteur


À savoir




Nous pouvons conclure que


L'essentiel







où x et y sont 2 réels.
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