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Les vecteurs colinéaires et expression d'un vecteur en fonction de 2 vecteurs non colinéaires

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Objectif
Approfondir la notion de vecteurs colinéaires abordée en seconde.
1. Vecteurs colinéaires
a. Définition et conséquence
On dit que 2 vecteurs et sont colinéaires lorsqu’il existe un réel tel que .
 
Pour k = 0, , le vecteur nul est donc colinéaire à tout autre vecteur.

Exemple :


Sur le dessin ci-dessus, donc et sont colinéaires.

Propriété : Deux vecteurs colinéaires non nuls ont la même direction.

Conséquences géométriques :

Dire que les vecteurs et sont colinéaires signifie que les points A, B, C sont alignés.
Dire que les vecteurs non nuls et sont colinéaires signifie que les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
b. Traduction analytique de la colinéarité
Dans un repère du plan, dire que les vecteurs et sont colinéaires signifie que .

Preuve :
Dire que les vecteurs et sont colinéaires signifie que .
En classe de seconde, on a vu que a pour coordonnées .
Ainsi dire que signifie que et , autrement dit les coordonnées de et sont proportionnelles.

Ainsi, le tableau suivant est un tableau de proportionnalité :

x x'
y y'

et les produits xy' et x'y sont égaux, d'où le résultat soit .
c. Exemple d'utilisation
est un repère du plan.
Les points , , sont-ils alignés ?



Dire que les points E, F et G sont alignés revient à dire que les vecteurs et sont colinéaires : soit .

De même soit .


donc les vecteurs et ne sont pas colinéaires d’où E, F, G, ne sont pas alignés.
2. Décomposition d'un vecteur en fonction de 2 vecteurs non colinéaires
a. Propriété
On considèreet deux vecteurs non colinéaires du plan.
Pour tout vecteur
il existe un couple unique (x, y) de réels tels que .

Autrement dit, tout vecteur se décompose d'une façon unique en fonction deet .
b. Exemple d'utilisation
Dans un repère, on considère les vecteurs et.
1°) Prouver que les vecteurs et ne sont pas colinéaires.
2°) Exprimer le vecteur en fonction des vecteurs et .

1°) On peut calculer le réel xy' – x'y et montrer qu’il est non nul ; on peut aussi lire directement que les coordonnées des 2 vecteurs ne sont pas proportionnelles :
en effet, et

2°) D’après la propriété ci-dessus, il existe 2 réels uniques x  et y tels que
Le vecteur a pour coordonnées
Dire que le vecteur est égal au vecteur signifie que leur coordonnées sont égales.

À savoir

Nous pouvons conclure que


L'essentiel
et sont colinéaires revient à dire que  .
et étant 2 vecteurs non colinéaires, tout vecteur s’écrit de façon unique
x et y sont 2 réels.

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