Les vecteurs colinéaires et expression d'un vecteur en fonction de 2 vecteurs non colinéaires
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Les vecteurs colinéaires et expression d'un vecteur en fonction de 2 vecteurs non colinéaires
Fiche de cours
Quiz et exercices
1
Vidéos et podcasts
Objectif
Approfondir la notion de vecteurs colinéaires
abordée en seconde.
1. Vecteurs colinéaires
a. Définition et conséquence
On dit que 2 vecteurs et
sont
colinéaires lorsqu’il existe un
réel tel
que .
Pour k = 0, , le
vecteur nul est donc colinéaire à tout
autre vecteur.
Exemple :
Sur le dessin ci-dessus, donc
et
sont
colinéaires.
Propriété : Deux vecteurs
colinéaires non nuls ont la même
direction.
Conséquences géométriques :
Dire que les vecteurs et
sont
colinéaires signifie que les points A,
B, C sont alignés.
Dire que les vecteurs non nuls et
sont
colinéaires signifie que les droites
(AB) et (CD) sont
parallèles.
b. Traduction analytique de la
colinéarité
Dans un repère du plan,
dire que les vecteurs et
sont
colinéaires signifie que .
Preuve :
Dire que les vecteurs et
sont
colinéaires signifie que .
En classe de seconde, on a vu que a pour
coordonnées .
Ainsi dire que signifie
que et
,
autrement dit les coordonnées de et
sont
proportionnelles.
Ainsi, le tableau suivant est un tableau de
proportionnalité :
x
x'
y
y'
et les produits xy' et x'y sont égaux, d'où
le résultat soit
.
c. Exemple d'utilisation
est un
repère du plan.
Les points ,
,
sont-ils
alignés ?
Dire que les points E, F et G sont alignés
revient à dire que les vecteurs et
sont
colinéaires : soit
.
De même soit
.
donc les vecteurs et
ne sont
pas colinéaires d’où E,
F, G, ne sont pas alignés.
2. Décomposition d'un vecteur en fonction de 2
vecteurs non colinéaires
a. Propriété
On considèreetdeux
vecteurs non colinéaires du plan.
Pour tout vecteuril
existe un couple unique (x, y) de réels tels
que.
Autrement dit, tout vecteur se
décompose d'une façon unique en fonction
deet
.
b. Exemple d'utilisation
Dans un repère, on considère les vecteurs
et.
1°) Prouver que les vecteurs et
ne sont
pas colinéaires.
2°) Exprimer le vecteur en
fonction des vecteurs et
.
1°) On peut calculer le réel xy'
– x'y et montrer qu’il est non
nul ; on peut aussi lire directement que les
coordonnées des 2 vecteurs ne sont pas
proportionnelles :
en effet, et
2°) D’après la propriété
ci-dessus, il existe 2 réels uniques
x et y tels que
Le vecteur a pour
coordonnées
Dire que le vecteur est
égal au vecteur signifie
que leur coordonnées sont égales.
À savoir
Nous pouvons conclure que
L'essentiel
et
sont
colinéaires revient à dire que
. et
étant
2 vecteurs non colinéaires, tout vecteur s’écrit
de façon unique
où x et y sont 2 réels.
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