Les vecteurs colinéaires et expression d'un vecteur en fonction de 2 vecteurs non colinéaires
Objectif
Approfondir la notion de vecteurs colinéaires
abordée en seconde.
1. Vecteurs colinéaires
a. Définition et conséquence
On dit que 2 vecteurs 
et
sont
colinéaires lorsqu’il existe un
réel 
tel
que 
.
et
sont
colinéaires lorsqu’il existe un
réel tel
que .
, le
vecteur nul est donc colinéaire à tout
autre vecteur.Exemple :
Sur le dessin ci-dessus,
donc
et
sont
colinéaires.
Propriété : Deux vecteurs
colinéaires non nuls ont la même
direction.
Conséquences géométriques :
Dire que les vecteurs
et
sont
colinéaires signifie que les points A,
B, C sont alignés.Dire que les vecteurs non nuls
et
sont
colinéaires signifie que les droites
(AB) et (CD) sont
parallèles.
b. Traduction analytique de la
colinéarité
Dans un repère 
du plan,
dire que les vecteurs 
et
sont
colinéaires signifie que 
.
Preuve :
Dire que les vecteurs
et
sont
colinéaires signifie que 
.
En classe de seconde, on a vu que
a pour
coordonnées 
.
Ainsi dire que
signifie
que 
et
,
autrement dit les coordonnées de 
et
sont
proportionnelles.
Ainsi, le tableau suivant est un tableau de proportionnalité :
et les produits xy' et x'y sont égaux, d'où le résultat
soit
.
du plan,
dire que les vecteurs et
sont
colinéaires signifie que .Preuve :
Dire que les vecteurs
et
sont
colinéaires signifie que .En classe de seconde, on a vu que
a pour
coordonnées .Ainsi dire que
signifie
que et
,
autrement dit les coordonnées de et
sont
proportionnelles.Ainsi, le tableau suivant est un tableau de proportionnalité :
| x | x' |
| y | y' |
et les produits xy' et x'y sont égaux, d'où le résultat
soit
.
c. Exemple d'utilisation
est un
repère du plan.Les points
,
,
sont-ils
alignés ?
Dire que les points E, F et G sont alignés revient à dire que les vecteurs
et
sont
colinéaires : 
soit
.De même
soit
.
donc les vecteurs
et
ne sont
pas colinéaires d’où E,
F, G, ne sont pas alignés.
2. Décomposition d'un vecteur en fonction de 2
vecteurs non colinéaires
a. Propriété
On considère
et
deux
vecteurs non colinéaires du plan.
Pour tout vecteur
il
existe un couple unique (x, y) de réels tels
que 
.
et
deux
vecteurs non colinéaires du plan.Pour tout vecteur
il
existe un couple unique (x, y) de réels tels
que .
Autrement dit, tout vecteur
se
décompose d'une façon unique en fonction
de
et
.
b. Exemple d'utilisation
Dans un repère, on considère les vecteurs
et
.
1°) Prouver que les vecteurs
et
ne sont
pas colinéaires.
2°) Exprimer le vecteur
en
fonction des vecteurs 
et
.
1°) On peut calculer le réel xy' – x'y et montrer qu’il est non nul ; on peut aussi lire directement que les coordonnées des 2 vecteurs ne sont pas proportionnelles :
en effet,
et
2°) D’après la propriété ci-dessus, il existe 2 réels uniques x et y tels que
Le vecteur
a pour
coordonnées 
Dire que le vecteur
est
égal au vecteur 
signifie
que leur coordonnées sont égales.
À savoir
Nous pouvons conclure que
et.1°) Prouver que les vecteurs
et
ne sont
pas colinéaires.2°) Exprimer le vecteur
en
fonction des vecteurs et
.1°) On peut calculer le réel xy' – x'y et montrer qu’il est non nul ; on peut aussi lire directement que les coordonnées des 2 vecteurs ne sont pas proportionnelles :
en effet,
et
2°) D’après la propriété ci-dessus, il existe 2 réels uniques x et y tels que
Le vecteur
a pour
coordonnées Dire que le vecteur
est
égal au vecteur signifie
que leur coordonnées sont égales.À savoir
Nous pouvons conclure que
L'essentiel
et
sont
colinéaires revient à dire que
.
et
étant
2 vecteurs non colinéaires, tout vecteur 
s’écrit
de façon unique 
où x et y sont 2 réels.
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