Cosinus et sinus d'un angle orienté
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Objectif
Utiliser le cercle trigonométrique pour
déterminer le cosinus et le sinus d’angles de
vecteurs.
Résoudre des équations trigonométriques.
Résoudre des équations trigonométriques.
1. Cosinus et sinus d'un angle de vecteurs
a. Cosinus et sinus d'un réel (rappels)
(C) est le cercle trigonométrique de centre
O muni du repère orthonormé 
.
À tout réel x correspond un unique point M sur le cercle (C).
.À tout réel x correspond un unique point M sur le cercle (C).
Par définition, le point M a pour abscisse cos x
et pour ordonnée sin x dans le repère (O,
I, J).
b. Cosinus et sinus d'un angle de vecteurs non nuls
Le cosinus (ou le sinus) d’un angle orienté
est le cosinus (ou le sinus) de l’une de ses
mesures.
Exemple :
et 
Si x désigne une mesure de l’angle
alors 
et 
alors et
Exemple :
et
c. Propriétés immédiates
Pour tout réel on a :
•
•
•
où 
•
•
•
où
d. Valeurs remarquables
| x | 0 |
|
|
|
|
| cos x | 1 |
|
|
|
0 |
| sin x | 0 |
|
|
|
1 |
2. Angles associés
a. Configuration du rectangle
Sur le cercle ci-dessous, les points 
sont associés aux
réels x, π – x, π + x et –x.
M et M' sont symétriques par rapport à l’axe (OJ) donc ils ont la même ordonnée et des abscisses opposées :
M et M'' sont symétriques par rapport à O donc ils ont des abscisses et ordonnées opposées :
M et M''' sont symétriques par rapport à l’axe (OI) donc ils ont la même abscisse et des ordonnées opposées :
sont associés aux
réels x, π – x, π + x et –x.M et M' sont symétriques par rapport à l’axe (OJ) donc ils ont la même ordonnée et des abscisses opposées :
M et M'' sont symétriques par rapport à O donc ils ont des abscisses et ordonnées opposées :
M et M''' sont symétriques par rapport à l’axe (OI) donc ils ont la même abscisse et des ordonnées opposées :
b. Angles complémentaires
Sur le cercle ci-dessous, les points M, M1 et
M2 sont associés aux réels
et 
.
Pour tout réel x on a
et 
et .Pour tout réel x on a
et
3. Equations trigonométriques
• Les solutions de l’équation
sont les réels 
et 
.
• Les solutions de l’équation
sont les réels
et 
.
sont les réels et .• Les solutions de l’équation
sont les réels
et .
L'essentiel
Sinus et cosinus prennent des valeurs particulières
pour des mesures d’angles remarquables à
connaître. Il en va de même pour les formules
relatives aux angles associés.
Cependant, une bonne manipulation du cercle trigonométrique permet de retrouver facilement la plupart des résultats.
Cependant, une bonne manipulation du cercle trigonométrique permet de retrouver facilement la plupart des résultats.
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