Le produit scalaire
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Objectif(s)
Calculer le produit scalaire de 2 vecteurs en utilisant la
formule appropriée au contexte.
1. Expression du produit scalaire dans un repère
orthonormé
a. Définition
Dans un repère orthonormé, on
considère les vecteurs et .
Le produit scalaire des vecteurs et est le réel noté défini par .
Ce réel ne dépend pas du
repère choisi.Le produit scalaire des vecteurs et est le réel noté défini par .
Exemple :
et alors .
b. Propriétés immédiates
Pour tous vecteurs , , et réel on a :
• (symétrie)
•
• (distributivité).
• (symétrie)
•
• (distributivité).
c. Norme d'un vecteur et produit scalaire
est appelé carré scalaire de
et .
Ainsi, en posant on a l’égalité suivante :
.
(carré scalaire de norme de au carré longueur AB au carré).
Conséquences, les identités remarquables avec le produit scalaire :
.
Exemple d’utilisation :
Sachant que , et , calculer et en déduire .
.
Ainsi, d’où .
Ainsi, en posant on a l’égalité suivante :
.
(carré scalaire de norme de au carré longueur AB au carré).
Conséquences, les identités remarquables avec le produit scalaire :
.
Exemple d’utilisation :
Sachant que , et , calculer et en déduire .
.
Ainsi, d’où .
d. Orthogonalité de 2 vecteurs
Propriété :
Dire que et sont orthogonaux signifie que .
Dire que et sont orthogonaux signifie que .
Exemple d’utilisation :
On considère les points , , et .
Prouver que les vecteurs et sont orthogonaux.
c’est-à-dire .
De même, .
Ainsi, .
Nous pouvons donc conclure que les vecteurs et sont orthogonaux et donc le triangle ABC est un triangle rectangle en A .
e. Produit scalaire de 2 vecteurs colinéaires
Soit et 2 vecteurs colinéaires.
si et sont colinéaires de même sens
si et sont colinéaires de sens contraires.
si et sont colinéaires de même sens
si et sont colinéaires de sens contraires.
Exemple d'utilisation :
ABCD est un trapèze de petite base AB = 4 et DC = 6 .
.
2. Autres expressions du produit scalaire
a. À l'aide des projections orthogonales
Propriété :
Soit et 2 vecteurs non nuls, et H projection orthogonale de C sur (AB).
Alors si et sont colinéaires de même sens
si et sont colinéaires de sens contraire.
Soit et 2 vecteurs non nuls, et H projection orthogonale de C sur (AB).
Alors si et sont colinéaires de même sens
si et sont colinéaires de sens contraire.
Exemple d’utilisation :
ABC est un triangle équilatéral de coté 4 .
On nomme I le milieu de [AB].
Calculer .
La projection orthogonale de C sur (AB) est le point I milieu de [AB].
.
b. À l'aide du cosinus de l'angle
formé par les 2 vecteurs
Propriété :
et étant 2 vecteurs non nuls,
En posant et , cette propriété
s’écrit .et étant 2 vecteurs non nuls,
Exemple d’utilisation :
Dans le triangle précédent,
L'essentiel
• Étant donnés 2 vecteurs et
,
.
• Pour et non nuls, .
• En choisissant et , avec projection orthogonale de C sur (AB).
• Le produit scalaire permet de caractériser l’orthogonalité de 2 vecteurs à savoir et sont orthogonaux équivaut à .
• Pour et non nuls, .
• En choisissant et , avec projection orthogonale de C sur (AB).
• Le produit scalaire permet de caractériser l’orthogonalité de 2 vecteurs à savoir et sont orthogonaux équivaut à .
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