Le produit scalaire
Objectif(s)
Calculer le produit scalaire de 2 vecteurs en utilisant la
formule appropriée au contexte.
1. Expression du produit scalaire dans un repère
orthonormé
a. Définition
Dans un repère orthonormé, on
considère les vecteurs 
et 
.
Le produit scalaire des vecteurs
et 
est le réel
noté 
défini par
.
Ce réel ne dépend pas du
repère choisi. et .Le produit scalaire des vecteurs
et est le réel
noté défini par
.
Exemple :
et 
alors 
.
b. Propriétés immédiates
Pour tous vecteurs 
, 
, 
et 
réel on a :
•
(symétrie)
•
•
(distributivité).
, , et réel on a :•
(symétrie)•
•
(distributivité).
c. Norme d'un vecteur et produit scalaire
est appelé carré scalaire de
et 
.Ainsi, en posant
on a l’égalité suivante
:
.(carré scalaire de
norme de 
au carré longueur AB au carré).Conséquences, les identités remarquables avec le produit scalaire :
.
Exemple d’utilisation :
Sachant que
, 
et 
, calculer 
et en déduire 
.
.Ainsi,
d’où 
.
d. Orthogonalité de 2 vecteurs
Propriété :
Dire que
et 
sont orthogonaux
signifie que 
.
Dire que
et sont orthogonaux
signifie que .
Exemple d’utilisation :
On considère les points
, 
, et 
.Prouver que les vecteurs
et 
sont orthogonaux.
c’est-à-dire 
.De même,
.Ainsi,
.Nous pouvons donc conclure que les vecteurs
et 
sont orthogonaux et donc le triangle ABC est un
triangle rectangle en A .
e. Produit scalaire de 2 vecteurs colinéaires
Soit 
et 
2 vecteurs colinéaires.
si 
et 
sont colinéaires de
même sens
si 
et 
sont colinéaires de
sens contraires.
et 2 vecteurs colinéaires.si et sont colinéaires de
même senssi et sont colinéaires de
sens contraires.
Exemple d'utilisation :
ABCD est un trapèze de petite base AB = 4 et DC = 6 .
.
2. Autres expressions du produit scalaire
a. À l'aide des projections orthogonales
Propriété :
Soit
et 
2 vecteurs non nuls, et H projection orthogonale
de C sur (AB).
Alors
si 
et sont colinéaires de même sens
si 
et 
sont colinéaires de sens contraire.
Soit
et 2 vecteurs non nuls, et H projection orthogonale
de C sur (AB).Alors
si et sont colinéaires de même senssi et sont colinéaires de sens contraire.
Exemple d’utilisation :
ABC est un triangle équilatéral de coté 4 .
On nomme I le milieu de [AB].
Calculer
.La projection orthogonale de C sur (AB) est le point I milieu de [AB].
.
b. À l'aide du cosinus de l'angle
formé par les 2 vecteurs
Propriété :
et 
étant 2 vecteurs
non nuls, 
En posant et étant 2 vecteurs
non nuls,
et 
, cette propriété
s’écrit 
.Exemple d’utilisation :
Dans le triangle précédent,
L'essentiel
• Étant donnés 2 vecteurs 
et
,
.
• Pour
et
non nuls,
.
• En choisissant
et
, avec
projection orthogonale de C sur (AB).
• Le produit scalaire permet de caractériser l’orthogonalité de 2 vecteurs à savoir
et
sont
orthogonaux équivaut à 
.
et
,
.• Pour
et
non nuls,
.• En choisissant
et
, avec
projection orthogonale de C sur (AB).• Le produit scalaire permet de caractériser l’orthogonalité de 2 vecteurs à savoir
et
sont
orthogonaux équivaut à .Vous avez déjà mis une note à ce cours.
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