Le produit scalaire
Objectif(s)
Calculer le produit scalaire de 2 vecteurs en utilisant la
formule appropriée au contexte.
1. Expression du produit scalaire dans un repère
orthonormé
a. Définition
Dans un repère orthonormé, on
considère les vecteurs
et
.
Le produit scalaire des vecteurs
et
est le réel
noté
défini par
.
Ce réel ne dépend pas du
repère choisi.

Le produit scalaire des vecteurs




Exemple :



b. Propriétés immédiates
Pour tous vecteurs
,
,
et
réel on a :
•
(symétrie)
•
•
(distributivité).




•

•

•

c. Norme d'un vecteur et produit scalaire



Ainsi, en posant


(carré scalaire de


Conséquences, les identités remarquables avec le produit scalaire :



Exemple d’utilisation :
Sachant que






Ainsi,



d. Orthogonalité de 2 vecteurs
Propriété :
Dire que
et
sont orthogonaux
signifie que
.
Dire que



Exemple d’utilisation :
On considère les points



Prouver que les vecteurs




De même,

Ainsi,

Nous pouvons donc conclure que les vecteurs


e. Produit scalaire de 2 vecteurs colinéaires
Soit
et
2 vecteurs colinéaires.
si
et
sont colinéaires de
même sens
si
et
sont colinéaires de
sens contraires.








Exemple d'utilisation :
ABCD est un trapèze de petite base AB = 4 et DC = 6 .


2. Autres expressions du produit scalaire
a. À l'aide des projections orthogonales
Propriété :
Soit
et
2 vecteurs non nuls, et H projection orthogonale
de C sur (AB).
Alors
si
et
sont colinéaires de même sens
si
et
sont colinéaires de sens contraire.
Soit


Alors






Exemple d’utilisation :
ABC est un triangle équilatéral de coté 4 .
On nomme I le milieu de [AB].
Calculer

La projection orthogonale de C sur (AB) est le point I milieu de [AB].


b. À l'aide du cosinus de l'angle
formé par les 2 vecteurs
Propriété :
et
étant 2 vecteurs
non nuls,
En posant 





Exemple d’utilisation :
Dans le triangle précédent,

L'essentiel
• Étant donnés 2 vecteurs
et
,
.
• Pour
et
non nuls,
.
• En choisissant
et
, avec
projection orthogonale de C sur (AB).
• Le produit scalaire permet de caractériser l’orthogonalité de 2 vecteurs à savoir
et
sont
orthogonaux équivaut à
.



• Pour



• En choisissant


• Le produit scalaire permet de caractériser l’orthogonalité de 2 vecteurs à savoir




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