Coefficients binomiaux, loi de Pascal.
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Découvrir les coefficients binomiaux et leurs
propriétés
1. Coefficients binomiaux
a. Cas particuliers
Soit n un entier naturel. Alors
(propriétés admises pour n
0) :
: en effet, il n'existe qu'un seul chemin ne
conduisant qu'à des échecs (0
succès).
: il n'existe également qu'un seul chemin ne
conduisant qu'à des succès (0
échec).
: on dénombre n chemins ne comportant
qu'un seul succès.
(avec k entier entre 0 et n).





b. Applications


On sait que



2. Loi et triangle de Pascal
a. La formule (ou loi) de Pascal
Soit k et n deux entiers tels que
.
On considère un schéma de Bernoulli à n+1 épreuves .
Intéressons nous au coefficient binomial:
.
Ce coefficient binomial est le nombre de chemins sur l'arbre à n+1 épreuves qui conduit à k+1 succès.
Parmi tous ces chemins, il y en a de 2 types : ceux qui commencent par un succès (1) et ceux qui commencent par un échec (2).
(1) : l'arbre qui représente toutes ces chemins correspond à un schéma de Bernoulli à n épreuves (puisque la première est déjà trouvée, c'est un succès) sur lequel il reste à trouver k succès (pour en avoir ainsi k+1). Le nombre de ces chemins est donc
.
(2) : cette fois, on construit aussi un nouvel arbre correspondant aussi à n épreuves mais sur lequel il s'agit de trouver k+1 succès (car on a commencé par un échec !). Le nombre de chemins correspondant est donc égal à
.
Exemple
.
On peut vérifier:
.

On considère un schéma de Bernoulli à n+1 épreuves .
Intéressons nous au coefficient binomial:

Ce coefficient binomial est le nombre de chemins sur l'arbre à n+1 épreuves qui conduit à k+1 succès.
Parmi tous ces chemins, il y en a de 2 types : ceux qui commencent par un succès (1) et ceux qui commencent par un échec (2).
(1) : l'arbre qui représente toutes ces chemins correspond à un schéma de Bernoulli à n épreuves (puisque la première est déjà trouvée, c'est un succès) sur lequel il reste à trouver k succès (pour en avoir ainsi k+1). Le nombre de ces chemins est donc

(2) : cette fois, on construit aussi un nouvel arbre correspondant aussi à n épreuves mais sur lequel il s'agit de trouver k+1 succès (car on a commencé par un échec !). Le nombre de chemins correspondant est donc égal à

En conclusion, on a la relation dite "de Pascal":
.

Exemple


b. Application : le triangle de Pascal
n k | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
0 | 1 | X | X | X | X | X |
1 | 1 | 1 | X | X | X | X |
2 | 1 | 2 | 1 | X | X | X |
3 | 1 | 3 | 3 | 1 | X | X |
4 | 1 |
4 |
6 | 4 | 1 | X |
5 | 1 | 5 | 10 | 10 | 5 | 1 |
Ce tableau (le triangle de Pascal) se construit à l'aide de la formule de Pascal.
On prend deux cases contigües, on ajoute leurs contenus.
On obtient le contenu de la case en "dessous à droite". Ne pas oublier de partir du triangle de 1.
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