Coefficients binomiaux, loi de Pascal. - Maxicours

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Coefficients binomiaux, loi de Pascal.

Découvrir les coefficients binomiaux et leurs propriétés

1. Coefficients binomiaux
a. Cas particuliers
Soit n un entier naturel. Alors (propriétés admises pour n 0) :
: en effet, il n'existe qu'un seul chemin ne conduisant qu'à des échecs (0 succès).

: il n'existe également qu'un seul chemin ne conduisant qu'à des succès (0 échec).

: on dénombre n chemins ne comportant qu'un seul succès.

(avec k entier entre 0 et n).
b. Applications
               

On sait que alors    .

.
2. Loi et triangle de Pascal
a. La formule (ou loi) de Pascal
Soit k et n deux entiers tels que .
On considère un schéma de Bernoulli à n+1 épreuves .
Intéressons nous au coefficient binomial: .
Ce coefficient binomial est le nombre de chemins sur l'arbre à n+1 épreuves qui conduit à k+1 succès.
Parmi tous ces chemins, il y en a de 2 types : ceux qui commencent par un succès (1) et ceux qui commencent par un échec (2).
(1) :  l'arbre qui représente toutes ces chemins correspond à un schéma de Bernoulli à n épreuves (puisque la première est déjà trouvée, c'est un succès) sur lequel il reste à trouver k succès (pour en avoir ainsi k+1). Le nombre de ces chemins est donc .
(2) : cette fois, on construit aussi un nouvel arbre correspondant aussi à n épreuves mais sur lequel il s'agit de trouver k+1 succès (car on a commencé par un échec !). Le nombre de chemins correspondant est donc égal à .
En conclusion, on a la relation dite "de Pascal": .

Exemple
. On peut vérifier: .
b. Application : le triangle de Pascal
n k 0 1 2 3 4 5
0 1 X X X X X
1 1 1 X X X X
2 1 2 1 X X X
3 1 3 3 1 X X
4 1 4
6 4 1 X
5 1 5 10 10 5 1

Ce tableau (le triangle de Pascal) se construit à l'aide de la formule de Pascal.
On prend deux cases contigües, on ajoute leurs contenus.
On obtient le contenu de la case en "dessous à droite". Ne pas oublier de partir du triangle de 1.

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