Coefficients binomiaux, loi de Pascal.

               

On sait que alors    .

.

Soit k et n deux entiers tels que .
On considère un schéma de Bernoulli à n+1 épreuves .
Intéressons nous au coefficient binomial: .
Ce coefficient binomial est le nombre de chemins sur l'arbre à n+1 épreuves qui conduit à k+1 succès.
Parmi tous ces chemins, il y en a de 2 types : ceux qui commencent par un succès (1) et ceux qui commencent par un échec (2).
(1) :  l'arbre qui représente toutes ces chemins correspond à un schéma de Bernoulli à n épreuves (puisque la première est déjà trouvée, c'est un succès) sur lequel il reste à trouver k succès (pour en avoir ainsi k+1). Le nombre de ces chemins est donc .
(2) : cette fois, on construit aussi un nouvel arbre correspondant aussi à n épreuves mais sur lequel il s'agit de trouver k+1 succès (car on a commencé par un échec !). Le nombre de chemins correspondant est donc égal à .

Exemple
. On peut vérifier: .

n k	0	1	2	3	4	5
0	1	X	X	X	X	X
1	1	1	X	X	X	X
2	1	2	1	X	X	X
3	1	3	3	1	X	X
4	1	4	6	4	1	X
5	1	5	10	10	5	1

Ce tableau (le triangle de Pascal) se construit à l'aide de la formule de Pascal.
On prend deux cases contigües, on ajoute leurs contenus.
On obtient le contenu de la case en "dessous à droite". Ne pas oublier de partir du triangle de 1.