Coefficients binomiaux, loi de Pascal.
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0) :
: en effet, il n'existe qu'un seul chemin ne
conduisant qu'à des échecs (0
succès).
: il n'existe également qu'un seul chemin ne
conduisant qu'à des succès (0
échec).
: on dénombre n chemins ne comportant
qu'un seul succès.
(avec k entier entre 0 et n).
On sait que
alors 
.
.
.On considère un schéma de Bernoulli à n+1 épreuves .
Intéressons nous au coefficient binomial:
.Ce coefficient binomial est le nombre de chemins sur l'arbre à n+1 épreuves qui conduit à k+1 succès.
Parmi tous ces chemins, il y en a de 2 types : ceux qui commencent par un succès (1) et ceux qui commencent par un échec (2).
(1) : l'arbre qui représente toutes ces chemins correspond à un schéma de Bernoulli à n épreuves (puisque la première est déjà trouvée, c'est un succès) sur lequel il reste à trouver k succès (pour en avoir ainsi k+1). Le nombre de ces chemins est donc
.(2) : cette fois, on construit aussi un nouvel arbre correspondant aussi à n épreuves mais sur lequel il s'agit de trouver k+1 succès (car on a commencé par un échec !). Le nombre de chemins correspondant est donc égal à
.
.
Exemple
.
On peut vérifier: 
.| n k | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 0 | 1 | X | X | X | X | X |
| 1 | 1 | 1 | X | X | X | X |
| 2 | 1 | 2 | 1 | X | X | X |
| 3 | 1 | 3 | 3 | 1 | X | X |
| 4 | 1 |
4 |
6 | 4 | 1 | X |
| 5 | 1 | 5 | 10 | 10 | 5 | 1 |
Ce tableau (le triangle de Pascal) se construit à l'aide de la formule de Pascal.
On prend deux cases contigües, on ajoute leurs contenus.
On obtient le contenu de la case en "dessous à droite". Ne pas oublier de partir du triangle de 1.
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