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Objectifs :
• Déterminer, calculer, utiliser la loi de
probabilité d’une variable aléatoire,
• Espérance : valeur moyenne, jeu favorable ou non.
• Espérance : valeur moyenne, jeu favorable ou non.
1. Rappels
• E est l’ensemble des
éléments concernant les possibilités
(issues) d’un événement
aléatoire.
• Une expérience aléatoire est une expérience comportant une ou plusieurs issues (sorties, possibilités) que l’on ne peut prévoir.
• Loi de probabilité : définir une loi de probabilité sur un ensemble (fini), c’est associer à chaque événement élémentaire un nombre compris entre 0 et 1 tel que la somme des probabilités de tous les événements élémentaires vaut 1. Ce qui s’écrit :
(il faut
connaître les écritures des formules
utilisées et savoir en appliquer les calculs).
• Une probabilité est un nombre compris entre 0 et 1 :
.
Un événement de probabilité nulle est un événement impossible. Notation :
Un événement de probabilité 1 est un événement certain.
.
•
est
l’événement contraire de A, et
.
•
• A et B sont deux événements dits incompatibles si et seulement si
.
• Une expérience aléatoire est une expérience comportant une ou plusieurs issues (sorties, possibilités) que l’on ne peut prévoir.
• Loi de probabilité : définir une loi de probabilité sur un ensemble (fini), c’est associer à chaque événement élémentaire un nombre compris entre 0 et 1 tel que la somme des probabilités de tous les événements élémentaires vaut 1. Ce qui s’écrit :
(il faut
connaître les écritures des formules
utilisées et savoir en appliquer les calculs).• Une probabilité est un nombre compris entre 0 et 1 :
.Un événement de probabilité nulle est un événement impossible. Notation :
Un événement de probabilité 1 est un événement certain.
.•
est
l’événement contraire de A, et
.•
• A et B sont deux événements dits incompatibles si et seulement si
.
2. Variable aléatoire discrète, loi de
probabilité
a. Définition variable aléatoire
Définir une variable aléatoire
(discrète) c’est associer un nombre
réel à chaque événement
élémentaire d’une expérience
aléatoire.
Exemple :
→ on lance un dé normal (6 faces, non truqué). Si la face 1 sort on gagne 1 €, si les faces 2 ou 3 sortent on perd 2 €, si les faces 4 ou 6 sortent on gagne 6 € enfin, si le 5 sort on perd 5€.
On a défini une variable aléatoire notée xi prenant les valeurs –5 ; –2 ; 1 ; 6.
L’événement x = −2 est constitué des événements élémentaires « sortie du 2 » et « sortie du 3 ».
Remarque : on dit que la variable est discrète (ou ponctuelle) car elle ne prend que certaines valeurs (pour une variable on a une valeur), et non plusieurs (une variable, un intervalle de valeurs).
b. Définition loi de probabilité
C’est associer chacune des valeurs xi
prises par une variable aléatoire à la
probabilité de l’événement
(X = xi).
Présentation : les résultats sont généralement regroupés dans un tableau :
| Valeur de X | x1 | x2 | x3 | ... | xn |
| p(X = xi) | p1 | p2 | p3 | ... | pn |
Exemple : dans le cas du jeu de dé précédent,
| xi | –5 | –2 | 1 | 6 |
| p(X = xi) |
|
|
|
|
3. Espérance d'une variable aléatoire
Remarque : cela
correspond tout simplement à la moyenne de
l’ensemble des valeurs d’une variable
aléatoire (avec 
)
Exemple : pour le jeu défini précédemment,
.
Remarque : on peut interpréter l’espérance mathématique de la variable comme le gain moyen que l’on peut espérer d’un jeu si l’on joue un très grand nombre de fois. C’est le « gain moyen ».
Si E(x) = 0 le jeu est dit équitable, si E(x) > 0 le jeu et dit favorable (au joueur) et si E(x) < 0 le jeu et dit défavorable (au joueur).
Dans l’exemple précédent, on peut interpréter l’espérance mathématique E(x) =
comme le
gain que l’on devrait obtenir pour un grand nombre de
parties.
)
Définition de l'espérance (ou
espérance mathématique) :
L’espérance de la variable X est définie par :
.
L’espérance de la variable X est définie par :
.
Exemple : pour le jeu défini précédemment,
.Remarque : on peut interpréter l’espérance mathématique de la variable comme le gain moyen que l’on peut espérer d’un jeu si l’on joue un très grand nombre de fois. C’est le « gain moyen ».
Si E(x) = 0 le jeu est dit équitable, si E(x) > 0 le jeu et dit favorable (au joueur) et si E(x) < 0 le jeu et dit défavorable (au joueur).
Dans l’exemple précédent, on peut interpréter l’espérance mathématique E(x) =
comme le
gain que l’on devrait obtenir pour un grand nombre de
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