Application du produit scalaire au calcul d'angles et de longueurs
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Objectif
Utiliser les définitions et propriétés
du produit scalaire afin de déterminer des mesures
d’angles ou de longueurs dans un triangle
notamment.
1. Produit scalaire et calcul d'angles dans un
repère orthonormé
a. Principe
A, B, C sont 3 points repérés par leurs
coordonnées dans repère orthonormé
.
Exprimons le produit scalaire
de deux façons
différentes :
d’une part,
d’autre part.
Ainsi, on peut en conclure que
,
ce qui permet dévaluer une mesure de l’angle
.
Remarque : il est préférable de retenir la méthode plutôt que la formule.
.Exprimons le produit scalaire
de deux façons
différentes : d’une part, d’autre part.Ainsi, on peut en conclure que
,ce qui permet dévaluer une mesure de l’angle
.Remarque : il est préférable de retenir la méthode plutôt que la formule.
b. Application
Soit 
,
et
.
Déterminer une mesure au degré près des 3 angles du triangle ABC.
D’après ce que l’on a vu ci-dessus,
.
Or
soit
et
.
Ainsi,
et 
En injectant ces données dans la formule, on obtient :
A l’aide de la calculatrice (
), on
obtient 
au
degré près.
Pour déterminer une mesure de l‘angle
, on
utilise la même démarche et on
obtient :
et 
Ainsi,
d'où 
au
degré près.
On utilise le fait que la somme des angles dans un triangle vaut 180° et
au
degré près.
,
et
.Déterminer une mesure au degré près des 3 angles du triangle ABC.
D’après ce que l’on a vu ci-dessus,
.Or
soit
et
.Ainsi,
et En injectant ces données dans la formule, on obtient :
A l’aide de la calculatrice (
), on
obtient au
degré près.Pour déterminer une mesure de l‘angle
, on
utilise la même démarche et on
obtient :
et Ainsi,
d'où au
degré près.On utilise le fait que la somme des angles dans un triangle vaut 180° et
au
degré près.
2. Théorème d'Al Kashi
a. Théorème
ABC est un triangle où l’on adopte les
notations suivantes : 
,
et
.
,
et
.
,
et
.,
et
.
ce qui s’écrit à l’aide des
notations ci-dessus :
Par permutation circulaire, on a également
Ces formules permettent de déterminer une
mesure des angles du triangle connaissant les longueurs
des 3, ou déterminer la longueur du
3e coté connaissant 2 cotés et
l’angle encadré par ces 2
cotés.
On remarquera qu’elles généralisent le théorème de Pythagore.
On remarquera qu’elles généralisent le théorème de Pythagore.
b. Exemple d'application
Un triangle ABC est tel que AB = 5, AC = 7 et
. Déterminer la longueur du coté
BC.
On connaît c, b et l’angle en A donc on peut utiliser
.
.
Ainsi,
.
. Déterminer la longueur du coté
BC.On connaît c, b et l’angle en A donc on peut utiliser
..Ainsi,
.
3. Théorème de la médiane
On considère un segment 
de milieu I .
Alors pour tout point M du plan,
Cette relation permet notamment lorsque l’on
connaît la longueur des 3 cotés d’un
triangle, de déterminer la longueur de la
médiane de milieu I .Alors pour tout point M du plan,
.
Preuve :
Exemple d’utilisation : Dans le triangle précédent, déterminer la longueur de la médiane
.D’après la relation précédente,
.
soit 
L'essentiel
Le théorème d’Al Kashi et le
théorème de la médiane permettent de
déterminer les angles, la longueur d’un
coté ou la longueur d’une médiane dans un
triangle donné.
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