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Fonction dérivée et dérivée de fonctions usuelles

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Objectif

• Calculer la dérivée des fonctions usuelles,
• Calculer la dérivée de la somme, du produit ou du quotient de deux fonctions

1. Rappel : la fonction dérivée

Définition d'une fonction dérivée d’une fonction définie sur un intervalle I :
Si f est dérivable en tout point d’abscisse x d’un intervalle I, on dit que f est dérivable sur I.

Notation : on note f ’ la fonction dérivée de f.

2. Dérivée des fonctions usuelles

Tableau des fonctions usuelles et de leur fonction dérivée :

Fonction	Fonction dérivée	Intervalle de définition
k : nombre réel




n : entier non nul

Exemple d’utilisation : pour

définie sur

, sa fonction dérivée est

car la dérivée de x² est 2x (comme on a 3x², on multiplie 2x par 3) et la dérivée de x est 1 (que l’on multiplie par -2).

3. Dérivation d'une somme, d'un produit, d'un quotient de fonctions

Pour ce qui suit, on pose : soient u et v deux fonctions de x, et k un réel.

Remarque : il faudrait écrire u(x) et v(x). Les notations simplifiées u et v sont générales jusqu’au bac.

a. Dérivée de la somme de deux fonctions dérivables

La dérivée de la somme de deux fonctions définies et dérivables sur un même intervalle I est la somme des dérivées de ces deux fonctions :

Formule :

Exemple : soit u(x) et v(x) définies par

, définie et dérivable sur

, et

, définie et dérivable sur

. Ces deux fonctions sont définies et dérivables sur

b. Dérivée du produit d'une constante par une fonction dérivable

Formule :

Exemple : (3x²)’ = 3 × 2x = 6x.

c. Dérivée du produit de deux fonctions dérivables (sur un même intervalle)

Formule :

Exemple : soit u(x) = x² + 1 et v(x) = 3x - 1. Ces deux fonctions sont définies dérivables sur

.

En général on écrit la préparation des calculs dans un tableau :

u(x) = x² + 1	u'(x) = 2x
v(x) = 3x - 1	v'(x) = 3

Ce qui permet de faire les calculs plus simplement.

d. Dérivée du quotient de deux fonctions dérivables sur un même intervalle dont la seconde ne s'annule pas (sur cet intervalle)

Formule :

Exemple : soit u(x) = 3x + 2 et v(x) = x² + 1. Ces deux fonctions sont définies dérivables sur

(car la fonction v ne s’annule pas sur cet intervalle).

On peut écrire la préparation des calculs dans un tableau :

u(x) = 3x + 2	u'(x) = 3
v(x) = x² + 1	v'(x) = 2x

Ce qui permet de faire les calculs plus simplement :

Remarque : en général on ne développe pas le dénominateur.

e. Tableau récapitulatif des opérations sur les fonctions dérivables :

Somme de deux fonctions
Produit d'une fonction par une constante
Produit de deux fonctions
Quotient (avec dénominateur non nul)
Carré d'une fonction
Inverse d'une fonction (non nulle)

f. Dérivation et calculatrices

• Les calculatrices « numériques » (calculatrices habituelles) peuvent calculer un nombre dérivé mais elles ne donnent pas l’expression des fonctions dérivées.

• Les calculatrices « formelles » (TI-Nspire CAS, Casio Graph 100), comme les logiciels de calculs mathématiques « formels » donnent directement l’expression des fonctions dérivées, y compris pour les calculs de produit ou quotient.

Remarque : quand on demande de dériver une fonction au bac, le résultat est souvent donné dans l'énoncé. Ce qui est demandé dans l'épreuve, c'est de détailler les calculs, pas d'écrire le résultat obtenu (puisqu'il est donné). Montrez bien comment vous obtenez la dérivée.