Répétition d'épreuves indépendantes
Objectifs :
• Expériences aléatoires
indépendantes : représenter la
répétition d’expériences
identiques et indépendantes par un arbre
pondéré.
• Construire un arbre pondéré pour déterminer la loi d’une variable aléatoire.
• Épreuve de Bernoulli, loi de Bernoulli.
• Construire un arbre pondéré pour déterminer la loi d’une variable aléatoire.
• Épreuve de Bernoulli, loi de Bernoulli.
1. Répétition d’épreuves
identiques, indépendance
• On répète n fois une même
expérience appelée épreuve.
On dira que ces épreuves sont indépendantes dès lors que l’issue d’une épreuve ne dépend pas de celles qui l’ont précédée.
• Résultat admis : si une expérience aléatoire est la répétition de n épreuves identiques et indépendantes, elle peut être représentée par un arbre pondéré.
Une issue est alors une liste ordonnée de résultats représentée par un chemin sur l’arbre pondéré.
Exemple :
Une épreuve consiste à lancer un dé normal à six faces, non truqué (équiprobabilité) deux fois de suite. Si le résultat est un 1 ou un 6, on marque 1, si c’est 2 ; 3 ou 5 on marque 0, enfin, si c’est 4 on marque –1.On fait alors le produit des points obtenus lors des deux lancers.
a. Variables aléatoires de cette épreuve :
On peut obtenir –1 ; 0 ou 1. Les valeurs de la variable aléatoire sont donc –1 ; 0 ; 1.
b. Loi de probabilité : il faut construire l’arbre pondéré :
Les résultats sont laissés sous forme de fraction dans la totalité des cas (on pourrait passer en fractions irréductibles).
Remarques :
• La probabilité de chaque issue, représentée par un chemin, est le produit des probabilités de chaque branche de ce chemin.
• La probabilité d’un événement (une variable aléatoire) est la somme des probabilités des issues de chacun des chemins qui réalisent cet événement.
On dira que ces épreuves sont indépendantes dès lors que l’issue d’une épreuve ne dépend pas de celles qui l’ont précédée.
• Résultat admis : si une expérience aléatoire est la répétition de n épreuves identiques et indépendantes, elle peut être représentée par un arbre pondéré.
Une issue est alors une liste ordonnée de résultats représentée par un chemin sur l’arbre pondéré.
Exemple :
Une épreuve consiste à lancer un dé normal à six faces, non truqué (équiprobabilité) deux fois de suite. Si le résultat est un 1 ou un 6, on marque 1, si c’est 2 ; 3 ou 5 on marque 0, enfin, si c’est 4 on marque –1.On fait alors le produit des points obtenus lors des deux lancers.
a. Variables aléatoires de cette épreuve :
On peut obtenir –1 ; 0 ou 1. Les valeurs de la variable aléatoire sont donc –1 ; 0 ; 1.
b. Loi de probabilité : il faut construire l’arbre pondéré :
| Xi | –1 | 0 | 1 |
| p(X = xi) |
|
|
|
Les résultats sont laissés sous forme de fraction dans la totalité des cas (on pourrait passer en fractions irréductibles).
Remarques :
• La probabilité de chaque issue, représentée par un chemin, est le produit des probabilités de chaque branche de ce chemin.
• La probabilité d’un événement (une variable aléatoire) est la somme des probabilités des issues de chacun des chemins qui réalisent cet événement.
2. Épreuve de Bernoulli, loi de Bernoulli
a. Définition : épreuve de Bernoulli
Une épreuve de Bernoulli est une
expérience aléatoire qui admet exactement
deux issues notées :
succès s de probabilité p et échec
de probabilité q = 1 –
p.
succès s de probabilité p et échec
de probabilité q = 1 –
p.
Exemple :
Lors d’une course de 17 voitures où chaque concurrent à la même probabilité que les autres de gagner, on parie sur le 5. Deux possibilités : le 5 gagne, le pari est un succès de probabilité s =
, ou le 5 ne remporte pas la
victoire, le pari est un échec de
probabilité 
.
b. Loi de Bernoulli
On décide de prendre pour variable
aléatoire X = 1 en cas de succès de
probabilité p, et X = 0 en cas
d’échec de probabilité 1 –
p.
La loi de probabilité s’écrit :
La loi de probabilité s’écrit :
|
k
|
0
|
1
|
|
P(X = k)
|
1 – p
|
p
|
On dit que la variable aléatoire suit une loi de Bernoulli.
Remarque : l’espérance mathématique devient
.
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