Répétition d'épreuves indépendantes
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• Construire un arbre pondéré pour déterminer la loi d’une variable aléatoire.
• Épreuve de Bernoulli, loi de Bernoulli.
On dira que ces épreuves sont indépendantes dès lors que l’issue d’une épreuve ne dépend pas de celles qui l’ont précédée.
• Résultat admis : si une expérience aléatoire est la répétition de n épreuves identiques et indépendantes, elle peut être représentée par un arbre pondéré.
Une issue est alors une liste ordonnée de résultats représentée par un chemin sur l’arbre pondéré.
Exemple :
Une épreuve consiste à lancer un dé normal à six faces, non truqué (équiprobabilité) deux fois de suite. Si le résultat est un 1 ou un 6, on marque 1, si c’est 2 ; 3 ou 5 on marque 0, enfin, si c’est 4 on marque –1.On fait alors le produit des points obtenus lors des deux lancers.
a. Variables aléatoires de cette épreuve :
On peut obtenir –1 ; 0 ou 1. Les valeurs de la variable aléatoire sont donc –1 ; 0 ; 1.
b. Loi de probabilité : il faut construire l’arbre pondéré :
| Xi | –1 | 0 | 1 |
| p(X = xi) |
|
|
|
Les résultats sont laissés sous forme de fraction dans la totalité des cas (on pourrait passer en fractions irréductibles).
Remarques :
• La probabilité de chaque issue, représentée par un chemin, est le produit des probabilités de chaque branche de ce chemin.
• La probabilité d’un événement (une variable aléatoire) est la somme des probabilités des issues de chacun des chemins qui réalisent cet événement.
succès s de probabilité p et échec
de probabilité q = 1 –
p.
Exemple :
Lors d’une course de 17 voitures où chaque concurrent à la même probabilité que les autres de gagner, on parie sur le 5. Deux possibilités : le 5 gagne, le pari est un succès de probabilité s =
, ou le 5 ne remporte pas la
victoire, le pari est un échec de
probabilité 
.La loi de probabilité s’écrit :
|
k
|
0
|
1
|
|
P(X = k)
|
1 – p
|
p
|
On dit que la variable aléatoire suit une loi de Bernoulli.
Remarque : l’espérance mathématique devient
.
Évalue ce cours !
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