Echantillonnage

On définit un échantillon de taille n par la répétition de n épreuves indépendantes d’une même expérience aléatoire à deux issues notées 0 et 1 (épreuve dite de Bernoulli).

La fluctuation d’échantillonnage (phénomène naturel fréquent) invite à se poser la question de la confiance envers les résultats trouvés.

Il est admis : « pour des échantillons de taille n 25 et de proportion p du caractère comprise entre 0,2 et 0,8 : si f désigne la fréquence du caractère dans l’échantillon, f appartient à l’intervalle avec une probabilité d’au moins 0,95. Cet intervalle est nommé intervalle de fluctuation au seuil de 95 %».

Exemple :
→ Un sondage est réalisé pour avoir une tendance du résultat d’une élection entre deux candidats A et B d’une région. Pour un total de 33 000 électeurs, le sondage portant sur 723 personnes interrogées donne 384 voies au candidat A. Peut-on considérer que ce candidat sera élu au premier tour car il dépasse 50 % des intentions de vote ?

Taille de l’échantillon : n = 723 (très supérieur à 25). Fréquence du caractère: arrondie à 0,531 à 10^–3 près (valeur bien supérieure à 50 %).
Intervalle de fluctuation au seuil de 95 % :
(valeurs arrondies à 10^–3).

Il n’est donc pas certain qu’il soit élu. On peut remarquer que les instituts de sondage donnent des pourcentages d’intention de vote, sans indiquer la « fourchette » dans laquelle se trouve cette valeur.

Utilisation d’une calculatrice pour déterminer P(X=k) pour une loi binomiale de paramètres n et p :
Par exemple P(X=k) pour n = 1000, p = 0,5 et k = 462.

• Sur Texas instrument (82 stat, 83 & 84) entrer la fonction « binomFdp(n,p,k) » (qui est dans le menu « distrib ») avec les arguments n = 1000, p = 0,5 et k = 462.

• Sur TI-NSpire dans une page calcul entrer « binomPdf(1000,0.5,462) »
(rappel : les points sont des virgules, les virgules des caractères de séparation des variables).

• Sur Casio entrer la fonction « BinomialPD(k,n,p) » (dans « OPTN » puis « STAT » puis « DIST » puis « BINM » et « Bpd » pour finir) avec les arguments k = 462, n = 1000 et p = 0,5.

Utilisation d’un tableur pour déterminer P(X=k) :
• Dans une cellule écrire « =LOI.BINOMIALE(valeur de k ; n ; p ;FAUX) ».

Remarque : sur certains tableurs au lieu de « FAUX » il faut écrire 0.

Utilisation d’une calculatrice pour déterminer P(Xk) pour une loi binomiale de paramètres n et p :
Par exemple P(Xk) pour n = 1000, p = 0,5 et k = 462 (utilisé ci-après).

• Sur Texas instrument entrer la fonction « binomFrép(n,p,k) » (qui est dans le menu « distrib ») avec les arguments n = 1000, p = 0,5 et k= 462.

• Sur TI-NSpire dans une page calcul entrer « binomCdf(1000,0.5,0,462) »
(rappel : les points sont des virgules, les virgules des caractères de séparation des variables).

• Sur Casio entrer la fonction « BinomialCD(k,n,p) » (dans « OPTN » puis « STAT » puis « DIST » puis « BINM » et « Bcd » pour finir) avec les arguments k = 462 la valeur à tester, n = 1000 et p = 0,5.

Utilisation d’un tableur :
• Dans une cellule écrire « =LOI.BINOMIALE(valeur de k ; n ; p ;VRAI) » que l’on tirera vers le bas.

Remarque : sur certains tableurs au lieu de « VRAI » il faut écrire « 1 ».

Remarques :
• Contrairement à la règle de fluctuation de la fréquence vue en seconde, cette propriété est vraie pour toutes valeurs de n et p.
• Les valeurs de a et b sont fournies par des tables. Il est possible de les calculer avec une calculatrice ou un tableur.
• Il existe d’autres seuils de fluctuation. Les plus utilisés sont le seuil 95 % et 99 %.

On suppose que la proportion d’un caractère d’une population est p. C’est une hypothèse.
Après réalisation d’un sondage de ce caractère sur un échantillon de taille n de cette population on constate une fréquence f de ce caractère.

Pour accepter ou rejeter l’hypothèse choisie, au seuil de confiance de 95 %, c'est-à-dire au risque de 5 % de se tromper, on calcule l’intervalle I de fluctuation à 95 %.

• si f est dans l’intervalle on accepte l’hypothèse effectuée au risque de 5 % (ou avec 95 % de confiance dans le résultat),
• si f n’est pas dans l’intervalle on rejette l’hypothèse au risque de 5 %.

Exemple :
→ On effectue la simulation de 1000 d’une pièce équilibrée sur une calculatrice. On obtient 484 « Pile », soit une fréquence de 0,484. Cette valeur est elle suffisamment proche de la valeur attendue 0,5 ?

Soit X la variable aléatoire associée à la sortie de « Pile ». Les 1000 épreuves sont indépendantes, avec deux issues. La variable suit une loi binomiale .

Au seuil de 95 % l’intervalle de fluctuation serait dans lequel se trouve la valeur de l’échantillon.
Au risque de 5 % on accepte l’hypothèse que le générateur aléatoire de la calculatrice à bien fonctionné.

Pour trouver a et b on utilise une calculatrice comme rappelé au paragraphe 1, puis on teste quelques valeurs autour de 0,5 × 1000.
On a obtenu ; ; et .

D’où a = 463 et b = 531.