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Evolutions successives et réciproques, indices

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Objectif

Évolutions successives : utiliser le coefficient multiplicateur, calculer un taux global d’évolution.
Évolutions successives : calculer un taux moyen équivalent.
Connaissant un taux d’évolution, calculer son taux réciproque.
Utiliser les indices.

1. Evolutions successives

Une grandeur peut avoir des variations imprévisibles pour de courts intervalles de temps (valeur d’une action boursière), ou une variation relativement prévisible à date fixe (comme les augmentations de salaire).
En général, la valeur du Smic est réajustée deux fois par année. On s’intéresse au taux d’augmentation annuel connaissant les deux taux d'augmentation obtenus pendant l’année.

Début 2009 le Smic horaire brut valait 8,71 €. Par décret du 26/06/2010 il est augmenté de 1,26 %. Puis par décret du 17/12/2010 il est de nouveau augmenté de 0,46 %. Quelle est le pourcentage d’augmentation sur l’année 2010 ? quelle était la valeur du Smic après le 17/12/2010 ?

Il faut utiliser le coefficient multiplicateur. CM₁ = 1,0126 et CM₂ = 1,0046.
Le tarif initial est multiplié par CM₁ pour obtenir la valeur de la 1ère augmentation, puis cette valeur est multipliée par CM₂ pour obtenir la valeur après la deuxième augmentation.
Donc, le tarif initial est multiplié par CM₁ × CM₂.

. On en déduit que le pourcentage d’augmentation annuelle correspondant est de 1,73 %.
Valeur obtenue après les deux augmentations : 8,71 × 1,0173 = 8,86 €.

a. Taux moyen équivalent

Le taux moyen équivalent correspond au taux unique qu’il faudrait appliquer pour obtenir la même évolution que celle obtenue par deux (ou plus) évolutions successives sur les même périodes.

Cas de deux évolutions successives : le taux moyen est obtenu à partir du coefficient multiplicateur moyen

où CM_g est le coefficient multiplicateur global.

Dans le cas précédent, pour deux périodes CM_g = 1,0173.

Alors

Le taux d’évolution équivalent exprimé en pourcentage est donc 0,86 %.
On peut vérifier que 8,71 × 1,0086 = 8,78489… et 8,785 × 1,0086 = 8,8605 ≈ 8,86. Petites différences dues aux arrondis.

Cas de plusieurs évolutions successives (programme de terminale) : Une estimation de l’augmentation des prix en France indique une baisse de 0,2 % en janvier 2011, de 0,5 % en février, de 0,8 % en mars, de 0,3 % en avril et de 0,1 % pour le mois de mai (données calculées par une association de consommateurs). Quelle serait l’augmentation moyenne équivalente, c'est-à-dire l’augmentation fixe qu’il faudrait appliquer chaque mois pour obtenir la même augmentation globale ?

Pour trouver l’augmentation totale, effectuer le produit des CM :
0,998 × 1,005 × 1,008 × 1,003 × 1,001 = 1,015061… pour les 5 périodes, soit 1,506 % d’augmentation globale.

Il faut appliquer un taux de pourcentage de 0,299 % chaque mois pour obtenir une évolution équivalente.

Remarque : le taux moyen s’obtient par la moyenne géométrique des coefficients multiplicateurs.

b. Taux réciproque d'une évolution

Soit t_e le taux d’évolution d’une valeur A vers une valeur B. Le coefficient multiplicateur de passage de A vers B est

où t_e est exprimé sous forme décimale.

Le taux d’évolution réciproque t_r de B vers A est tel que

.
Ce coefficient multiplicateur permet de passer de la valeur B à la valeur A. C’est l’inverse du précédent.
On a donc :

Exemple : le prix d’un appareil augmente de 20 % en 2 années. Quel doit être le pourcentage de baisse pour qu’il revienne à son prix de départ ?
Ce n’est pas 20 %... !
Il faut

d’où

C’est négatif, c’est donc une baisse de 16,67 % (arrondi à 10^–2 près).

Petit exemple numérique (qui n’est pas une preuve) : Une paire de tennis coutait 85 €. La mode fait qu’elle se vent trop bien, le fabriquant décide d’augmenter le prix de 20 %. Le prix passe à 85 × 1,20 = 102 €.
Il n’en vend pratiquement plus. Il décide de faire une ristourne permettant de la vendre au prix précédent. Quel est le taux de baisse qui sera affiché ?
D’après le calcul précédent, c’est 16,67 % (il y a un arrondi, le résultat ne sera pas tout à fait exact).
102 × (1 – 0,1667) = 84,9966 qui est arrondi à 85 €, la valeur de départ.

2. Indices

Les pourcentages permettent de comparer assez facilement des évolutions, augmentations ou diminutions, de valeurs différentes.

Exemple : Alice et Bernard ont tous deux été augmentés. Alice se voit augmentée de 45 € sur son salaire net mensuel de 1 300 €. Bernard lui se voit augmenté de 80 € pour une rémunération nette mensuelle de 2 450 €.
En valeur absolue, Bernard à une augmentation plus importante que Alice.
Le pourcentage d’augmentation du salaire d’Alice est de :

quand celui de Bernard est de

.
Proportionnellement l’augmentation de Bernard est plus faible que celle de Alice.

Les indices sont une autre façon de comparer les évolutions de quantités différentes, de présentation agréable et facile à lire.

Soit V₀ la valeur initiale d’une variable numérique à la date t₀, V₁ sa valeur à la date t₁ après une première évolution, V₂ sa valeur à la date t₂ après une deuxième évolution,… V_n sa valeur à la date t_n après n évolutions.
L’indice de base 100 à t₀ de V à la date t_i est la quantité

. On présente en général les résultats dans un tableau.

Exemples :
• (D’après bac) : Le tableau ci-dessous donne le nombre d’habitants en France, exprimé en millions. (Source INSEE)

Année	1985	1990	1995	2000	2005	2010
Nombre d’habitants (en millions)	56,6	58,2	59,4	60,8	62,8	63,1

En prenant pour indice de base 100 le nombre d’habitants de l’année 1985, calculer les indices de chacune des autres années arrondis au centième près.
Calcul de l’indice pour 1990 :

Calcul de l’indice pour 1995 :

Les résultats des calculs suivants sont présentés dans le tableau ci-dessous :

Année	1985	1990	1995	2000	2005	2010
Nombre d’habitants (en millions)	56,6	58,2	59,4	60,8	62,8	63,1
Indices (base 100 en 1985)	100	102,83	104,95	107,42	108,13	110,95

Les indices permettent de comparer rapidement les différentes valeurs vis-à-vis de la première.
On remarquera que les pourcentage d’évolution sont immédiats : entre 1985 et 2010 la population Française a augmenté de 10,95 %.
De même, le CM entre 1985 et 2010 sera 1,1095.

• En 2011, le kilowatt heure d'électricité (kWh) coûte pour un particulier ayant une consommation inférieure à 4 000 kW : 0,22 € au Luxembourg, 0,21 € en Belgique, 0,20 € en Allemagne, 0,17 € en Angleterre, 0,13 € en France métropolitaine et en Italie.
En prenant pour base 100 le tarif en France métropolitaine et en Italie, calculer les indices des tarifs des différents pays indiqués. On présentera les résultats dans un tableau.

Pays	France-Italie	Angleterre	Allemagne	Belgique	Luxembourg
Tarif du kWh	0,13 €	0,17 €	0,20 €	0,21 €	0,22 €
Indice base 100 France-Italie	100	130,77	153,85	161,54	169,23