Evolutions successives et réciproques, indices

Une grandeur peut avoir des variations imprévisibles pour de courts intervalles de temps (valeur d’une action boursière), ou une variation relativement prévisible à date fixe (comme les augmentations de salaire).
En général, la valeur du Smic est réajustée deux fois par année. On s’intéresse au taux d’augmentation annuel connaissant les deux taux d'augmentation obtenus pendant l’année.

Début 2009 le Smic horaire brut valait 8,71 €. Par décret du 26/06/2010 il est augmenté de 1,26 %. Puis par décret du 17/12/2010 il est de nouveau augmenté de 0,46 %. Quelle est le pourcentage d’augmentation sur l’année 2010 ? quelle était la valeur du Smic après le 17/12/2010 ?

Il faut utiliser le coefficient multiplicateur. CM₁ = 1,0126 et CM₂ = 1,0046.
Le tarif initial est multiplié par CM₁ pour obtenir la valeur de la 1ère augmentation, puis cette valeur est multipliée par CM₂ pour obtenir la valeur après la deuxième augmentation.
Donc, le tarif initial est multiplié par CM₁ × CM₂.
. On en déduit que le pourcentage d’augmentation annuelle correspondant est de 1,73 %.
Valeur obtenue après les deux augmentations : 8,71 × 1,0173 = 8,86 €.

Les pourcentages permettent de comparer assez facilement des évolutions, augmentations ou diminutions, de valeurs différentes.

Exemple : Alice et Bernard ont tous deux été augmentés. Alice se voit augmentée de 45 € sur son salaire net mensuel de 1 300 €. Bernard lui se voit augmenté de 80 € pour une rémunération nette mensuelle de 2 450 €.
En valeur absolue, Bernard à une augmentation plus importante que Alice.
Le pourcentage d’augmentation du salaire d’Alice est de : quand celui de Bernard est de .
Proportionnellement l’augmentation de Bernard est plus faible que celle de Alice.

Les indices sont une autre façon de comparer les évolutions de quantités différentes, de présentation agréable et facile à lire.

Soit V₀ la valeur initiale d’une variable numérique à la date t₀, V₁ sa valeur à la date t₁ après une première évolution, V₂ sa valeur à la date t₂ après une deuxième évolution,… V_n sa valeur à la date t_n après n évolutions.
L’indice de base 100 à t₀ de V à la date t_i est la quantité . On présente en général les résultats dans un tableau.

Exemples :
• (D’après bac) : Le tableau ci-dessous donne le nombre d’habitants en France, exprimé en millions. (Source INSEE)

Année	1985	1990	1995	2000	2005	2010
Nombre d’habitants (en millions)	56,6	58,2	59,4	60,8	62,8	63,1

En prenant pour indice de base 100 le nombre d’habitants de l’année 1985, calculer les indices de chacune des autres années arrondis au centième près.
Calcul de l’indice pour 1990 :
Calcul de l’indice pour 1995 :

Les résultats des calculs suivants sont présentés dans le tableau ci-dessous :

Année	1985	1990	1995	2000	2005	2010
Nombre d’habitants (en millions)	56,6	58,2	59,4	60,8	62,8	63,1
Indices (base 100 en 1985)	100	102,83	104,95	107,42	108,13	110,95

Les indices permettent de comparer rapidement les différentes valeurs vis-à-vis de la première.
On remarquera que les pourcentage d’évolution sont immédiats : entre 1985 et 2010 la population Française a augmenté de 10,95 %.
De même, le CM entre 1985 et 2010 sera 1,1095.

• En 2011, le kilowatt heure d'électricité (kWh) coûte pour un particulier ayant une consommation inférieure à 4 000 kW : 0,22 € au Luxembourg, 0,21 € en Belgique, 0,20 € en Allemagne, 0,17 € en Angleterre, 0,13 € en France métropolitaine et en Italie.
En prenant pour base 100 le tarif en France métropolitaine et en Italie, calculer les indices des tarifs des différents pays indiqués. On présentera les résultats dans un tableau.

Pays	France-Italie	Angleterre	Allemagne	Belgique	Luxembourg
Tarif du kWh	0,13 €	0,17 €	0,20 €	0,21 €	0,22 €
Indice base 100 France-Italie	100	130,77	153,85	161,54	169,23