Fiche de cours

Nombre dérivé, tangente en un point

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Objectif
Déterminer les variations d’une fonction sur un intervalle où elle est définie. Il semble assez naturel de regarder la variation entre deux points d’abscisses très proches de la courbe représentative de cette fonction.
1. Nombre dérivé
Pour une fonction f définie sur un intervalle I. Soit h un réel strictement positif (très petit), x et x + h deux réels de I. Ce sont des valeurs très proches et ordonnées (x et strictement plus petit que x + h).
a. Taux d'accroissement
Le taux d’accroissement de f entre x et x + h est le nombre .

Exemples :

• est définie sur . Taux d’accroissement en x = 3 :





• Sur g est définie par . Taux d’accroissement pour x = 1 :





b. Nombre dérivé
Le nombre dérivé de f en x est le nombre .

Remarque : le nombre dérivé est la limite quand h tend vers zéro du taux d’accroissement.

Exemple :
Soit définie sur . Calculer le nombre dérivé de f pour x = 2 puis pour x = .

•



Soit .
Pour x = 2 on a .

• Pour x = , sans avoir à refaire tous les calculs, on a .

Remarque : Si le nombre dérivé en x existe, on dit que la fonction est dérivable en ce point.
c. Calculatrices et nombre dérivé
Utilisation d’une calculatrice pour déterminer le nombre dérivé :

• sur Texas instrument (82 stat, 83 & 84) dans le menu « Math » (descendre en 8e ligne ou taper 8). Fonction « nbrDérivé( » (ou « nDeriv( » si elle est en anglais) écrire la fonction, une virgule (pas le point, la touche au dessus de la touche 7), la variable (en général c’est X), une virgule, puis la valeur de X.

• sur TI-NSpire dans une page calcul, touche menu, choix 4 nombre dérivé, il est demandé la valeur de x, (par exemple x = 2) on obtient alors , on entre la fonction dans les parenthèses.

• Sur Casio dans le menu « RUN puis OPTN/CALC puis d/dx» écrire la fonction, une virgule (pas le point, la touche au dessus de la touche DEL), puis la valeur de X).
2. Tangente en un point à la courbe représentative d'une fonction
a. Rappel, coefficient directeur
Soient et deux point de la courbe représentative d’une fonction f définie sur un intervalle I.
La droite (AB) a pour coefficient directeur entre A et B le nombre .
C’est le taux d’accroissement de f entre x et x + h.


b. Tangente à la courbe représentative d'une fonction dérivable en un point
La position limite de la droite (AB) quand B se rapproche de A (donc h tend vers 0), est la tangente à la courbe représentative de f au point A.
Son coefficient directeur est donc le nombre dérivé de f pour l’abscisse de A.
Cette droite est de la forme , avec .
Elle passe par donc d’où .



Exemple : pour définie sur , équation de la tangente en x = 2.
Pour x = 2,
Les coordonnées du point A sont
Le nombre dérivé en x = 2 est
La tangente, droite d’équation passe par A, ses coordonnées vérifient , d’où b = –13

Équation de la tangente :



 


c. Tracer la tangente en un point de la courbe représentative d'une fonction
On suppose obtenu le nombre dérivé en un point (il faut alors calculer la valeur de la fonction en ce point) et peut être l’équation de la tangente en ce point.

Par exemple, pour la fonction précédente définie sur , dont on a cherché le nombre dérivé en x = 2, puis l’équation de la tangente en x = 2, on a déterminé puis après avoir calculé  .
Se placer au point . Pour tracer la droite tangente il faut un deuxième point.
Depuis A, avancer d’une unité horizontalement, puis vers le haut si f ' > 0 (ou vers le bas si f ' < 0) d’autant d’unités que la valeur de f ' .

Si f ' = 0 la tangente est horizontale.


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