Vecteur directeur d'une droite, équation cartésienne de droite
.On appelle vecteur directeur de (D) tout vecteur
non
nul colinéaire à 
.
donne la
direction de la droite (D).Remarques :
• Tous les vecteurs colinéaires non nuls à
sont
aussi vecteurs directeurs de (D) : il existe donc
une infinité de vecteurs directeurs d'une droite,
tous colinéaires entre eux.• Deux droites parallèles ont des vecteurs directeurs colinéaires.
Propriété caractéristique :
La droite (D) passant par A et de vecteur directeur
est
l'ensemble des points M du plan vérifiant
et
colinéaires.
.Dire que
et
colinéaires
Nous venons de montrer ici que toute droite du plan admet une équation du type ax + by + c = 0 avec a et b non simultanément nuls.
On retiendra la méthode exposée puisqu'elle permet, en connaissant un point et un vecteur directeur d'une droite, de déterminer une équation cartésienne de celle-ci.
et en
écrire une équation
cartésienne.On place le point A, et on applique le vecteur
en
ce point.Reste à tracer la droite (D) passant par A ayant pour direction celle de
.
Pour écrire une équation de (D), on reprend la méthode exposée ci-dessus dans le cas général.
M(x,y) appartient à (D) équivaut à dire
et 
colinéaires
On peut ainsi conclure que (D) a pour équation cartésienne
.2°) Donner les coordonnées d’un point B de cette droite.
Affectons une valeur à x et déterminons la valeur correspondant à y.
Par exemple, prenons x = 1. Comme B appartient à la droite (D), ses coordonnées vérifient l'équation de (D) à savoir
.Ainsi,
soit
.On a finalement
et
est
un point de (D).3°) Le point C(–4,3) appartient-il à cette droite ?
Dire que
revient
à dire que les coordonnées de C
vérifient l'équation de (D).Or
Donc, oui C est sur (D).
.
Cette propriété permet de caractériser en tant que droite l'ensemble des points M(x,y) vérifiant une égalité du type ax + by + c = 0 avec (a,b) ≠ (0,0) et, de plus, permet de déterminer un vecteur directeur de cette droite.
1°) Déterminer un vecteur directeur de (D).
2x – 3y + 1 = 0 est de la forme ax +by + c = 0 avec a = 2; b = –3 et c =1.
La propriété ci-dessus permet donc d'affirmer que le vecteur
est vecteur directeur de
(D).2°) Le vecteur
est-il un vecteur de (D)
?
est aussi vecteur de
(D) à condition que 
et 
soient
colinéaires.On remarque que
donc 
est un vecteur directeur
de (D).3°) Quel est le coefficient de la droite (D) ?
Le coefficient directeur de (D) est connu lorsque l'équation de (D) est mise sous la forme y = mx + p appelée équation réduite de (D).
s'écrit aussi
soit 
Ainsi,
est coefficient directeur
de (D).Le vecteur
est un
vecteur directeur de cette droite. Il donne la direction de
cette droite.Vous avez déjà mis une note à ce cours.
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