Vecteur directeur d'une droite, équation cartésienne de droite
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On appelle vecteur directeur de (D) tout vecteur
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Remarques :
• Tous les vecteurs colinéaires non nuls à
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• Deux droites parallèles ont des vecteurs directeurs colinéaires.
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Propriété caractéristique :
La droite (D) passant par A et de vecteur directeur
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Dire que
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Nous venons de montrer ici que toute droite du plan admet une équation du type ax + by + c = 0 avec a et b non simultanément nuls.
On retiendra la méthode exposée puisqu'elle permet, en connaissant un point et un vecteur directeur d'une droite, de déterminer une équation cartésienne de celle-ci.
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On place le point A, et on applique le vecteur
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Reste à tracer la droite (D) passant par A ayant pour direction celle de
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Pour écrire une équation de (D), on reprend la méthode exposée ci-dessus dans le cas général.
M(x,y) appartient à (D) équivaut à dire
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On peut ainsi conclure que (D) a pour équation cartésienne
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2°) Donner les coordonnées d’un point B de cette droite.
Affectons une valeur à x et déterminons la valeur correspondant à y.
Par exemple, prenons x = 1. Comme B appartient à la droite (D), ses coordonnées vérifient l'équation de (D) à savoir
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Ainsi,
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On a finalement
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3°) Le point C(–4,3) appartient-il à cette droite ?
Dire que
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Or
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Donc, oui C est sur (D).
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Cette propriété permet de caractériser en tant que droite l'ensemble des points M(x,y) vérifiant une égalité du type ax + by + c = 0 avec (a,b) ≠ (0,0) et, de plus, permet de déterminer un vecteur directeur de cette droite.
1°) Déterminer un vecteur directeur de (D).
2x – 3y + 1 = 0 est de la forme ax +by + c = 0 avec a = 2; b = –3 et c =1.
La propriété ci-dessus permet donc d'affirmer que le vecteur
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2°) Le vecteur
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On remarque que
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3°) Quel est le coefficient de la droite (D) ?
Le coefficient directeur de (D) est connu lorsque l'équation de (D) est mise sous la forme y = mx + p appelée équation réduite de (D).
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Ainsi,
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Le vecteur
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