Vecteur directeur d'une droite, équation cartésienne de droite
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Objectif(s)
Découvrir et déterminer une équation
cartésienne de droite.
1. Équation cartésienne de droite
connaissant un point et un vecteur directeur
Dans toute cette fiche, le plan est muni d’un
repère .
a. Vecteur directeur d'une droite
Définition :
Remarques :
• Tous les vecteurs colinéaires non nuls à sont aussi vecteurs directeurs de (D) : il existe donc une infinité de vecteurs directeurs d'une droite, tous colinéaires entre eux.
• Deux droites parallèles ont des vecteurs directeurs colinéaires.
Propriété caractéristique :
La droite (D) passant par A et de vecteur directeur est l'ensemble des points M du plan vérifiant et colinéaires.
(D) est une droite, A et B sont 2
points de (D).
On appelle vecteur directeur de (D) tout vecteur non nul colinéaire à .
Autrement dit, le vecteur donne la
direction de la droite (D).On appelle vecteur directeur de (D) tout vecteur non nul colinéaire à .
Remarques :
• Tous les vecteurs colinéaires non nuls à sont aussi vecteurs directeurs de (D) : il existe donc une infinité de vecteurs directeurs d'une droite, tous colinéaires entre eux.
• Deux droites parallèles ont des vecteurs directeurs colinéaires.
Propriété caractéristique :
La droite (D) passant par A et de vecteur directeur est l'ensemble des points M du plan vérifiant et colinéaires.
b. Équation cartésienne d'une droite
Considérons une droite (D) passant par
A(xA,yA) et de
vecteur directeur .
Dire que et colinéaires
Nous venons de montrer ici que toute droite du plan admet une équation du type ax + by + c = 0 avec a et b non simultanément nuls.
On retiendra la méthode exposée puisqu'elle permet, en connaissant un point et un vecteur directeur d'une droite, de déterminer une équation cartésienne de celle-ci.
Dire que et colinéaires
Nous venons de montrer ici que toute droite du plan admet une équation du type ax + by + c = 0 avec a et b non simultanément nuls.
Cette équation est appelée
équation cartésienne de la droite
(D) ; elle lie les abscisses et ordonnées
de tout point M(x,y) de cette droite et
uniquement les points de cette droite.
On retiendra la méthode exposée puisqu'elle permet, en connaissant un point et un vecteur directeur d'une droite, de déterminer une équation cartésienne de celle-ci.
c. Application
1°) Tracer la droite (D) passant par A(–1,2)
et de vecteur directeur et en
écrire une équation
cartésienne.
On place le point A, et on applique le vecteur en ce point.
Reste à tracer la droite (D) passant par A ayant pour direction celle de .
Pour écrire une équation de (D), on reprend la méthode exposée ci-dessus dans le cas général.
M(x,y) appartient à (D) équivaut à dire et colinéaires
On peut ainsi conclure que (D) a pour équation cartésienne .
2°) Donner les coordonnées d’un point B de cette droite.
Affectons une valeur à x et déterminons la valeur correspondant à y.
Par exemple, prenons x = 1. Comme B appartient à la droite (D), ses coordonnées vérifient l'équation de (D) à savoir .
Ainsi, soit .
On a finalement et est un point de (D).
3°) Le point C(–4,3) appartient-il à cette droite ?
Dire que revient à dire que les coordonnées de C vérifient l'équation de (D).
Or
Donc, oui C est sur (D).
On place le point A, et on applique le vecteur en ce point.
Reste à tracer la droite (D) passant par A ayant pour direction celle de .
Pour écrire une équation de (D), on reprend la méthode exposée ci-dessus dans le cas général.
M(x,y) appartient à (D) équivaut à dire et colinéaires
On peut ainsi conclure que (D) a pour équation cartésienne .
2°) Donner les coordonnées d’un point B de cette droite.
Affectons une valeur à x et déterminons la valeur correspondant à y.
Par exemple, prenons x = 1. Comme B appartient à la droite (D), ses coordonnées vérifient l'équation de (D) à savoir .
Ainsi, soit .
On a finalement et est un point de (D).
3°) Le point C(–4,3) appartient-il à cette droite ?
Dire que revient à dire que les coordonnées de C vérifient l'équation de (D).
Or
Donc, oui C est sur (D).
2. Vecteur directeur d'une droite (D) connaissant une
équation cartésienne
a. Propriété
L'ensemble des points
M(x,y) tels que ax +
by + c = 0 avec (a,b) ≠
(0,0) est une droite vecteur directeur .
Cette propriété permet de caractériser en tant que droite l'ensemble des points M(x,y) vérifiant une égalité du type ax + by + c = 0 avec (a,b) ≠ (0,0) et, de plus, permet de déterminer un vecteur directeur de cette droite.
b. Exemple d'application
On considère la droite (D)
d'équation cartésienne 2x –
3y + 1 = 0.
1°) Déterminer un vecteur directeur de (D).
2x – 3y + 1 = 0 est de la forme ax +by + c = 0 avec a = 2; b = –3 et c =1.
La propriété ci-dessus permet donc d'affirmer que le vecteur est vecteur directeur de (D).
2°) Le vecteur est-il un vecteur de (D) ?
est aussi vecteur de (D) à condition que et soient colinéaires.
On remarque que donc est un vecteur directeur de (D).
3°) Quel est le coefficient de la droite (D) ?
Le coefficient directeur de (D) est connu lorsque l'équation de (D) est mise sous la forme y = mx + p appelée équation réduite de (D).
s'écrit aussi soit
Ainsi, est coefficient directeur de (D).
1°) Déterminer un vecteur directeur de (D).
2x – 3y + 1 = 0 est de la forme ax +by + c = 0 avec a = 2; b = –3 et c =1.
La propriété ci-dessus permet donc d'affirmer que le vecteur est vecteur directeur de (D).
2°) Le vecteur est-il un vecteur de (D) ?
est aussi vecteur de (D) à condition que et soient colinéaires.
On remarque que donc est un vecteur directeur de (D).
3°) Quel est le coefficient de la droite (D) ?
Le coefficient directeur de (D) est connu lorsque l'équation de (D) est mise sous la forme y = mx + p appelée équation réduite de (D).
s'écrit aussi soit
Ainsi, est coefficient directeur de (D).
L'essentiel
Toute droite du plan admet une équation de la forme
ax + by + c = 0 appelée
équation cartésienne.
Le vecteur est un vecteur directeur de cette droite. Il donne la direction de cette droite.
Le vecteur est un vecteur directeur de cette droite. Il donne la direction de cette droite.
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