Cercle trigonométrique- radian
Objectif
Repérer un point sur le cercle
trigonométrique
Découvrir une nouvelle unité : le radian.
Découvrir une nouvelle unité : le radian.
1. Cercle trigonométrique
a. Définition
Un cercle trigonométrique est un cercle de rayon
1 sur lequel on a défini un sens positif : le
sens inverse des aiguilles d’une montre.
Ce sens est appelé sens trigonométrique.
Ce sens est appelé sens trigonométrique.
b. Repérage d'un point sur le cercle
trigonométrique - rappels
(C) est le cercle trigonométrique de centre
O et de rayon 1 et (O, I, J) un repère
orthonormé du plan. Considérons la droite
tangente au cercle (C) en I et munie du
repère (I, K).
Tout point N de la droite
est repéré
par un réel x.
Par enroulement de cette droite
autour de (C),
chaque point N vient coïncider avec un point M du
cercle (C).
On dit que le réel x repère le point M, ou M est associé au réel x.
Étant donné que le cercle a pour circonférence 2π (R = 1), les réels x + 2π , x + 4π, … mais aussi x – 2π, x – 4π repèrent également le point M.
Réciproquement, à tout point M du cercle (C) on peut associer une infinité de réels de la forme x + 2kπ où k
.
Exemples :
Le point I est repéré par les réels 2kπ, le point J est repéré par les réels
.
Le point I' est repéré par les réels π + 2kπ et le point J' est repéré par les réels
avec 
.
tangente au cercle (C) en I et munie du
repère (I, K).Tout point N de la droite
est repéré
par un réel x.Par enroulement de cette droite
autour de (C),
chaque point N vient coïncider avec un point M du
cercle (C).On dit que le réel x repère le point M, ou M est associé au réel x.
Étant donné que le cercle a pour circonférence 2π (R = 1), les réels x + 2π , x + 4π, … mais aussi x – 2π, x – 4π repèrent également le point M.
Réciproquement, à tout point M du cercle (C) on peut associer une infinité de réels de la forme x + 2kπ où k
.Exemples :
Le point I est repéré par les réels 2kπ, le point J est repéré par les réels
.Le point I' est repéré par les réels π + 2kπ et le point J' est repéré par les réels
avec .
2. Une nouvelle unité de mesure : le radian
a. Définition
Soit (C) le cercle trigonométrique de
centre O.
est égale à la longueur du rayon.
L’unité radian s’écrit de façon abrégée rad.
Lorsque l’on parcourt sur (C) un arc de
cercle de longueur 1 unité, on ouvre un angle au
centre de longueur 1 radian.
Autrement dit, la longueur de l’arc
est égale à la longueur du rayon.L’unité radian s’écrit de façon abrégée rad.
b. Conversion degré - radian
Lorsque l’on parcourt sur (C) un arc de
longueur 1, on ouvre un angle de 1 radian.
Or la longueur parcourue est proportionnelle à la mesure de l’angle ouvert en radian.
Donc en parcourant une distance de π unités sur le cercle, on ouvre un angle de π radians.
Rappelons que la circonférence de (C) est 2π donc en ouvrant un demi-cercle ce qui correspond à un angle de 180°, on ouvre un angle de π radians.
D’où la correspondance : 180° = π rad.
On obtient facilement les correspondances suivantes :
; 
et 
.
Or la longueur parcourue est proportionnelle à la mesure de l’angle ouvert en radian.
Donc en parcourant une distance de π unités sur le cercle, on ouvre un angle de π radians.
Rappelons que la circonférence de (C) est 2π donc en ouvrant un demi-cercle ce qui correspond à un angle de 180°, on ouvre un angle de π radians.
D’où la correspondance : 180° = π rad.
On obtient facilement les correspondances suivantes :
; et .
c. Exemples de conversion
• Convertir 36° en radian :
Sachant que
alors
.
• Convertir
rad en degré :
Comme
alors
.
Sachant que
alors
.• Convertir
rad en degré :Comme
alors
.
L'essentiel
Tout point du cercle est repéré par une
infinité de réels de la forme 
avec
Nouvelle unité : le radian avec la correspondance 180° = π rad.
avec
Nouvelle unité : le radian avec la correspondance 180° = π rad.
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