Fonction dérivée, dérivées usuelles et opérations - Maxicours

Fonction dérivée, dérivées usuelles et opérations

1. Fonction dérivée
Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
Dire que f est dérivable sur I signifie que f est dérivable en tout réel a de I.
Autrement dit, f ' (a) existe pour tout a de I.
Dans ce cas, on peut considérer f' la fonction qui à tout réel x de I lui associe son nombre dérivé f '(x).

La fonction f ' est appelée dérivée (première) de f sur I.

Exemple :

Soit f (x) = x2 . Plaçons nous en un réel a quelconque.

Pour h ≠ 0,

Pour tout réel a, ce qui prouve que la fonction est dérivable sur et pour tout a, f ' (a) = 2a.
On emploie plutôt la variable x pour l'expression d'une fonction,
c'est pourquoi on écrira plutôt f '(x) = 2x.
2. Dérivée des fonctions usuelles
De la même façon que ci-dessus, on détermine l'expression des dérivées des fonctions usuelles que l'on consigne dans le tableau suivant :

f(x)
définie pour
x appartenant à
f '(x)
définie pour
x appartenant à
k constante réelle 0
x 1
xn où n entier naturel,

Remarques :

• La dérivabilité s'effectuant sur un intervalle, on dira que la fonction est dérivable sur et sur et non sur (qui n'est pas un intervalle mais une réunion).
• La fonction racine carrée n'est pas dérivable en 0.
3. Opérations sur les fonctions dérivables
Soient u et v, deux fonctions dérivables sur un même intervalle I.

opération dérivée
valable pour
tout x de
u + v u ' + v ' I
k × u (k constante) ku ' I
u × v u ' v + uv ' I
u2 2u'u I
v non nulle sur I I
v non nulle sur I I

4. Exemples d'utilisation
a. Premier exemple
Soit f (x) = 3x3 – 2x + 1 sur .

f est la somme de fonctions dérivables sur donc f est dérivable sur .

f '(x) = (3x3)' + (–2x)' + (1)' car (u + v)' = u' + v'
       = 3(x3)' – 2(x)' car (ku)' = ku'
       = 3 × 3x2 – 2 car (xn)' = nxn–1 pour n = 3

Ainsi, f '(x) = 9x2 – 2 pour tout x réel.
b. Second exemple
Soit sur .

g est la somme de fonctions dérivables sur donc g est dérivable sur .

car



Ainsi, pour tout .
c. Troisième exemple
Soit sur .

Comme est dérivable sur et non nulle sur , alors h est dérivable sur .

car

     

Ainsi, pour tout x réel.
d. Quatrième exemple
Soit sur .

i est le quotient de 2 fonctions dérivables avec x + 2 ≠ 0 sur donc i est dérivable sur .

car





Ainsi, pour tout x de .
e. Cinquième exemple
Soit sur .

Que vaut le nombre dérivé de j en I ?

• Dans un premier temps, on calcule j '(x).

Sur l'intervalle , est dérivable et non nulle donc j est dérivable sur
et .

• On remplace x par 1 dans j ' (x) et on obtient j ' (1) = 2.

Il n’est donc plus nécessaire de calculer le taux d’accroissement et de déterminer sa limite.

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