Fonction dérivée, dérivées usuelles et opérations
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1. Fonction dérivée
Soit f une fonction définie sur un
intervalle I.
Dire que f est dérivable sur I signifie que f est dérivable en tout réel a de I.
Autrement dit, f ' (a) existe pour tout a de I.
Dans ce cas, on peut considérer f' la fonction qui à tout réel x de I lui associe son nombre dérivé f '(x).
La fonction f ' est appelée dérivée (première) de f sur I.
Dire que f est dérivable sur I signifie que f est dérivable en tout réel a de I.
Autrement dit, f ' (a) existe pour tout a de I.
Dans ce cas, on peut considérer f' la fonction qui à tout réel x de I lui associe son nombre dérivé f '(x).
La fonction f ' est appelée dérivée (première) de f sur I.
Exemple :
Soit f (x) = x2 . Plaçons nous en un réel a quelconque.
Pour h ≠ 0,
Pour tout réel a,
ce qui prouve que la
fonction 
est dérivable sur 
et pour tout a, f ' (a) =
2a.On emploie plutôt la variable x pour l'expression d'une fonction,
c'est pourquoi on écrira plutôt f '(x) = 2x.
2. Dérivée des fonctions usuelles
De la même façon que ci-dessus, on
détermine l'expression des dérivées
des fonctions usuelles que l'on consigne dans le tableau
suivant :
Remarques :
• La dérivabilité s'effectuant sur un intervalle, on dira que la fonction
est dérivable sur
et sur 
et non sur 
(qui n'est pas un intervalle mais une
réunion).
• La fonction racine carrée n'est pas dérivable en 0.
| f(x) |
définie pour
x appartenant à
|
f '(x) |
définie pour
x appartenant à
|
| k constante réelle |
|
0 |
|
| x |
|
1 |
|
xn où n entier naturel,
|
|
|
|
|
 
|
|
 
|
|
|
|
|
Remarques :
• La dérivabilité s'effectuant sur un intervalle, on dira que la fonction
est dérivable sur
et sur et non sur (qui n'est pas un intervalle mais une
réunion).• La fonction racine carrée n'est pas dérivable en 0.
3. Opérations sur les fonctions dérivables
Soient u et v, deux fonctions
dérivables sur un même intervalle
I.
| opération | dérivée |
valable pour
tout x de
|
| u + v | u ' + v ' | I |
| k × u (k constante) | ku ' | I |
| u × v | u ' v + uv ' | I |
| u2 | 2u'u | I |
 où v
non nulle sur I
|
|
I |
 où v
non nulle sur I
|
|
I |
4. Exemples d'utilisation
a. Premier exemple
Soit f (x) = 3x3 –
2x + 1 sur 
.
f est la somme de fonctions dérivables sur
donc f est dérivable sur 
.
f '(x) = (3x3)' + (–2x)' + (1)' car (u + v)' = u' + v'
= 3(x3)' – 2(x)' car (ku)' = ku'
= 3 × 3x2 – 2 car (xn)' = nxn–1 pour n = 3
Ainsi, f '(x) = 9x2 – 2 pour tout x réel.
.f est la somme de fonctions dérivables sur
donc f est dérivable sur .f '(x) = (3x3)' + (–2x)' + (1)' car (u + v)' = u' + v'
= 3(x3)' – 2(x)' car (ku)' = ku'
= 3 × 3x2 – 2 car (xn)' = nxn–1 pour n = 3
Ainsi, f '(x) = 9x2 – 2 pour tout x réel.
b. Second exemple
Soit 
sur 
.
g est la somme de fonctions dérivables sur
donc g est dérivable sur 
.
car 
Ainsi,
pour tout 
.
sur .g est la somme de fonctions dérivables sur
donc g est dérivable sur .car Ainsi,
pour tout .
c. Troisième exemple
Soit 
sur 
.
Comme
est dérivable sur 
et non nulle sur 
,
alors h est dérivable sur 
.
car 
Ainsi,
pour tout x réel.
sur .Comme
est dérivable sur et non nulle sur ,
alors h est dérivable sur .car Ainsi,
pour tout x réel.
d. Quatrième exemple
Soit 
sur 
.
i est le quotient de 2 fonctions dérivables avec x + 2 ≠ 0 sur
donc i est dérivable sur 
.
car 
Ainsi,
pour tout x de
.
sur .i est le quotient de 2 fonctions dérivables avec x + 2 ≠ 0 sur
donc i est dérivable sur . car Ainsi,
pour tout x de
.
e. Cinquième exemple
Soit 
sur 
.
Que vaut le nombre dérivé de j en I ?
• Dans un premier temps, on calcule j '(x).
Sur l'intervalle
, 
est dérivable et non nulle donc j est
dérivable sur 
et
.
• On remplace x par 1 dans j ' (x) et on obtient j ' (1) = 2.
Il n’est donc plus nécessaire de calculer le taux d’accroissement et de déterminer sa limite.
sur .Que vaut le nombre dérivé de j en I ?
• Dans un premier temps, on calcule j '(x).
Sur l'intervalle
, est dérivable et non nulle donc j est
dérivable sur et
.• On remplace x par 1 dans j ' (x) et on obtient j ' (1) = 2.
Il n’est donc plus nécessaire de calculer le taux d’accroissement et de déterminer sa limite.
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