Fonction dérivée, dérivées usuelles et opérations
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Dire que f est dérivable sur I signifie que f est dérivable en tout réel a de I.
Autrement dit, f ' (a) existe pour tout a de I.
Dans ce cas, on peut considérer f' la fonction qui à tout réel x de I lui associe son nombre dérivé f '(x).
La fonction f ' est appelée dérivée (première) de f sur I.
Exemple :
Soit f (x) = x2 . Plaçons nous en un réel a quelconque.
Pour h ≠ 0,
Pour tout réel a,
ce qui prouve que la
fonction 
est dérivable sur 
et pour tout a, f ' (a) =
2a.On emploie plutôt la variable x pour l'expression d'une fonction,
c'est pourquoi on écrira plutôt f '(x) = 2x.
| f(x) |
définie pour
x appartenant à
|
f '(x) |
définie pour
x appartenant à
|
| k constante réelle |
|
0 |
|
| x |
|
1 |
|
xn où n entier naturel,
|
|
|
|
|
 
|
|
 
|
|
|
|
|
Remarques :
• La dérivabilité s'effectuant sur un intervalle, on dira que la fonction
est dérivable sur
et sur 
et non sur 
(qui n'est pas un intervalle mais une
réunion).• La fonction racine carrée n'est pas dérivable en 0.
| opération | dérivée |
valable pour
tout x de
|
| u + v | u ' + v ' | I |
| k × u (k constante) | ku ' | I |
| u × v | u ' v + uv ' | I |
| u2 | 2u'u | I |
 où v
non nulle sur I
|
|
I |
 où v
non nulle sur I
|
|
I |
.f est la somme de fonctions dérivables sur
donc f est dérivable sur 
.f '(x) = (3x3)' + (–2x)' + (1)' car (u + v)' = u' + v'
= 3(x3)' – 2(x)' car (ku)' = ku'
= 3 × 3x2 – 2 car (xn)' = nxn–1 pour n = 3
Ainsi, f '(x) = 9x2 – 2 pour tout x réel.
sur 
.g est la somme de fonctions dérivables sur
donc g est dérivable sur 
.
car 
Ainsi,
pour tout 
.
sur 
.Comme
est dérivable sur 
et non nulle sur 
,
alors h est dérivable sur 
.
car 
Ainsi,
pour tout x réel.
sur 
.i est le quotient de 2 fonctions dérivables avec x + 2 ≠ 0 sur
donc i est dérivable sur 
.
car 
Ainsi,
pour tout x de
.
sur 
.Que vaut le nombre dérivé de j en I ?
• Dans un premier temps, on calcule j '(x).
Sur l'intervalle
, 
est dérivable et non nulle donc j est
dérivable sur 
et
.• On remplace x par 1 dans j ' (x) et on obtient j ' (1) = 2.
Il n’est donc plus nécessaire de calculer le taux d’accroissement et de déterminer sa limite.
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