Fonction dérivée, dérivées usuelles et opérations
Dire que f est dérivable sur I signifie que f est dérivable en tout réel a de I.
Autrement dit, f ' (a) existe pour tout a de I.
Dans ce cas, on peut considérer f' la fonction qui à tout réel x de I lui associe son nombre dérivé f '(x).
La fonction f ' est appelée dérivée (première) de f sur I.
Exemple :
Soit f (x) = x2 . Plaçons nous en un réel a quelconque.
Pour h ≠ 0,

Pour tout réel a,



On emploie plutôt la variable x pour l'expression d'une fonction,
c'est pourquoi on écrira plutôt f '(x) = 2x.
f(x) |
définie pour
x appartenant à
|
f '(x) |
définie pour
x appartenant à
|
k constante réelle |
![]() |
0 |
![]() |
x |
![]() |
1 |
![]() |
xn où n entier naturel,
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() ![]() |
![]() |
![]() ![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Remarques :
• La dérivabilité s'effectuant sur un intervalle, on dira que la fonction





• La fonction racine carrée n'est pas dérivable en 0.
opération | dérivée |
valable pour
tout x de
|
u + v | u ' + v ' | I |
k × u (k constante) | ku ' | I |
u × v | u ' v + uv ' | I |
u2 | 2u'u | I |
![]() |
![]() |
I |
![]() |
![]() |
I |

f est la somme de fonctions dérivables sur


f '(x) = (3x3)' + (–2x)' + (1)' car (u + v)' = u' + v'
= 3(x3)' – 2(x)' car (ku)' = ku'
= 3 × 3x2 – 2 car (xn)' = nxn–1 pour n = 3
Ainsi, f '(x) = 9x2 – 2 pour tout x réel.


g est la somme de fonctions dérivables sur





Ainsi,




Comme







Ainsi,



i est le quotient de 2 fonctions dérivables avec x + 2 ≠ 0 sur






Ainsi,




Que vaut le nombre dérivé de j en I ?
• Dans un premier temps, on calcule j '(x).
Sur l'intervalle



et

• On remplace x par 1 dans j ' (x) et on obtient j ' (1) = 2.
Il n’est donc plus nécessaire de calculer le taux d’accroissement et de déterminer sa limite.

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