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Fonction dérivée, dérivées usuelles et opérations

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1. Fonction dérivée

Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
Dire que f est dérivable sur I signifie que f est dérivable en tout réel a de I.
Autrement dit, f ' (a) existe pour tout a de I.
Dans ce cas, on peut considérer f' la fonction qui à tout réel x de I lui associe son nombre dérivé f '(x).

La fonction f ' est appelée dérivée (première) de f sur I.

Exemple :

Soit f (x) = x² . Plaçons nous en un réel a quelconque.

Pour h ≠ 0,

Pour tout réel a,

ce qui prouve que la fonction

est dérivable sur

et pour tout a, f ' (a) = 2a.
On emploie plutôt la variable x pour l'expression d'une fonction,
c'est pourquoi on écrira plutôt f '(x) = 2x.

2. Dérivée des fonctions usuelles

De la même façon que ci-dessus, on détermine l'expression des dérivées des fonctions usuelles que l'on consigne dans le tableau suivant :

f(x)	définie pour x appartenant à	f '(x)	définie pour x appartenant à
k constante réelle		0
x		1
xⁿ où n entier naturel,

Remarques :

• La dérivabilité s'effectuant sur un intervalle, on dira que la fonction

est dérivable sur

et sur

et non sur

(qui n'est pas un intervalle mais une réunion).
• La fonction racine carrée n'est pas dérivable en 0.

3. Opérations sur les fonctions dérivables

Soient u et v, deux fonctions dérivables sur un même intervalle I.

opération	dérivée	valable pour tout x de
u + v	u ' + v '	I
k × u (k constante)	ku '	I
u × v	u ' v + uv '	I
u²	2u'u	I
où v non nulle sur I		I
où v non nulle sur I		I

4. Exemples d'utilisation

a. Premier exemple

Soit f (x) = 3x³ – 2x + 1 sur

.

f est la somme de fonctions dérivables sur

donc f est dérivable sur

.

f '(x) = (3x³)' + (–2x)' + (1)' car (u + v)' = u' + v'
= 3(x³)' – 2(x)' car (ku)' = ku'
= 3 × 3x² – 2 car (xⁿ)' = nx^n–1 pour n = 3

Ainsi, f '(x) = 9x² – 2 pour tout x réel.

b. Second exemple

Soit

sur

.

g est la somme de fonctions dérivables sur

donc g est dérivable sur

car

Ainsi,

pour tout

c. Troisième exemple

Soit

sur

.

Comme

est dérivable sur

et non nulle sur

, alors h est dérivable sur

car

Ainsi,

pour tout x réel.

d. Quatrième exemple

Soit

sur

.

i est le quotient de 2 fonctions dérivables avec x + 2 ≠ 0 sur

donc i est dérivable sur

car

Ainsi,

pour tout x de

e. Cinquième exemple

Soit

sur

.

Que vaut le nombre dérivé de j en I ?

• Dans un premier temps, on calcule j '(x).

Sur l'intervalle

est dérivable et non nulle donc j est dérivable sur

.

• On remplace x par 1 dans j ' (x) et on obtient j ' (1) = 2.

Il n’est donc plus nécessaire de calculer le taux d’accroissement et de déterminer sa limite.

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