Lycée > Premiere > Mathématiques > Fonction dérivée, dérivées usuelles et opérations

Fonction dérivée, dérivées usuelles et opérations

Fiche de cours Quiz Profs en ligne Vidéos Télécharger le pdf

Fiche de cours Quiz Profs en ligne Vidéos Télécharger
le pdf

1. Fonction dérivée

Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
Dire que f est dérivable sur I signifie que f est dérivable en tout réel a de I.
Autrement dit, f ' (a) existe pour tout a de I.
Dans ce cas, on peut considérer f' la fonction qui à tout réel x de I lui associe son nombre dérivé f '(x).

La fonction f ' est appelée dérivée (première) de f sur I.

Exemple :

Soit f (x) = x² . Plaçons nous en un réel a quelconque.

Pour h ≠ 0,

Pour tout réel a,

ce qui prouve que la fonction

est dérivable sur

et pour tout a, f ' (a) = 2a.
On emploie plutôt la variable x pour l'expression d'une fonction,
c'est pourquoi on écrira plutôt f '(x) = 2x.

2. Dérivée des fonctions usuelles

De la même façon que ci-dessus, on détermine l'expression des dérivées des fonctions usuelles que l'on consigne dans le tableau suivant :

f(x)	définie pour x appartenant à	f '(x)	définie pour x appartenant à
k constante réelle		0
x		1
xⁿ où n entier naturel,

Remarques :

• La dérivabilité s'effectuant sur un intervalle, on dira que la fonction

est dérivable sur

et sur

et non sur

(qui n'est pas un intervalle mais une réunion).
• La fonction racine carrée n'est pas dérivable en 0.

3. Opérations sur les fonctions dérivables

Soient u et v, deux fonctions dérivables sur un même intervalle I.

opération	dérivée	valable pour tout x de
u + v	u ' + v '	I
k × u (k constante)	ku '	I
u × v	u ' v + uv '	I
u²	2u'u	I
où v non nulle sur I		I
où v non nulle sur I		I

4. Exemples d'utilisation

a. Premier exemple

Soit f (x) = 3x³ – 2x + 1 sur

.

f est la somme de fonctions dérivables sur

donc f est dérivable sur

.

f '(x) = (3x³)' + (–2x)' + (1)' car (u + v)' = u' + v'
= 3(x³)' – 2(x)' car (ku)' = ku'
= 3 × 3x² – 2 car (xⁿ)' = nx^n–1 pour n = 3

Ainsi, f '(x) = 9x² – 2 pour tout x réel.

b. Second exemple

Soit

sur

.

g est la somme de fonctions dérivables sur

donc g est dérivable sur

car

Ainsi,

pour tout

c. Troisième exemple

Soit

sur

.

Comme

est dérivable sur

et non nulle sur

, alors h est dérivable sur

car

Ainsi,

pour tout x réel.

d. Quatrième exemple

Soit

sur

.

i est le quotient de 2 fonctions dérivables avec x + 2 ≠ 0 sur

donc i est dérivable sur

car

Ainsi,

pour tout x de

e. Cinquième exemple

Soit

sur

.

Que vaut le nombre dérivé de j en I ?

• Dans un premier temps, on calcule j '(x).

Sur l'intervalle

est dérivable et non nulle donc j est dérivable sur

.

• On remplace x par 1 dans j ' (x) et on obtient j ' (1) = 2.

Il n’est donc plus nécessaire de calculer le taux d’accroissement et de déterminer sa limite.

Vous avez déjà mis une note à ce cours.

Découvrez les autres cours offerts par Maxicours !

Découvrez Maxicours

Comment as-tu trouvé ce cours ?

Évalue ce cours !