Nombre dérivé d'une fonction en un point - Cours de Mathématiques Première avec Maxicours

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Nombre dérivé d'une fonction en un point

1. Vocabulaire
Soit f une fonction définie sur un intervalle ; est un réel de l’intervalle I.
Pour tout réel 
 tel que soit dans I, le quotient est appelé taux d’accroissement (ou taux de variation) entre a et a + h.

Exemple 

Soit
. Le taux de variation de f entre 1 et pour est :

.

Se poser la question "que devient le quotient t(h) lorsque h tend vers 0", c’est rechercher l’éventuelle limite de t(h) lorsque h tend vers 0 et cela s’écrit .

Exemple 
Intuitivement, lorsque h tend vers 0, 2+h se rapproche de 2.
Le taux t(h) précédent tend donc vers 2.

On écrit
.
2. Définition du nombre dérivé
Soit une fonction f définie sur I et un réel de I .
Dire que f est dérivable en signifie que le quotient  tend vers un réel lorsque h tend vers 0, ce qui s’écrit avec réel.

Ce réel noté s’appelle le nombre dérivé de f en .

Revenons à notre exemple :
Étant donné que le taux d’accroissement entre 1 et 1+h tend vers 2, alors la fonction est dérivable en et le nombre dérivé de f en 1 est 2.
On note .
3. Exemples de recherche de nombre dérivé
► A) Démontrer que la fonction est dérivable en et déterminer son nombre dérivé.

Ceci s’effectue en 2 étapes :
1) On calcule de taux d’accroissement t(h) entre -2 et -2+h pour h non nul.
2) On fait tendre le réel h vers 0.


1)

Évaluons séparément chaque quantité afin d’alléger le calcul du quotient :


Ainsi,

2)

Comme la limite est un nombre réel, alors f  est dérivable en et

► B) La fonction f définie sur par est-elle dérivable en ?

De la même façon que ci-dessus, évaluons le taux d’accroissement entre 1 et 1+h avec h réel non nul :


et

donc

qui est un réel donc oui la fonction f est dérivable en et de plus,

.

Remarque :
En posant , le taux d’accroissement de f entre et x s’écrit .
Ainsi, dire que f est dérivable en signifie que réel et

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