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Nombre dérivé d'une fonction en un point

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1. Vocabulaire

Soit f une fonction définie sur un intervalle I ;

est un réel de l’intervalle I.
Pour tout réel

tel que

soit dans I, le quotient

est appelé taux d’accroissement (ou taux de variation) entre a et a + h.

Exemple

Soit

. Le taux de variation de f entre 1 et

pour

est :

Se poser la question "que devient le quotient t(h) lorsque h tend vers 0", c’est rechercher l’éventuelle limite de t(h) lorsque h tend vers 0 et cela s’écrit

Exemple
Intuitivement, lorsque h tend vers 0, 2+h se rapproche de 2.
Le taux t(h) précédent tend donc vers 2.

On écrit

2. Définition du nombre dérivé

Soit une fonction f définie sur I et

un réel de I .
Dire que f est dérivable en

signifie que le quotient

tend vers un réel

lorsque h tend vers 0, ce qui s’écrit

avec

réel.

Ce réel

noté

s’appelle le nombre dérivé de f en

.

Revenons à notre exemple :
Étant donné que le taux d’accroissement entre 1 et 1+h tend vers 2, alors la fonction

est dérivable en

et le nombre dérivé de f en 1 est 2.
On note

3. Exemples de recherche de nombre dérivé

► A) Démontrer que la fonction est dérivable en et déterminer son nombre dérivé.

Ceci s’effectue en 2 étapes :
1) On calcule de taux d’accroissement t(h) entre -2 et -2+h pour h non nul.
2) On fait tendre le réel h vers 0.

1)

Évaluons séparément chaque quantité afin d’alléger le calcul du quotient :

Ainsi,

Comme la limite est un nombre réel, alors f est dérivable en

► B) La fonction f définie sur par est-elle dérivable en ?

De la même façon que ci-dessus, évaluons le taux d’accroissement entre 1 et 1+h avec h réel non nul :