Nombre dérivé d'une fonction en un point
1. Vocabulaire
Soit f une fonction
définie sur un intervalle I ;
est un réel de
l’intervalle I.
Pour tout réel
tel que 
soit dans I, le quotient
est appelé taux
d’accroissement (ou taux de variation) entre
a et a + h.
est un réel de
l’intervalle I.Pour tout réel
tel que soit dans I, le quotient
est appelé taux
d’accroissement (ou taux de variation) entre
a et a + h.
Exemple
Soit
. Le taux de
variation de f entre 1 et 
pour 
est :
.
Se poser la question "que
devient le quotient t(h) lorsque h tend
vers 0", c’est rechercher l’éventuelle
limite de t(h) lorsque h tend vers 0 et
cela s’écrit 
.
.
Exemple
Intuitivement, lorsque h tend vers 0, 2+h se rapproche de 2.
Le taux t(h) précédent tend donc vers 2.
On écrit
.
2. Définition du nombre dérivé
Soit une fonction f définie sur I et
un réel de I
.
Dire que f est dérivable en
signifie que le quotient 
tend vers un réel
lorsque h tend vers 0, ce qui
s’écrit 
avec 
réel.
un réel de I
.Dire que f est dérivable en
signifie que le quotient tend vers un réel
lorsque h tend vers 0, ce qui
s’écrit avec réel.
Ce réel
noté 
s’appelle le nombre
dérivé de f en 
.Revenons à notre exemple :
Étant donné que le taux d’accroissement entre 1 et 1+h tend vers 2, alors la fonction
est dérivable en 
et le nombre
dérivé de f en 1 est 2.On note
.
3. Exemples de recherche de nombre dérivé
► A) Démontrer que la fonction
est dérivable en 
et déterminer son
nombre dérivé.
Ceci s’effectue en 2 étapes :
1) On calcule de taux d’accroissement t(h) entre -2 et -2+h pour h non nul.
2) On fait tendre le réel h vers 0.
1)
Évaluons séparément chaque quantité afin d’alléger le calcul du quotient :
Ainsi,
2)
Comme la limite est un nombre réel, alors f est dérivable en
et
► B) La fonction f définie sur
par 
est-elle dérivable en
?
De la même façon que ci-dessus, évaluons le taux d’accroissement entre 1 et 1+h avec h réel non nul :
et 
donc
qui est un réel donc oui la
fonction f est dérivable en 
et de plus,
.
est dérivable en et déterminer son
nombre dérivé.Ceci s’effectue en 2 étapes :
1) On calcule de taux d’accroissement t(h) entre -2 et -2+h pour h non nul.
2) On fait tendre le réel h vers 0.
1)
Évaluons séparément chaque quantité afin d’alléger le calcul du quotient :
Ainsi,
2)
Comme la limite est un nombre réel, alors f est dérivable en
et
► B) La fonction f définie sur
par est-elle dérivable en
?De la même façon que ci-dessus, évaluons le taux d’accroissement entre 1 et 1+h avec h réel non nul :
et donc
qui est un réel donc oui la
fonction f est dérivable en et de plus,.
Remarque :
En posant
, le taux d’accroissement
de f entre 
et x s’écrit
.
Ainsi, dire que f est dérivable en
signifie que 
réel et 
En posant
, le taux d’accroissement
de f entre et x s’écrit
.Ainsi, dire que f est dérivable en
signifie que réel et
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