Tangente à la courbe d'une fonction en un point - Maxicours

Tangente à la courbe d'une fonction en un point

Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
On appelle (C) sa courbe dans un repère orthogonal.

1. Coefficient directeur d'une sécante
La droite passant par 2 points distincts A et M de la courbe (C) de f est appelée sécante à la courbe de f en A et en M.
Le coefficient directeur de cette sécante vaut .
En posant et pour h non nul, ce coefficient directeur s'écrit , et on reconnait ici le taux d'accroissement de f entre a et a + h.

2. Tangente à la courbe de f
Dire que f est dérivable en a signifie que le coefficient directeur des sécantes (AM) tend vers un réel correspondant au coefficient directeur de « la position limite » de ces sécantes.
On appelle tangente à la courbe de f au point A la droite passant par A et de coefficient directeur .
3. Lecture graphique du nombre dérivé
Exemple :
Sur la courbe ci-dessous, déterminer f '(–1), f '(0) puis f '(–2).

Rappel : le nombre dérivé de f en a correspond au coefficient directeur de la tangente en A(a, f(a)).

En ce qui concerne f '(–1), on se place au point A d'abscisse (–1). La tangente y est horizontale, symbolisée par une double flèche. Cela signifie que le nombre dérivé en a = –1 est nul, autrement dit f '(–1) = 0.

Pour lire graphiquement f '(0), on lit le coefficient directeur de la tangente en B.

Pour cela, on peut :
• lire les coordonnées d'un autre point C de la droite et calculer le coefficient directeur .

Ainsi, f '(0) = –1,5.

• En partant de A, on décale de 1 unité en abscisse et on décale de 1,5 unités en ordonnée en descendant. Ainsi, f '(0) = –1,5.

De la même façon que ci-dessus, en décalant de 1 unité en abscisse à partir du point d'abscisse (–2), on rejoint la droite en décalant de 4,5 unités en montant. Ainsi, f '(–2) = 4,5.




 


4. Équation générale d'une tangente
Soit f une fonction dérivable en un réel a.
La tangente à la courbe de f au point A(a, f(a)) a pour équation

Preuve :
La tangente (T) au point A a pour équation y = mx + p et a pour coefficient directeur f '(a).
En remplaçant, (T) : y = f '(a)x + p.
Le point A(a, f(a)) appartient à cette tangente donc ses coordonnées vérifient l'équation de (T) soit , ce qui donne .
Ainsi, en réinjectant dans l'équation de (T) on obtient ce qui se retient sous la forme .

Application :
Écrire une équation de la tangente (T) à la courbe de f au point A(1,–3) sachant que f '(1) = 2.

La propriété ci-dessus permet d'affirmer que (T) a pour équation .
Dans le cas présent a = 1, f(1) = –3 et f '(1) = 2.
Ainsi, (T) a pour équation soit y = 2x – 5.

Vous avez déjà mis une note à ce cours.

Découvrez les autres cours offerts par Maxicours !

Découvrez Maxicours

Comment as-tu trouvé ce cours ?

Évalue ce cours !

 

Découvrez
Maxicours

Des profs en ligne

Géographie

Des profs en ligne

  • 6j/7 de 17h à 20h
  • Par chat, audio, vidéo
  • Sur les 10 matières principales

Des ressources riches

  • Fiches, vidéos de cours
  • Exercices & corrigés
  • Modules de révisions Bac et Brevet

Des outils ludiques

  • Coach virtuel
  • Quiz interactifs
  • Planning de révision

Des tableaux de bord

  • Suivi de la progression
  • Score d’assiduité
  • Une interface Parents

En poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l'utilisation de Cookies ou autres traceurs pour améliorer et personnaliser votre navigation sur le site, réaliser des statistiques et mesures d'audiences, vous proposer des produits et services ciblés et adaptés à vos centres d'intérêt et vous offrir des fonctionnalités relatives aux réseaux et médias sociaux.