Tangente à la courbe d'une fonction en un point
Soit f une fonction définie sur un intervalle
I.
On appelle (C) sa courbe dans un repère orthogonal.
On appelle (C) sa courbe dans un repère orthogonal.
1. Coefficient directeur d'une sécante
La droite passant par 2 points distincts A et
M de la courbe (C) de f est
appelée sécante à la courbe de
f en A et en M.
Le coefficient directeur de cette sécante
vaut 
.En posant
et
pour
h non nul, ce coefficient directeur s'écrit
, et
on reconnait ici le taux d'accroissement de f entre
a et a + h.
2. Tangente à la courbe de f
Dire que f est dérivable en a signifie
que le coefficient directeur des sécantes
(AM) tend vers un
réel 
correspondant au coefficient directeur de « la
position limite » de ces sécantes.
correspondant au coefficient directeur de « la
position limite » de ces sécantes.
On appelle tangente à la courbe de f au
point A la droite passant par A et de
coefficient directeur 
.
.
3. Lecture graphique du nombre dérivé
Exemple :
Sur la courbe ci-dessous, déterminer f '(–1), f '(0) puis f '(–2).
Rappel : le nombre dérivé de f en a correspond au coefficient directeur de la tangente en A(a, f(a)).
En ce qui concerne f '(–1), on se place au point A d'abscisse (–1). La tangente y est horizontale, symbolisée par une double flèche. Cela signifie que le nombre dérivé en a = –1 est nul, autrement dit f '(–1) = 0.
Pour lire graphiquement f '(0), on lit le coefficient directeur de la tangente en B.
Pour cela, on peut :
• lire les coordonnées d'un autre point C de la droite et calculer le coefficient directeur
.
Ainsi, f '(0) = –1,5.
• En partant de A, on décale de 1 unité en abscisse et on décale de 1,5 unités en ordonnée en descendant. Ainsi, f '(0) = –1,5.
De la même façon que ci-dessus, en décalant de 1 unité en abscisse à partir du point d'abscisse (–2), on rejoint la droite en décalant de 4,5 unités en montant. Ainsi, f '(–2) = 4,5.
Sur la courbe ci-dessous, déterminer f '(–1), f '(0) puis f '(–2).
Rappel : le nombre dérivé de f en a correspond au coefficient directeur de la tangente en A(a, f(a)).
En ce qui concerne f '(–1), on se place au point A d'abscisse (–1). La tangente y est horizontale, symbolisée par une double flèche. Cela signifie que le nombre dérivé en a = –1 est nul, autrement dit f '(–1) = 0.
Pour lire graphiquement f '(0), on lit le coefficient directeur de la tangente en B.
Pour cela, on peut :
• lire les coordonnées d'un autre point C de la droite et calculer le coefficient directeur
.Ainsi, f '(0) = –1,5.
• En partant de A, on décale de 1 unité en abscisse et on décale de 1,5 unités en ordonnée en descendant. Ainsi, f '(0) = –1,5.
De la même façon que ci-dessus, en décalant de 1 unité en abscisse à partir du point d'abscisse (–2), on rejoint la droite en décalant de 4,5 unités en montant. Ainsi, f '(–2) = 4,5.
4. Équation générale d'une tangente
Soit f une fonction dérivable en un
réel a.
La tangente à la courbe de f au point A(a, f(a)) a pour équation
La tangente à la courbe de f au point A(a, f(a)) a pour équation
Preuve :
La tangente (T) au point A a pour équation y = mx + p et a pour coefficient directeur f '(a).
En remplaçant, (T) : y = f '(a)x + p.
Le point A(a, f(a)) appartient à cette tangente donc ses coordonnées vérifient l'équation de (T) soit
, ce qui donne 
.Ainsi, en réinjectant dans l'équation de (T) on obtient ce qui se retient sous la forme
.Application :
Écrire une équation de la tangente (T) à la courbe de f au point A(1,–3) sachant que f '(1) = 2.
La propriété ci-dessus permet d'affirmer que (T) a pour équation
.Dans le cas présent a = 1, f(1) = –3 et f '(1) = 2.
Ainsi, (T) a pour équation
soit y = 2x – 5.
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