Les fonctions racine carrée et valeur absolue
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Objectif
Aux fonctions carrées et inverses vues en seconde
viennent s’ajouter deux autres fonctions de
référence : la fonction racine carrée et
la fonction valeur absolue.
1. La fonction racine carrée
Définition :
La fonction racine carrée est la fonction f
définie sur par
.
a. Sens de variation
La fonction racine carrée est croissante
sur .
Autrement dit, plus x augmente, plus sa racine
carrée augmente.
Preuve :
Considérons 2 réels a et b de tels que et comparons et en étudiant le signe de la différence :
en multipliant en haut et en bas par qui est non nul
Ainsi,
Or donc et d'où c'est à dire .
Ce qui prouve que la fonction racine carrée est croissante (voire strictement croissante) sur .
b. Courbe représentative
Remarque :
On reconnaît ici une « demi-parabole ». En effet, équivaut à dire que avec .
2. La fonction valeur absolue
Définition :
Étant donné un réel x, la
valeur absolue de x vaut
• x si
• (–x) si
• x si
• (–x) si
La valeur absolue de x se note . C’est un réel toujours positif.
La fonction valeur absolue est la fonction définie
sur par .
a. Sens de variation
La fonction valeur absolue est croissante sur
et décroissante sur .
Preuve :
Rappelons que lorsque
lorsque
Il s'agit bien d'une seule fonction mais qui prend 2 expressions différentes suivant les valeurs de x.
Or est une fonction affine, croissante sur donc sur et est une fonction affine, décroissante sur donc sur .
Lien entre la valeur absolue et la racine
carrée :
Pour tout x réel,
Pour tout x réel,
c’est-à-dire pour et pour
Un petit exemple pour comprendre la nécessité de prendre la valeur absolue de x :
b. Courbe représentative
3. Comparaison des fonctions de références
Comparaison de x, x2, , pour .
Pour tout ,
Pour tout ,
Pour tout ,
Preuve :
Comparons dans un premier temps x et x2 pour .
Pour comparer deux nombres, une méthode consiste à étudier le signe de la différence.
Or .
Comme , alors pour
pour
Ainsi, pour et pour .
Maintenant, comparons et x.
Pour cela, nous allons utiliser le résultat précédent et le fait que la racine carrée est croissante sur les nombres positifs.
Pour : , donc , d'où (lorsque ).
Pour : donc , d'où .
Interprétation graphique :
Sur la courbe d’équation y = x est au dessus de la courbe d’équation y = x2 et en dessous de la courbe d’équation .
Sur la courbe d’équation y = x est au dessus de la courbe d’équation et en dessous de la courbe d’équation y = x2 .
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