Les fonctions racine carrée et valeur absolue
Objectif
Aux fonctions carrées et inverses vues en seconde
viennent s’ajouter deux autres fonctions de
référence : la fonction racine carrée et
la fonction valeur absolue.
1. La fonction racine carrée
Définition :
La fonction racine carrée est la fonction f
définie sur
par
.


a. Sens de variation
La fonction racine carrée est croissante
sur
.

Autrement dit, plus x augmente, plus sa racine
carrée augmente.
Preuve :
Considérons 2 réels a et b de







Ainsi,

Or





Ce qui prouve que la fonction racine carrée est croissante (voire strictement croissante) sur

b. Courbe représentative

Remarque :
On reconnaît ici une « demi-parabole ». En effet,



2. La fonction valeur absolue
Définition :
Étant donné un réel x, la
valeur absolue de x vaut
• x si
• (–x) si
• x si

• (–x) si

La valeur absolue de x se note

La fonction valeur absolue est la fonction définie
sur
par
.


a. Sens de variation
La fonction valeur absolue est croissante sur

et décroissante sur
.



Preuve :
Rappelons que




Il s'agit bien d'une seule fonction mais qui prend 2 expressions différentes suivant les valeurs de x.
Or






Lien entre la valeur absolue et la racine
carrée :
Pour tout x réel,
Pour tout x réel,

c’est-à-dire




Un petit exemple pour comprendre la nécessité de prendre la valeur absolue de x :

b. Courbe représentative

3. Comparaison des fonctions de références
Comparaison de x, x2,
, pour
.


Pour tout
, 
Pour tout
,


Pour tout


Preuve :
Comparons dans un premier temps x et x2 pour

Pour comparer deux nombres, une méthode consiste à étudier le signe de la différence.
Or

Comme





Ainsi,




Maintenant, comparons

Pour cela, nous allons utiliser le résultat précédent et le fait que la racine carrée est croissante sur les nombres positifs.
Pour






Pour




Interprétation graphique :
Sur


Sur




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