Les fonctions racine carrée et valeur absolue - Maxicours

Les fonctions racine carrée et valeur absolue

Objectif
Aux fonctions carrées et inverses vues en seconde viennent s’ajouter deux autres fonctions de référence : la fonction racine carrée et la fonction valeur absolue.
1. La fonction racine carrée
Définition :
La fonction racine carrée est la fonction f définie sur par .
a. Sens de variation
La fonction racine carrée est croissante sur .
Autrement dit, plus x augmente, plus sa racine carrée augmente.

Preuve :

Considérons 2 réels a et b de tels que et comparons et en étudiant le signe de la différence :

en multipliant en haut et en bas par qui est non nul

Ainsi,

Or donc et d'où c'est à dire .

Ce qui prouve que la fonction racine carrée est croissante (voire strictement croissante) sur .

b. Courbe représentative


Remarque :
On reconnaît ici une « demi-parabole ». En effet, équivaut à dire que avec .
2. La fonction valeur absolue
Définition :
Étant donné un réel x, la valeur absolue de x vaut
x si
• (–x) si

La valeur absolue de x se note . C’est un réel toujours positif.
La fonction valeur absolue est la fonction définie sur par .

a. Sens de variation
La fonction valeur absolue est croissante sur et décroissante sur .

Preuve :

Rappelons que lorsque
                    lorsque

Il s'agit bien d'une seule fonction mais qui prend 2 expressions différentes suivant les valeurs de x.

Or est une fonction affine, croissante sur donc sur et est une fonction affine, décroissante sur donc sur .


Lien entre la valeur absolue et la racine carrée :

Pour tout x réel,

c’est-à-dire pour et pour

Un petit exemple pour comprendre la nécessité de prendre la valeur absolue de x :



b. Courbe représentative

3. Comparaison des fonctions de références
Comparaison de x, x2, , pour .
 
Pour tout ,

Pour tout ,

Preuve :

Comparons dans un premier temps x et x2 pour .
Pour comparer deux nombres, une méthode consiste à étudier le signe de la différence.
Or .

Comme , alors pour
                           pour

Ainsi, pour et pour .

Maintenant, comparons et x.

Pour cela, nous allons utiliser le résultat précédent et le fait que la racine carrée est croissante sur les nombres positifs.

Pour : , donc , d'où (lorsque ).
Pour : donc , d'où .


Interprétation graphique :

Sur la courbe d’équation y = x est au dessus de la courbe d’équation y = x2 et en dessous de la courbe d’équation .

Sur la courbe d’équation y = x est au dessus de la courbe d’équation et en dessous de la courbe d’équation y = x2 .



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