Signe du trinôme du second degré
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Objectif
Déterminer le signe du trinôme suivant les
valeurs de x, c’est déterminer pour
quelles valeurs de x ce trinôme est un
nombre positif, un nombre négatif ou nul.
1. Signe de ax² + bx + c suivant les valeurs de x
• si , le trinôme est du
signe de a pour tout x.
• si , le trinôme est du signe de a pour tout et s’annule en .
• si , le trinôme est du signe de a à l’extérieur des racines et du signe de -a entre les racines.
• si , le trinôme est du signe de a pour tout et s’annule en .
• si , le trinôme est du signe de a à l’extérieur des racines et du signe de -a entre les racines.
Preuve :
• si , .
Ce qui se situe dans le crochet est un nombre strictement positif. Le signe du trinôme est donc celui de a.
• si , . Comme alors le trinôme est du
signe de a pour tout et s’annule en avec .
• si , .
Pour étudier le signe du produit, on dresse un tableau de signe.
En supposant par exemple que il en ressort que si et si .
Par multiplication par a, est du signe de a si (ce qui correspond à l’extérieur des racines) et est du signe de -a si (à l’intérieur des racines).
2. Exemples
a. Etudier le signe de 2x² + 3x +1 suivant les
valeurs de x
est
un trinôme du second degré avec a =
2, b = 3 et c = 1.
Ainsi, le trinôme possède 2 racines :
et .
Le théorème permet d’affirmer que le trinôme est du signe de a à l’extérieur des racines.
a = 2 > 0.
On peut résumer ainsi la situation :
Ainsi on peut conclure que :
Ainsi, le trinôme possède 2 racines :
et .
Le théorème permet d’affirmer que le trinôme est du signe de a à l’extérieur des racines.
a = 2 > 0.
On peut résumer ainsi la situation :
Ainsi on peut conclure que :
pour | |
pour | |
pour ou |
b. Résoudre l'inéquation -9x² -
12x +5 <=0
Résoudre cette inéquation, c’est
déterminer pour quelles valeurs de x le
trinôme -9x² -12x + 5 est
un nombre négatif ou nul.
Cela revient donc, dans un premier temps, à déterminer le signe de -9x² -12x + 5.
Les 2 racines sont :
Le trinôme est du signe de a à l’extérieur des racines.
Dans ce trinôme : d’où le tableau de signe suivant :
Ainsi, l’ensemble des solutions est : .
Cela revient donc, dans un premier temps, à déterminer le signe de -9x² -12x + 5.
Les 2 racines sont :
Le trinôme est du signe de a à l’extérieur des racines.
Dans ce trinôme : d’où le tableau de signe suivant :
Ainsi, l’ensemble des solutions est : .
c. Déterminer le signe de 3x² - 8x +7
suivant les valeurs de x
De même, on reconnaît 3x² -
8x + 7 en tant que trinôme où
a = 3, b = -8 et c = 7.
.
Le théorème permet d’affirmer que le trinôme est du signe de sur .
or donc, pour tout x réel, le trinôme est strictement positif.
.
Le théorème permet d’affirmer que le trinôme est du signe de sur .
or donc, pour tout x réel, le trinôme est strictement positif.
d. Résoudre x² - x + ¼ <= 0
Comme dans l’exemple b), il s’agit dans un
premier temps de déterminer le signe du
trinôme .
.
Le trinôme admet donc une racine .
Le théorème permet d'affirmer que le trinôme est du signe de pour tout et s’annule en .
Or donc pour tout x.
On nous demande de donner les réels x vérifiant , il n’y en a qu’un : .
Ainsi, .
Remarque :
Si l’on s’aperçoit tout de suite que , il suffit d’utiliser le fait qu’un carré est toujours positif ou nul (pour une valeur de x que l'on calcule).
.
Le trinôme admet donc une racine .
Le théorème permet d'affirmer que le trinôme est du signe de pour tout et s’annule en .
Or donc pour tout x.
On nous demande de donner les réels x vérifiant , il n’y en a qu’un : .
Ainsi, .
Remarque :
Si l’on s’aperçoit tout de suite que , il suffit d’utiliser le fait qu’un carré est toujours positif ou nul (pour une valeur de x que l'on calcule).
3. Interprétation graphique
• Les solutions éventuelles de
l’équation correspondent aux abscisses des éventuels
points d’intersection entre la parabole
d’équation et l’axe des abscisses (Ox).
• La position de la parabole d’équation par rapport à l’axe (Ox) correspond au signe du trinôme : si la parabole est au dessus de l'axe (Ox), le trinôme est positif ; si la parabole est en dessous de l’axe (Ox), le trinôme est négatif.
Cas où a > 0 , parabole tournée vers le haut.
Cas où a < 0, parabole tournée vers le bas.
• La position de la parabole d’équation par rapport à l’axe (Ox) correspond au signe du trinôme : si la parabole est au dessus de l'axe (Ox), le trinôme est positif ; si la parabole est en dessous de l’axe (Ox), le trinôme est négatif.
Cas où a > 0 , parabole tournée vers le haut.
Cas où a < 0, parabole tournée vers le bas.
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