Signe du trinôme du second degré
Objectif
Déterminer le signe du trinôme
suivant les
valeurs de x, c’est déterminer pour
quelles valeurs de x ce trinôme est un
nombre positif, un nombre négatif ou nul.

1. Signe de ax² + bx + c suivant les valeurs de x
• si
, le trinôme est du
signe de a pour tout x.
• si
, le trinôme est du
signe de a pour tout
et s’annule en
.
• si
, le trinôme est du signe de a à
l’extérieur des racines et du signe de
-a entre les racines.

• si



• si

Preuve :
• si


Ce qui se situe dans le crochet est un nombre strictement positif. Le signe du trinôme est donc celui de a.
• si



signe de a pour tout



• si


Pour étudier le signe du produit, on dresse un tableau de signe.
En supposant par exemple que





Par multiplication par a,




2. Exemples
a. Etudier le signe de 2x² + 3x +1 suivant les
valeurs de x


Ainsi, le trinôme possède 2 racines :


Le théorème permet d’affirmer que le trinôme est du signe de a à l’extérieur des racines.
a = 2 > 0.
On peut résumer ainsi la situation :

Ainsi on peut conclure que :
![]() |
pour ![]() |
![]() |
pour ![]() |
![]() |
pour ![]() ![]() |
b. Résoudre l'inéquation -9x² -
12x +5 <=0
Résoudre cette inéquation, c’est
déterminer pour quelles valeurs de x le
trinôme -9x² -12x + 5 est
un nombre négatif ou nul.
Cela revient donc, dans un premier temps, à déterminer le signe de -9x² -12x + 5.

Les 2 racines sont :
Le trinôme est du signe de a à l’extérieur des racines.
Dans ce trinôme :
d’où le tableau de signe suivant :

Ainsi, l’ensemble des solutions est :
.
Cela revient donc, dans un premier temps, à déterminer le signe de -9x² -12x + 5.

Les 2 racines sont :
![]() |
![]() |
Le trinôme est du signe de a à l’extérieur des racines.
Dans ce trinôme :


Ainsi, l’ensemble des solutions est :

c. Déterminer le signe de 3x² - 8x +7
suivant les valeurs de x
De même, on reconnaît 3x² -
8x + 7 en tant que trinôme où
a = 3, b = -8 et c = 7.
.
Le théorème permet d’affirmer que le trinôme est du signe de
sur
.
or
donc, pour tout x réel, le trinôme
est strictement positif.

Le théorème permet d’affirmer que le trinôme est du signe de


or

d. Résoudre x² - x + ¼ <= 0
Comme dans l’exemple b), il s’agit dans un
premier temps de déterminer le signe du
trinôme
.
.
Le trinôme admet donc une racine
.
Le théorème permet d'affirmer que le trinôme est du signe de
pour tout
et s’annule en
.
Or
donc
pour tout x.
On nous demande de donner les réels x vérifiant
, il n’y en a qu’un
:
.
Ainsi,
.
Remarque :
Si l’on s’aperçoit tout de suite que
, il suffit d’utiliser le fait qu’un
carré est toujours positif ou nul (pour une valeur
de x que l'on calcule).


Le trinôme admet donc une racine

Le théorème permet d'affirmer que le trinôme est du signe de



Or


On nous demande de donner les réels x vérifiant


Ainsi,

Remarque :
Si l’on s’aperçoit tout de suite que

3. Interprétation graphique
• Les solutions éventuelles de
l’équation
correspondent aux abscisses des éventuels
points d’intersection entre la parabole
d’équation
et l’axe des abscisses (Ox).
• La position de la parabole d’équation
par rapport à l’axe (Ox) correspond au
signe du trinôme
: si la parabole est au dessus de l'axe (Ox), le
trinôme est positif ; si la parabole est en dessous
de l’axe (Ox), le trinôme est
négatif.
Cas où a > 0 , parabole tournée vers le haut.

Cas où a < 0, parabole tournée vers le bas.



• La position de la parabole d’équation


Cas où a > 0 , parabole tournée vers le haut.

Cas où a < 0, parabole tournée vers le bas.


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