Signe du trinôme du second degré - Maxicours

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Signe du trinôme du second degré

Objectif
Déterminer le signe du trinôme suivant les valeurs de x, c’est déterminer pour quelles valeurs de x ce trinôme est un nombre positif, un nombre négatif ou nul.
1. Signe de ax² + bx + c suivant les valeurs de x
• si , le trinôme est du signe de a pour tout x.
• si , le trinôme est du signe de a pour tout et s’annule en .
• si , le trinôme est du signe de a à l’extérieur des racines et du signe de -a entre les racines.

Preuve :

• si , .

Ce qui se situe dans le crochet est un nombre strictement positif. Le signe du trinôme est donc celui de a.

• si , . Comme alors le trinôme est du
signe de a pour tout et s’annule en avec .

• si , .

Pour étudier le signe du produit, on dresse un tableau de signe.

En supposant par exemple que il en ressort que si et si .

Par multiplication par a, est du signe de a si (ce qui correspond à l’extérieur des racines) et est du signe de -a si (à l’intérieur des racines).


2. Exemples
a. Etudier le signe de 2x² + 3x +1 suivant les valeurs de x
est un trinôme du second degré avec a = 2, b = 3 et c = 1.



Ainsi, le trinôme possède 2 racines :

et .

Le théorème permet d’affirmer que le trinôme est du signe de a à l’extérieur des racines.
a = 2 > 0.

On peut résumer ainsi la situation :


Ainsi on peut conclure que :
pour  
pour  
pour     ou  

b. Résoudre l'inéquation -9x² - 12x +5 <=0
Résoudre cette inéquation, c’est déterminer pour quelles valeurs de x le trinôme  -9x² -12x + 5 est un nombre négatif ou nul.
Cela revient donc, dans un premier temps, à déterminer le signe de  -9x² -12x + 5.



Les 2 racines sont :

Le trinôme est du signe de a à l’extérieur des racines.
Dans ce trinôme : d’où le tableau de signe suivant :



Ainsi, l’ensemble des solutions est :  .
c. Déterminer le signe de 3x² - 8x +7 suivant les valeurs de x
De même, on reconnaît 3x² - 8x + 7 en tant que trinôme où a = 3, b = -8 et c = 7.
.

Le théorème permet d’affirmer que le trinôme est du signe de sur .

or donc, pour tout x réel, le trinôme est strictement positif.
d. Résoudre x² - x + ¼ <= 0
Comme dans l’exemple b), il s’agit dans un premier temps de déterminer le signe du trinôme .
.

Le trinôme admet donc une racine .

Le théorème permet d'affirmer que le trinôme est du signe de pour tout et s’annule en .
Or donc pour tout x.
On nous demande de donner les réels x vérifiant , il n’y en a qu’un : .
Ainsi, .

Remarque :
Si l’on s’aperçoit tout de suite que , il suffit d’utiliser le fait qu’un carré est toujours positif ou nul (pour une valeur de x que l'on calcule).
3. Interprétation graphique
• Les solutions éventuelles de l’équation correspondent aux abscisses des éventuels points d’intersection entre la parabole d’équation et l’axe des abscisses (Ox).

• La position de la parabole d’équation par rapport à l’axe (Ox) correspond au signe du trinôme : si la parabole est au dessus de l'axe (Ox), le trinôme est positif ; si la parabole est en dessous de l’axe (Ox), le trinôme est négatif.


Cas où a > 0 , parabole tournée vers le haut.



Cas où a < 0, parabole tournée vers le bas.



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