Signe du trinôme du second degré
Objectif
Déterminer le signe du trinôme 
suivant les
valeurs de x, c’est déterminer pour
quelles valeurs de x ce trinôme est un
nombre positif, un nombre négatif ou nul.
suivant les
valeurs de x, c’est déterminer pour
quelles valeurs de x ce trinôme est un
nombre positif, un nombre négatif ou nul.
1. Signe de ax² + bx + c suivant les valeurs de x
• si 
, le trinôme est du
signe de a pour tout x.
• si
, le trinôme est du
signe de a pour tout 
et s’annule en 
.
• si
, le trinôme est du signe de a à
l’extérieur des racines et du signe de
-a entre les racines.
, le trinôme est du
signe de a pour tout x.• si
, le trinôme est du
signe de a pour tout
et s’annule en .• si
, le trinôme est du signe de a à
l’extérieur des racines et du signe de
-a entre les racines.
Preuve :
• si
,
.Ce qui se situe dans le crochet est un nombre strictement positif. Le signe du trinôme est donc celui de a.
• si
,
. Comme
alors le
trinôme est dusigne de a pour tout
et
s’annule en 
avec 
.• si
, 
.Pour étudier le signe du produit, on dresse un tableau de signe.
En supposant par exemple que
il
en ressort que 
si
et 
si
.Par multiplication par a,
est du
signe de a si 
(ce
qui correspond à l’extérieur des
racines) et est du signe de -a si 
(à
l’intérieur des racines).
2. Exemples
a. Etudier le signe de 2x² + 3x +1 suivant les
valeurs de x
est
un trinôme du second degré avec a =
2, b = 3 et c = 1.
Ainsi, le trinôme possède 2 racines :
et
.Le théorème permet d’affirmer que le trinôme est du signe de a à l’extérieur des racines.
a = 2 > 0.
On peut résumer ainsi la situation :
Ainsi on peut conclure que :
|
pour 
|
|
pour 
|
|
pour  ou 
|
b. Résoudre l'inéquation -9x² -
12x +5 <=0
Résoudre cette inéquation, c’est
déterminer pour quelles valeurs de x le
trinôme -9x² -12x + 5 est
un nombre négatif ou nul.
Cela revient donc, dans un premier temps, à déterminer le signe de -9x² -12x + 5.
Les 2 racines sont :
Le trinôme est du signe de a à l’extérieur des racines.
Dans ce trinôme :
d’où le tableau de signe suivant :
Ainsi, l’ensemble des solutions est :
.
Cela revient donc, dans un premier temps, à déterminer le signe de -9x² -12x + 5.
Les 2 racines sont :
|
|
Le trinôme est du signe de a à l’extérieur des racines.
Dans ce trinôme :
d’où le tableau de signe suivant :Ainsi, l’ensemble des solutions est :
.
c. Déterminer le signe de 3x² - 8x +7
suivant les valeurs de x
De même, on reconnaît 3x² -
8x + 7 en tant que trinôme où
a = 3, b = -8 et c = 7.
.
Le théorème permet d’affirmer que le trinôme est du signe de
sur 
.
or
donc, pour tout x réel, le trinôme
est strictement positif.
.Le théorème permet d’affirmer que le trinôme est du signe de
sur .or
donc, pour tout x réel, le trinôme
est strictement positif.
d. Résoudre x² - x + ¼ <= 0
Comme dans l’exemple b), il s’agit dans un
premier temps de déterminer le signe du
trinôme 
.
.
Le trinôme admet donc une racine
.
Le théorème permet d'affirmer que le trinôme est du signe de
pour tout 
et s’annule en 
.
Or
donc 
pour tout x.
On nous demande de donner les réels x vérifiant
, il n’y en a qu’un
: 
.
Ainsi,
.
Remarque :
Si l’on s’aperçoit tout de suite que
, il suffit d’utiliser le fait qu’un
carré est toujours positif ou nul (pour une valeur
de x que l'on calcule).
..Le trinôme admet donc une racine
.Le théorème permet d'affirmer que le trinôme est du signe de
pour tout et s’annule en .Or
donc pour tout x.On nous demande de donner les réels x vérifiant
, il n’y en a qu’un
: .Ainsi,
.Remarque :
Si l’on s’aperçoit tout de suite que
, il suffit d’utiliser le fait qu’un
carré est toujours positif ou nul (pour une valeur
de x que l'on calcule).
3. Interprétation graphique
• Les solutions éventuelles de
l’équation 
correspondent aux abscisses des éventuels
points d’intersection entre la parabole
d’équation 
et l’axe des abscisses (Ox).
• La position de la parabole d’équation
par rapport à l’axe (Ox) correspond au
signe du trinôme 
: si la parabole est au dessus de l'axe (Ox), le
trinôme est positif ; si la parabole est en dessous
de l’axe (Ox), le trinôme est
négatif.
Cas où a > 0 , parabole tournée vers le haut.
Cas où a < 0, parabole tournée vers le bas.
correspondent aux abscisses des éventuels
points d’intersection entre la parabole
d’équation et l’axe des abscisses (Ox).• La position de la parabole d’équation
par rapport à l’axe (Ox) correspond au
signe du trinôme : si la parabole est au dessus de l'axe (Ox), le
trinôme est positif ; si la parabole est en dessous
de l’axe (Ox), le trinôme est
négatif.Cas où a > 0 , parabole tournée vers le haut.
Cas où a < 0, parabole tournée vers le bas.
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