Cercle trigonométrique et radian

Soit (O, I, J) un repère orthonormé du plan.

Le périmètre d'un cercle de rayon r est égal à .

Le périmètre du cercle trigonométrique est donc égal à  (puisque dans le cas du cercle trigonométrique r=1).

Soit M, un point quelconque du cercle trigonométrique. La longueur de l'arc de cercle IM (exprimée dans l'unité de longueur du repère) est proportionnelle à la mesure de l'angle  exprimée en degré.

Autrement dit, la longueur de l’arc IM est égale à la longueur du rayon.
L’unité radian s’écrit de façon abrégée « rad »

Soit M, un point quelconque du cercle trigonométrique. La longueur de l'arc de cercle IM (exprimée dans l'unité de longueur du repère) est égale à la mesure de l'angle  exprimée en radian.

Lorsque l’on parcourt sur le cercle trigonométrique un arc de longueur 1, on ouvre un angle de 1 radian.
Or la longueur parcourue est proportionnelle à la mesure de l’angle ouvert en radian.
Donc en parcourant une distance de π unités sur le cercle, on ouvre un angle de  radians.
Rappelons que le périmètre du cercle trigonométrique est  donc en ouvrant un demi-cercle (ce qui correspond à un angle de 180°), on ouvre un angle de  radians.

D’où la correspondance : .

On en déduit facilement les correspondances suivantes : ; et .

Et on peut dresser le tableau de correspondance suivant : 

Les mesures en radian sont proportionnelles aux mesures en degré. On a le tableau de proportionnalité suivant :

On peut écrire le produit en croix suivant : 

Pour convertir des degrés en radians, on multiplie par .

Exemple : Convertir 36° en radian.
Sachant que  alors  .

Pour convertir des radians en degrés, on multiplie par .

 (1 rad = ° ≈ 57,3°)

Exemple : Convertir rad en degré.
Comme alors .