Cercle trigonométrique et radian - Maxicours

Cercle trigonométrique et radian

Objectifs
  • Définir le cercle trigonométrique.
  • Découvrir une nouvelle unité : le radian.
  • Convertir des mesures d'angle :
    • de degré en radian ;
    • de radian en degré.
Points clés
  • Le cercle trigonométrique est le cercle de centre O et de rayon 1 sur lequel on a défini un sens positif : le sens inverse des aiguilles d’une montre.
  • Lorsque l’on parcourt sur le cercle trigonométrique un arc de cercle de longueur 1 unité, on ouvre un angle au centre de mesure 1 radian.
  • Il y a proportionnalité entre les degrés et les radians et 180° =  rad
  • Pour convertir des degrés en radians, on multiplie par .
  • Pour convertir des radians en degrés, on multiplie par .
1. Cercle trigonométrique
a. Définition

Soit (O, I, J) un repère orthonormé du plan.

Le cercle trigonométrique est le cercle de centre O et de rayon 1 sur lequel on a défini un sens positif : le sens inverse des aiguilles d’une montre.
Ce sens est appelé sens trigonométrique.

b. Périmètre

Le périmètre d'un cercle de rayon r est égal à .

Le périmètre du cercle trigonométrique est donc égal à  (puisque dans le cas du cercle trigonométrique r=1).

c. Longueur d'arc et mesure d'angle en degré

Soit M, un point quelconque du cercle trigonométrique. La longueur de l'arc de cercle IM (exprimée dans l'unité de longueur du repère) est proportionnelle à la mesure de l'angle  exprimée en degré.

 

2. Une nouvelle unité de mesure : le radian
a. Définition
Lorsque l’on parcourt sur le cercle trigonométrique un arc de cercle de longueur 1 unité, on ouvre un angle au centre de mesure 1 radian.

Autrement dit, la longueur de l’arc IM est égale à la longueur du rayon.
L’unité radian s’écrit de façon abrégée « rad »

 

 

b. Longueur d'arc et mesure d'angle en radian

Soit M, un point quelconque du cercle trigonométrique. La longueur de l'arc de cercle IM (exprimée dans l'unité de longueur du repère) est égale à la mesure de l'angle  exprimée en radian.

3. Convertir des angles en radian, en degré
a. Correspondance degré - radian

Lorsque l’on parcourt sur le cercle trigonométrique un arc de longueur 1, on ouvre un angle de 1 radian.
Or la longueur parcourue est proportionnelle à la mesure de l’angle ouvert en radian.
Donc en parcourant une distance de π unités sur le cercle, on ouvre un angle de  radians.
Rappelons que le périmètre du cercle trigonométrique est  donc en ouvrant un demi-cercle (ce qui correspond à un angle de 180°), on ouvre un angle de  radians.

D’où la correspondance : .

On en déduit facilement les correspondances suivantes : ; et .

Et on peut dresser le tableau de correspondance suivant : 

 

b. Convertir grâce au tableau de proportionnalité

Les mesures en radian sont proportionnelles aux mesures en degré. On a le tableau de proportionnalité suivant :

On peut écrire le produit en croix suivant : 

Pour convertir des degrés en radians, on multiplie par .

Exemple : Convertir 36° en radian.
Sachant que  alors  .

Pour convertir des radians en degrés, on multiplie par .

 (1 rad = ° ≈ 57,3°)

Exemple : Convertir rad en degré.
Comme alors .

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