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Sphères et boules

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De tout temps, la sphère de par ses nombreuses symétries a passionné les hommes. On en rencontre de nombreux exemples dans la vie courante : les astres, les boules de pétanque…
Quel est le vocabulaire lié aux sphères et aux boules ? Quelle est la section plane d’une sphère ? Comment calcule-t-on l’aire d’une sphère et le volume d’une boule ?

1. Vocabulaire

a. Sphères et boules

• Sphère
Soit O un point de l’espace et R un nombre positif.

La sphère de centre O et de rayon R est l’ensemble des points M de l’espace tels que OM = R.
Une sphère est une surface.

• Boule
Soit O un point de l’espace et R un nombre positif.

La boule de centre O et de rayon R est l’ensemble des points M de l’espace tels que OM ≤ R.
Une boule est un solide.

Exemple
La sphère ci-contre a pour centre O et pour rayon R = OM. O, A et C n’appartiennent pas à cette sphère. M et B appartiennent à la sphère. Les points M, C, O, B appartiennent à la boule. A n’appartient pas à la boule car OA > R.

b. Grand cercle

Soit une sphère de centre O et de rayon R.

Un grand cercle de la sphère est un cercle de centre O et de rayon R.

Remarque : Si le milieu du segment formé par deux points de la sphère est le centre de la sphère, alors on dit que ces deux points sont diamétralement opposés.

Exemple
On considère la sphère de centre O ci-contre. Les points A et B sont diamétralement opposés. On dit aussi que [AB] est un diamètre de la sphère. Deux grands cercles de la sphère ont été représentés en orange et en vert.

2. Section plane d'une sphère

Quand elle existe, la section plane d’une sphère par un plan est un cercle ou un point.

Exemple
Soit une sphère de centre O et de rayon R. On considère un plan P et un point H de ce plan tel que la droite (OH) soit perpendiculaire à ce plan. On appelle la distance OH la distance du centre O au plan P.

1^er cas
Si OH > R, alors le plan P ne coupe pas la sphère ; il n’y a donc pas de point commun.

2^eme cas
Si OH = R, alors le plan P coupe la sphère en un unique point H. La section plane se réduit alors au point H. On dit que le plan P est tangent à la sphère.

3^eme cas
Si 0 < OH < R, alors la section plane de la sphère par le plan P est un cercle de rayon [MH]. Le triangle OHM est rectangle en H. Par application du théorème de Pythagore dans OHM, il vient :

.
On dit que la sphère est séparée en deux calottes sphériques.

Remarque : Si OH = 0, alors la section de la sphère par un plan est un grand cercle de la sphère et la sphère est ainsi séparée en deux hémisphères.

3. Aire et volume

a. Aire d'une sphère

Soit une sphère de centre O et de rayon R.

L’aire de cette sphère est donnée par : A = 4πR².

Exemple
On souhaite peindre un ballon de 30 cm de diamètre. Pour cela, on a besoin de la surface du ballon. Autrement dit, calculer l’aire de la sphère.
A = 4πR² = 4π × 152 = 900π ≈ 2 826.
La valeur exacte de l’aire est 900π cm². Une valeur approchée est 2 826 cm².

b. Volume d'une boule

Soit une boule de centre O et de rayon R.

Le volume de cette boule est donnée par :

Exemple 1
Trouver le volume d’une boule de 6 mètres de rayon.

.
La valeur exacte du volume est 288π m³. Une valeur approchée à l’unité du volume est de 904 m³.

Exemple 2
La Terre est un solide assimilable à une boule de rayon 6370 km.
En donner un volume approché en écriture scientifique.