Relations trigonométriques - Maxicours

Relations trigonométriques

Objectifs
En connaissant une des valeurs parmi le cosinus, le sinus ou la tangente d’un angle, on peut facilement retrouver les deux autres.
Quelle est la relation entre le cosinus et le sinus d’un angle ? Quelle est la relation entre la tangente, le sinus et le cosinus d’un angle ?
1. Relation entre cosinus et sinus d'un angle
Approche géométrique
Soit LMP un triangle rectangle en M et x la mesure de l’angle . On a :
et .
On obtient alors et .
Le triangle est rectangle en M, donc d’après le théorème de Pythagore, on a :
.
En remplaçant par les valeurs de ML et MP trouvées précédemment, on obtient :
, soit .
En divisant par LP2 (strictement positif), on obtient :
.
Soit x la mesure en degré d’un angle aigu. On a :
(cos(x))2 + (sin(x))2 = 1.
Exemple
Soit x la mesure d’un angle aigu tel que cos(x) = 0,6.
Calculer sin(x).

On a :
(cos(x))2 + (sin(x))2 = 1
(0,6)2 + (sin(x))2 = 1
0,36 + (sin(x))2 = 1.
Donc (sin(x))2 = 1 − 0,36 = 0,64.
Comme le sinus d’un angle est positif, nous avons donc .
2. Relation entre cosinus, sinus et tangente d'un angle
Approche géométrique
Soit LMP un triangle rectangle en M et x la mesure de l’angle . On a :
 ; et .
cos(x)>0 ; on établit donc le rapport .
D'où .
Ainsi,
Soit x la mesure en degré d’un angle aigu. On a :
Exemple
Soit x la mesure d’un angle aigu tel que cos(x) = 0,6 et sin(x) = 0,8.
Calculer tan(x).

On a :
.
Une valeur approchée de la tangente est tan(x) ≈ 1,33.

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